1819 　1　12　余弦定理

1、1.2余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解用向量數(shù)量積證明余弦定理的方法，體會(huì)向量工具在解決三角形度量問題時(shí)的作用(難點(diǎn))2.掌握余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題(重點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知余弦定理閱讀教材P49P50例4以上部分，完成下列問題語言表述三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號(hào)表示a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C推論cos A；cos B；cos C作用實(shí)現(xiàn)三角形邊與角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么關(guān)系？提示余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看

2、作是余弦定理的特例(2)觀察余弦定理的符號(hào)表示及推論，你認(rèn)為余弦定理可用來解哪類三角形？提示已知兩邊及其夾角，解三角形；已知三邊，解三角形基礎(chǔ)自測1判斷正誤(1)若已知兩邊和一邊所對(duì)的角，不能用余弦定理解三角形()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC是銳角三角形()(3)在ABC中，若已知abc12，可以解三角形()解析(1)錯(cuò)誤，如已知a，b和A，可利用公式a2b2c22bccos A求c，進(jìn)而可求角B和C.(2)錯(cuò)誤，由b2c2a2和cos A可得cos A0，則A是銳角，但角B或C可能是鈍角，ABC未必是銳角三角形(3)錯(cuò)誤，已知ABC三邊的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三邊

3、，即不能解三角形答案(1)×(2)×(3)×2在ABC中，符合余弦定理的是()Ac2a2b22abcos CBc2a2b22bccos ACb2a2c22bccos ADcos CA由余弦定理知選A.3在ABC中，若已知a2，b3，c，則cos A_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91022153】解析cos A.答案4在ABC中，已知A60°，b2，c1，則a_.解析a2b2c22bccos A412×2×1×3，所以a.答案合 作 探 究·攻 重 難利用余弦定理解三角形在ABC中，(1)已知a2，c，B45°，求b及A

4、；(2)已知b3，c3，B30°，求角A，C和邊a.(3)已知a2，b62，c4，求A.解(1)由余弦定理，得b2a2c22accos B(2)2()22×()×2×cos 45°8，b2.由cos A，得cos A.0°A180°，A60°.(2)由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22×3a×cos 30°，即a29a180，所以a6或a3.當(dāng)a6時(shí)，由正弦定理，得sin A×1，所以A90°，C60°，當(dāng)a3時(shí)，同理得A30

5、76;，C120°.(3)由余弦定理得cos A，又A(0，)，所以A30°.規(guī)律方法利用余弦定理解三角形的方法(1)已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：若已知角是其中一邊的對(duì)角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解.若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求解.(2)已知三角形的三邊或其比值解三角形：已知三角形三邊求角時(shí)，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時(shí)，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產(chǎn)生增解或漏解.若已知三角

6、形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊解三角形.跟蹤訓(xùn)練1(1)在ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的三邊長分別為a，b，c，若A，b2，SABC2，求a.(2)在ABC中，abc2，求ABC中最大角的度數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91022154】解(1)因?yàn)镾ABCbcsin A×2×cc2，所以c2.根據(jù)余弦定理得a2b2c22bccos A482×2×2×4，所以a2.(2)abc2，令a2k，bk，ck(k0)，由bac，知C為ABC最大內(nèi)角，cos C，又0°C180°C150°.正弦定理、余弦定

7、理的綜合應(yīng)用在ABC中，若c·cos Bb·cos C，cos A.(1)求sin B的值；(2)若b2，求a.解(1)法一：由c·cos Bb·cos C，結(jié)合正弦定理，得sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，0B，0C，BC，BC0，BC，故bc.cos A，由余弦定理，得3a22b2，再由余弦定理，得cos B，故sin B.法二：由余弦定理和c·cos Bb·cos C得c×b×，化簡得bc，cos A，故3a22b2，即ab，又由cos A，知sin A，由正弦定理得sin B&#

8、215;.(2)法一：由(1)知bc2，所以a2b2c22bccos A442×2×2×，則a.法二：因?yàn)閏os A，所以sin A，由正弦定理得a.規(guī)律方法正、余弦定理的綜合應(yīng)用(1)邊、角互化是處理三角形邊、角混合關(guān)系的常用手段.(2)在有關(guān)三角形的題目中注意選擇是應(yīng)用正弦定理，還是余弦定理，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能利用某個(gè)定理的信息.(3)解題時(shí)注意三角恒等變換的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91022155】(1)求A的大??；(2)求的值解(1)由題意知，b2accos A，A(

9、0，)，A.(2)由b2ac，得，sin B·sin B·sin A.三角形形狀的判斷探究問題1在ABC中，sin Asin B，能夠判定ABC為等腰三角形嗎？提示能由正弦定理和sin Asin B知ab，故ABC是等腰三角形2在ABC中，sin 2Asin 2B，能夠判定ABC為等腰三角形嗎？提示不能由sin 2Asin 2B得2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC是等腰三角形或直角三角形3在ABC中，acos Abcos B，要判定三角形的形狀，是把a(bǔ)cos Abcos B中的邊化為角，還是把角化為邊？提示都可以，化角為邊：由余弦定理得a×b×，

10、化簡得(ab)(ab)(c2a2b2)0，故ab或c2a2b2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形化邊為角：由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，故2A2B或2A2B，則AB或AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形4判斷三角形形狀的基本思路是什么？提示思路一：從角的關(guān)系判定思路二：從邊的關(guān)系判定思路三：從邊與角的關(guān)系判定在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，確定ABC的形狀解法一：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，所以，即c2b2c2a2，所以a2b2

11、，所以ab.又因?yàn)?abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，即b2c2.所以bc，所以abc.所以ABC為等邊三角形法二：因?yàn)锳BC180°，所以sin Csin(AB)，又因?yàn)?cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因?yàn)锳與B均為ABC的內(nèi)角，所以AB.又由(abc)(abc)3ab得(ab)2c23ab，所以a2b2c22ab3ab，即a2b2c2ab.由余弦定理，得cos C，又0°C180°，所以C60°.所以ABC為等邊三角形

12、母題探究：1.(變條件)把例3的條件換為：b2ccos A，c2bcos A，判斷ABC的形狀解法一：由條件b2ccos A，c2bcos A得cos A，即bc，把bc代入b2ccos A得cos A，所以A60°，所以ABC是等邊三角形法二：由正弦定理知sin B2sin Ccos A，sin C2sin Bcos A，即sin(AC)2sin Ccos Asin Acos Ccos Asin C，即sin Ccos Acos Asin C，所以sin(AC)0，AC，同理可得AB，所以三角形ABC為等邊三角形母題探究：2.(變條件)把例3的條件換為：cos2，試判斷ABC的形狀

13、解法一：cos2且cos2，即cos A.由正弦定理，得cos A，cos Asin Csin(AC)，整理得sin Acos C0.sin A0，cos C0，C.故ABC為直角三角形法二：同法一得cos A.由余弦定理得，整理得a2b2c2，故ABC為直角三角形規(guī)律方法判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要有以下兩條途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1在ABC中，已知a5，b4，C120°，則c為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91022156】ABC或 DBc2a2b22abcos 120°25162×5×4×61.c.2在ABC中，若a1，b1，c，則ABC的最大角的度數(shù)為()A60°B90°C120°D150°Ccab，C是最大角，由余弦定理得：cos C.C120