202X高中數(shù)學第2章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的幾何性質課件蘇教版選修1_1

1、2.4.2拋物線的幾何性質第2章2.4拋物線學習目標1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質.2.會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問題.問題導學達標檢測題型探究內(nèi)容索引問題導學知識點一拋物線的幾何性質思考思考1類比橢圓、雙曲線的幾何性質，結合圖象，你能說出拋物線y22px(p0)的范圍、對稱性、頂點坐標嗎？答案答案范圍x0，關于x軸對稱，頂點坐標(0,0).思考思考2拋物線標準方程y22px(p0)中的參數(shù)p對拋物線開口大小有何影響？答案答案p越大，開口越大.梳理梳理標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0) x22py(p0)圖形性質范圍_ _ _

2、_對稱軸_頂點_離心率e_x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0 x軸y軸(0,0)1知識點二焦點弦設過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么：y22px(p0)ABx1x2py22px(p0)ABp(x1x2)x22py(p0)ABy1y2px22py(p0)ABp(y1y2)知識點三拋物線中的弦長與中點弦問題2.AB是拋物線y22px(p0)的一條弦，其中點M的坐標為(x0，y0)，運用平方差法可推導AB的斜率如下：由得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1). y1y22y0， 由得kAB ，即弦AB的斜率只與 和弦AB中點的 坐標有關.p縱1.拋物線y2px

3、2(p0)的對稱軸為y軸.( )2.拋物線關于頂點對稱.( )3.拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心.( )4.拋物線的標準方程各不一樣，其離心率也各不一樣.( )思考辨析 判斷正誤題型探究類型一由拋物線的幾何性質求標準方程解答例例1拋物線的焦點拋物線的焦點F在在x軸上，直線軸上，直線l過過F且垂直于且垂直于x軸，軸，l與拋物線交于與拋物線交于A，B兩點，兩點，O為坐標原點，假設為坐標原點，假設OAB的面積等于的面積等于4，求此拋物線的標準方，求此拋物線的標準方程程.引申探究引申探究等腰直角三角形等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點，為拋物線

4、的頂點，OAOB，那么，那么AOB的面積是的面積是_.答案解析4p2解析解析因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.所以易得A，B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p，2p).反思與感悟反思與感悟把握三個要點確定拋物線的幾何性質(1)開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準二次項是x 還是y，一次項的系數(shù)是正還是負.(2)關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸.(3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.解答跟蹤訓練跟蹤訓練1拋物

5、線關于拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，其上一點軸對稱，它的頂點在坐標原點，其上一點P到到準線及對稱軸的距離分別為準線及對稱軸的距離分別為10和和6，求拋物線的方程，求拋物線的方程.解解設拋物線的方程為y22ax(a0)，點P(x0，y0).因為點P到對稱軸距離為6，所以y06.因為點P到準線距離為10，因為點P在拋物線上，所以362ax0， 所以所求拋物線的方程為y24x或y236x.類型二拋物線的焦點弦問題例例2直線直線l經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y26x的焦點的焦點F，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于A，B兩點兩點.(1)假設直線假設直線l的傾斜角為的傾斜角為60，求，求AB的值；的值

6、；解答解解因為直線l的傾斜角為60，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x25.(2)假設AB9，求線段AB的中點M到準線的距離.解答解解設A(x1，y1)，B(x2，y2).所以x1x26，所以線段AB的中點M的橫坐標是3.反思與感悟反思與感悟(1)拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點，F(xiàn)為焦點.若拋物線y22px(p0)，則PFx0 ；若拋物線y22px(p0)，則PF x0；若拋物線x22py(p0)，則PFy0 ；若拋物線x22py(p0)，則PF y0(2)過焦點的弦長的求解方法設過拋物線y2

7、2px(p0)焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么ABx1x2p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關系求出x1x2即可.解答設A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到準線的距離分別為dA，dB.類型三與弦長、中點弦有關的問題解答例例3A，B為拋物線為拋物線E上不同的兩點，假設拋物線上不同的兩點，假設拋物線E的焦點坐標為的焦點坐標為(1,0)，線段線段AB恰被恰被M(2,1)所平分所平分.(1)求拋物線求拋物線E的方程；的方程；解由于拋物線的焦點坐標為解由于拋物線的焦點坐標為(1,0)，所以所以 1，p2，所以拋物線所以拋物線E的方程為的方程為y

8、24x.解答(2)求直線AB的方程.且x1x24，y1y22.由，得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以直線AB的方程為y12(x2)，即2xy30.反思與感悟反思與感悟中點弦問題解題策略方法跟蹤訓練跟蹤訓練3拋物線拋物線y26x，過點，過點P(4,1)引一條弦引一條弦P1P2使它恰好被點使它恰好被點P平平分，求這條弦所在的直線方程及分，求這條弦所在的直線方程及P1P2.解答解解方法一方法一由題意易知直線方程的斜率存在，設所求方程為y1k(x4).當k0時，y1，顯然不成立.當k0時，624k(24k6)0.設弦的兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中點為(4,1

9、)，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，所求直線的斜率為k3，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110.y1y22，y1y222，類型四拋物線在實際生活中的應用解答解解如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系.設拋物線方程為x22py(p0).由題意可知，點B(4，5)在拋物線上，當船面兩側和拋物線接觸時，船不能通航，設此時船面寬為AA，那么A(2，yA)，所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時，小船開場不能通航.反思與感悟涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當?shù)钠矫嬷苯亲此寂c感悟涉及拱橋、隧道的問題，通常需建

10、立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，利用拋物線的標準方程進展求解標系，利用拋物線的標準方程進展求解.解答跟蹤訓練跟蹤訓練4如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位AB時寬時寬20米，米，水位上升水位上升3米就到達戒備線米就到達戒備線CD，這時水面寬度為，這時水面寬度為10米米.假設洪水到來時，水假設洪水到來時，水位從戒備線開場以每小時位從戒備線開場以每小時0.2米的速度上升，再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂？米的速度上升，再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂？(平面直角坐標系是以橋頂點為原點平面直角坐標系是以橋頂點為原點O)解設所求拋物線的方程為解設所求拋物線的方程為yax2.

11、設設D(5，b)，那么，那么B(10，b3).即再持續(xù)5小時到達拱橋頂.達標檢測答案12345解析y24x又拋物線開口方向為x軸負方向，拋物線方程為y24x.12345答案解析2.頂點在坐標原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線的標準方程是_.解析解析頂點在坐標原點，對稱軸為y軸的拋物線的標準方程有兩個：x22py(p0)，x22py(p0).由頂點到準線的距離為4，得p8，故所求拋物線的標準方程為x216y或x216y.x216y3.拋物線y2x上到其準線和頂點距離相等的點的坐標為_.12345答案解析12345答案解析4.過拋物線y24x的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，假設線段AB的中點的橫坐標為3，那么AB_.解析易知拋物線的準線方程為x1，那么線段AB的中點