新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講(3

1、典題精講1例1 ( 1)0v xv，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值；31(2)求函數(shù)y=x+ 的值域.xx的系數(shù)變成互為相反數(shù)；(2)中，未指出 x思路分析：(1)由極值定理，可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)外 > 0,因而不能直接使用根本不等式，需分x >0與x v 0討論.1(1)解法一： 0v xv , A1 -3x >0.31 y=x( 1-3x)= 3x(1 -3x)w 1:3x(13x) n 2= 1 ,當(dāng)且僅當(dāng) 3x=1-3x1，即x=-時(shí)，等號(hào)成立.1 x= 時(shí)，函數(shù)33212661取得最大值丄.121 1解法二：T 0v x v , -x> 0.

2、3311-x) w 3 :xx1，當(dāng)且僅當(dāng)1 1 x= -x,即 x= 時(shí)， y=x(1 -3x)=3x(3:2等號(hào)成立.3212361 1 x=?時(shí)，函數(shù)取得最大值丄.612(2)解：當(dāng)x > 0時(shí)，由根本不等式，得y=x+ A2 jX?1 =2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立xx1 1當(dāng) x v 0 時(shí)，y=x+ =- (-x)+ -x( x)/ -x >0, ( -x)+>2,當(dāng)且僅當(dāng)-x=(x),即 x=-1時(shí)，等號(hào)成立 y=x+ 1 w -2.綜上,可知函數(shù)y=x+的值域?yàn)?-巴-2 U 2,+ g).x綠色通道：利用根本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使根本

3、不等式成立創(chuàng)造條件，同時(shí)要注意等號(hào)成立 的條件是否具備1變式訓(xùn)練1當(dāng)x> -1時(shí)，求f(x)=x+的最小值.x 11思路分析：x>-1x+1 >0,變x=x+1-1時(shí)x+1與 的積為常數(shù).x 1-1=1.解： x> -1, x+1 > 0./ f(x)=x+1 1=x+1+-1 >2x 1 x 11當(dāng)且僅當(dāng)X+仁,即x=0時(shí)，取得等號(hào)x 1-f(x) min=1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y= x一雲(yún) 3的最小值.x 1思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來(lái)看，它與根本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實(shí)上, 我們可以把分母視作一個(gè)整體，用它來(lái)表示分子，

4、原式即可展開(kāi)等號(hào)成立.函數(shù)取得最小值3.當(dāng) x=0 時(shí),19例2x> 0,y >0，且一+ =1，求x+y的最小值.x y思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解 法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì).解法一：利用“1的代換，1+9=1,x y19y9x/ x+y=(x+y) (丄 +三)=10+x yxyc c y 9x 丨 y9x x> 0,y >0, >2'?一=6.x yV x yy 9x當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時(shí)，取等號(hào).x y19又一+ =1, x=4,y=12.x y當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小

5、值16.解法二：由 1 + 9 =1，得 x=y .x yy 9/x> 0,y >0, y> 9.yy 999小 9“x+y= +y=y+=y+1=(y-9)+10.y 9y 9 y 9y 9/y>9, y -9 >0.y 9 99 y >2 (y 9)?=6.y 9y 9919當(dāng)且僅當(dāng)y-9=，即y=12時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)x=4. 當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.解法三：由一+ =1,y 9x y得 y+9x=xy,(x -1)(y-9)=9.19當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時(shí)取得等號(hào)又-+-=1,x y x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+

6、y取得最小值16.綠色通道：此題給出了三種解法，都用到了根本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出根本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)變形，另外解法二，通過(guò)消元，化二元問(wèn)題為一元問(wèn)題，要注意根據(jù)被代換的變量的圍對(duì)另外一個(gè)變量的圍的影響黑色陷阱：此題容易犯這樣的錯(cuò)誤：19 i 96+>2，即< 1, xy >6.x y xyxy x+y>2 xy >2X6=12. x+y 的最小值是 12.19產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式等號(hào)成立的條件是丄=蘭,不等式等號(hào)成立的條件是x=y.在同一個(gè)題目中連續(xù)運(yùn)用了x y兩次根本不等式，但是兩個(gè)根本不等式等號(hào)成

7、立的條件不同，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論a b變式訓(xùn)練 正數(shù)a,b,x,y 滿足a+b=10,=1, x+y的最小值為18,求a,b的值.xy思路分析：此題屬于“ 1的代換問(wèn)題.解：x+y=(x+y)(bbx ay)=a+b=10+bxxyy xyx/x,y > 0,a,b > 0, x+y> 10+2 ab =18，即 ab=4.又 a+b=10,a 2,或 a 8, b 8 一 b 2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值(0vxv 1).lg x思路分析：T 0v x v 1,4Igx v 0, v 0不滿足各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用根本不等式，正確的處理方法是加

8、上負(fù)號(hào)變正數(shù)lg x解:/ 0v xv 1, Igx v 0,4v 0. lg x4lg x> 0.44SC 靈)：(lgx)( )=4. lgx+ w-4. f(x)=3+lgx+ <3 -4=-1.lg xlg x41當(dāng)且僅當(dāng)lgx= 亠，即x= 丄時(shí)取得等號(hào).lg x1004那么有f(x)=3+lgx+(0 v xv 1)的最小值為-1.lg x黑色陷阱：此題容易忽略0vxv 1這一個(gè)條件.51變式訓(xùn)練1x v，求函數(shù)y=4x-2+的最大值.44x 55思路分析：求和的最值，應(yīng)湊積為定值.要注意條件xv，那么4x-5 v 0.45解：/xv, 4x -5 v 0.4y=4x_

9、5+3=- (5-4x)+4x 55 4x1.8 -的最大值.3思路分析：此題是求兩個(gè)式子和的最大值，但是+3 =1式變形.可以變?yōu)閥= (2x-3 ) +22x 3283 z 3 2x+ + =-(2x 3 221解：y=( 2x-3 )2當(dāng) xv 3 時(shí)，23-2x > 0,3 2x28 > 23 2x3 22x?3 82x=4,x 并不是定值，也不能保證是正值，所以，必須使用一些技巧對(duì)原2x 33 2x 8、3)+ ,再求最值.3 2x 23+ ,2-(2丄)3 2x當(dāng)且僅當(dāng)3 2x28 ，即x=-時(shí)取等號(hào)3 2x2(54x)?514x+3=-2+3=1.1當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=

10、,即x=1時(shí)等號(hào)成立.5 4x所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是3y=x+ 2x變式訓(xùn)練2當(dāng)xv 3時(shí)，求函數(shù)2355于是yw -4+=，故函數(shù)有最大值2 22例4如圖3-4-1 ,動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成圖 3-4-1(1) 現(xiàn)有可圍36 m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2) 假設(shè)使每間虎籠面積為24 m2，那么每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長(zhǎng)度最小？思路分析：設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為 x m，寬為y 口，那么(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)貝U是在xy=24的前 提

11、下來(lái)求4x+6y的最小值.解：(1)設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為 x m,寬為y m，那么由條件，知4x+6y=36，即2x+3y=18.設(shè)每間虎籠的面積為 S,那么S=xy.方法一：由于 2x+3y?2 . 2x 3y=2、. 6xy,C "72 . 6xy w 18,得 xy< ，即 S< 22 2當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立.由2x2y,2x3y 18,解得4.5,3.故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使面積最大.3方法二：由 2x+3y=18，得 x=9- y.2/ x>0, Ov y v 6.3 3S=xy=(9- y)y= (6-y)y.22/ Ov y v

12、6, 6 -y > 0. sw 3:(6 y) y:2=27.2 2 2當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí) x=4.5.故每間虎籠長(zhǎng)4.5 m,寬3 m時(shí)，可使面積最大 由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為I,那么l=4x+6y.方法一 ：/2x+3y?2、2x?3y =2 . 6xy =24, l=4x+6y=2(2x+3y) > 48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y 時(shí)，等號(hào)成立.丄 2x 3y, x 6,由八解得xy 24, y 4.故每間虎籠長(zhǎng)6m，寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小方法由 xy=24 ,得X.1616/ l=4x+6y= 96 +6y=6( 16 +y) &g

13、t;6X2 y =48,當(dāng)且僅當(dāng) 16 =y,即 y=4 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí) x=6. y yyy故每間虎籠長(zhǎng)6 m,寬4 m時(shí)，可使鋼筋總長(zhǎng)最小綠色通道：在使用根本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，要注意：1x,y都是正數(shù)；2積xy 或x+y為定值；3x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個(gè)條件的結(jié)論變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池平面圖如圖3-4-2所示,由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米,如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和

14、寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)思路分析：在利用均值不等式求最值時(shí)，必須考慮等號(hào)成立的條件，假設(shè)等號(hào)不能成立，通常要用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解 解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，那么寬為200米0 vXW 16,0 v 200 < 16, A 12.5 < x< 16.xx于是總造價(jià) Q(x)=400(2x+2 X 200 )+248 X 2X+80X 200.x?324 +16 000=44 800,xXX=800(x+ 324 )+16 000 >800X2x324當(dāng)且僅當(dāng)x= (x > 0),即 x=18 時(shí)等號(hào)成立，而 18: 12.5,16 : ,.Q(x) &g

15、t; 44 800.x下面研究Q(x)在12.5,16 上的單調(diào)性.對(duì)任意 12.5 <x 1 v X2W 16,那么 X2-X1>0,x 1X2V 162v 324.Q(X2)-Q(x 1)=800 : (x 2-x 1 )+324( 丄)X2X1=800X(X2 Xi)(XiX2324) v 0X1X2Q(X2)> Q(Xi). Q(x)在12.5,16 上是減函數(shù).Q(x) > Q(16)=45 000.答：當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米，寬為12.5米時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為45 000元.問(wèn)題探究問(wèn)題某人要買(mǎi)房，隨著樓層的升高，上下樓消耗的精力增多，因此不滿意度升高當(dāng)住第n層樓時(shí)，上下樓造成的不滿意度 為n.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較