橢圓的解題方法和技巧

1、橢圓的解題方法和技巧安徽省宿州市褚蘭中學(xué) 海平一、橢圓的定義的應(yīng)用橢圓的定義是用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來描述的， 因此在解題中凡 涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，應(yīng)先想到用定義求解，常會(huì)有事半 功倍之效。例1 口欽；的三邊也、c成等差數(shù)列且滿足兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。求頂點(diǎn)*的軌跡。分析：數(shù)列與解析幾何相聯(lián)系，往往構(gòu)成綜合性較大的題目，歷來 是高考考查的熱點(diǎn)之一。解析：丁儀、血、亡成等差數(shù)列，二笳=，即刀占匚卜屈+阻| ,又|旳=2,.|血田網(wǎng)=4。a d根據(jù)橢圓的定義，易得點(diǎn)的軌跡方程為二。又匕，即|眈| = |朋|,.一忖；“心心。 ,OH h _ 故點(diǎn)占的軌跡是橢圓的一半，方程為4 了 兀小。又

2、當(dāng)“-三時(shí), 點(diǎn)£、2?、在同一條直線上，不能構(gòu)成三角形，.。=1點(diǎn)的軌跡方程為三_八丨'' -1：。評(píng)注：該例是先由條件找到動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系， 尋找出滿足橢 圓定義的條件，然后確定橢圓的方程。解題時(shí)，易忽略這一條件, 因此易漏掉這一限制；由于、丄、三點(diǎn)構(gòu)成三角形，故應(yīng)剔 除使-、廠、共線的點(diǎn):。例2、橢圓16 12 上一點(diǎn)尸到兩焦點(diǎn)用、也的距離之差為2,試判 斷吐FF屈的形狀。分析：由橢圓定義知，I尸用與尸碼I的和為定值，且二者之差為題設(shè)條 件，故可求出2F邑的兩邊。解析：由I環(huán)兩R兩兩匸，解得11 = 5411 = 3。又I開"，故滿足|礙J朋肉。.

3、 AF耳忑為直角三角形。三、利用向量解決橢圓問題 幾何中突出向量的工具作用成為高考命題的新亮點(diǎn)，向量本身具有“數(shù)與“形的雙重身份，常把向量的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示或利用其幾何關(guān)系求解.例4、最值問題2設(shè)橢圓方程為X2 乂 1,過點(diǎn)M 0,1的直線I交橢圓于A B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn),4點(diǎn)P滿足OP -(OA OB),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-,丄).當(dāng)I繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，2 2 2求：1動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；2 | NP |的最大值與最小值.解析：1直線I過點(diǎn)M 0,1 ,當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k,那么I的方程為y kx 1.記A(X1, y1), B(X2, y2),kx 1x2I 1,得(4k2)x242kx

4、 30,所以2k4 k2y1y284 k2(4呂,k?)那么 OP 1(OA OB) (3,3)2 2 2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為X, y,貝V,消去k得4x2 y2 y 0.當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn) 0,0，也滿足上述方程所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2 y2 y 0.2由點(diǎn)P的軌跡方程知x2丄，即71216所以 |NP|2 (x £)2 (y )23(x )22 2 6故當(dāng)x1時(shí)，|NP|取得最大值為 J?2(0 1)2 啟 x)2 y2,2整理得y21(x0).32所以點(diǎn)C的軌跡方程為x y21(x0)3 ；6 6當(dāng)x 1時(shí)，NP |取得最小值為1.44評(píng)注：由向量作為載體的解析幾何問

5、題一要利用向量的幾何意義，二要熟悉向量的坐標(biāo)運(yùn)算.而與橢圓有關(guān)的求最值問題那么常與求函數(shù) 的值域相聯(lián)系.例5、參數(shù)范圍問題點(diǎn)G是 ABC的重心，A0，1, B 0,1，在x軸上有一點(diǎn)M，滿足|MA I MC |，GM ABR.1求點(diǎn)C的軌跡方程；2假設(shè)斜率為k的直線I與點(diǎn)C的軌跡交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且滿足| AP AQ|，試求k的取值解析：1設(shè)C(x, y)，G為ABC的重心，那么G(-律). p p3 3 因?yàn)?GM AB( R),所以 GM II AB,而點(diǎn)M在x軸上，貝V M (-,0)_r _r3由 |MA |MC |,得2當(dāng)k 0時(shí)，I與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P、Q,由橢圓的對(duì)稱性

6、知|AP| |AQ|.當(dāng)k 0時(shí)，可設(shè)I的方程為y kX2代入1 y21,整理得，32 2 2 1 3k x 6kmx 3m10,因?yàn)橹本€I與橢圓交于不同的兩點(diǎn)， 所以即1 3k設(shè) PX-|,(6 km)24(1 3k2)2 2 m0, *m,yi)，Qg, y2),3(m21)0,設(shè) P(x1,y)那么 XiX2Q(X2, y2),6km k，X1X23(m21 3k2 那么PQ中點(diǎn)N(X0, y。)的坐標(biāo)為X0 3km.巨，工kX0 又|AP AQ|,所以AN11 3k23km1 3k2所以k kANkXiX22mIkJ，PQ,1,得 1 3k2得m 2所以k 1,0代入*得k21,U 0

7、,1 .綜合得，k的取值范圍 是1,1 評(píng)注：解決參數(shù)的取值范圍問題常用的方法有兩種：不等式組求解法：根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式組，通過解不等式組得出參數(shù)的取值范圍；函數(shù)值域求解法：把所討論 的參數(shù)表示為有關(guān)某個(gè)變量的函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求參數(shù)的變 化范圍.評(píng)注：由橢圓上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱作焦點(diǎn)三角形。利用焦點(diǎn)三角形能有意識(shí)地考查定義、三角形正余弦定理、內(nèi)角 和定理及面積公式能否靈活運(yùn)用。二、利用待定系數(shù)法確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例3、橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)rJ6,i,巳73,72,求橢圓的方程.【解析】設(shè)橢圓方程為 mx* 2 ny2 1m >0,n >0 且 mn.T橢圓經(jīng)過R , P2點(diǎn)，.R , P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，那么6m+n=1，3m+2n=1，兩式聯(lián)立，解得 m=丄，n=-.932 2二所求橢圓方程為-J 193評(píng)注：運(yùn)用待定系數(shù)