線性代數(shù)試卷及答案詳解

1、«線性代數(shù)A»試題(A卷)試卷類別：閉卷考試時間：120分鐘考試科目：線性代數(shù)考試時間：學(xué)號：姓名：題號一一二四五六七總分得分閱卷人一.單項選擇題(每小題3分，共30分)1 .設(shè)A經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽,則().(下面的r(A),r(B)分別表示矩陣A,B的秩)。(A)r(A)<r(B);(B)r(A)=r(B);(C)r(A)>r(B)；(D)無法判定r(A)與r(B)之間的關(guān)系。2 .設(shè)A為n(n之2)階方陣且|A|=0,則()。(A)A中有一行元素全為零；(B)A有兩行(列)元素對應(yīng)成比例；(C)A中必有一行為其余行的線性組合；(D)A的任一行為其余行的線性

2、組合。3 .設(shè)A,B是n階矩陣(n之2),AB=0,則下列結(jié)論一定正確的是：()(A)人=0或8=0;(B) B的每個行向量都是齊次線性方程組AX=0的解.(C) BA=0;(D) R(A)R(B)<n.4 .下列不是n維向量組巴,口2,.,0線性無關(guān)的充分必要條件是()(A) 存在一組不全為零的數(shù)K,k2,.,ks使得K%+k2a2+.+ks«s0；(B) 不存在一組不全為零的數(shù)匕*2,，K使得ki%+k2c(2+ks%=O(C) «i,0(2,.,«s的秩等于S；(D) %,u2，,as中任意一個向量都不能用其余向量線性表示1 a aa 1 a5.設(shè)n階

3、矩陣(n >3) A =.a.,若矩陣A的秩為n-1,則a必為(a a a . 1,1(A)1;(B)-，(C)-1;1 -na100b10 a2 b26.四階行列式的值等于(0b3a30b400a4)。(A)a1a2a3a4 -bb2b3b4；(D)1n -1(B) a1a2a3a4 +hb2b3b4；(C)(aa2 bb2)(a3a4 b3b4) ；(D)(a2a3b2b3)(224bb,).7.設(shè)A為四階矩陣且|A| = b,則A的伴隨矩陣A*的行列式為()。(A) b；(B)b2;(C) b3；(D) b48 .設(shè)A為n階矩陣滿足A2+3A+In=O,In為n階單位矩陣，則A，=

4、()(A)In；(B)A+3In；(C)-A-3In；(D)3A+I9 .設(shè)A,B是兩個相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是()。(A)A與B的秩相同；(B)A與B的特征值相同；(C)A與B的特征矩陣相同；(D)A與B的行列式相同；第 #頁共6頁10 .設(shè)A為n階矩陣，則A以0為特征值是人=0的(A) 充分非必要條件;(B) 必要非充分條件;(C) 既非充分又非必要條件;(D) 充分必要條件;二.填空題(每小題3分,共18分)計算行列式04322.1J79上03.二次型f (X,x2,x3)=x1 x2 x2x3 + x3x1對應(yīng)的對稱矩陣為4.已知 % =(0,0,1),(陰卓,0), % =(

5、啜孝,0)是歐氏空間L3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,第 5頁共6頁則向量一：=(1,1,1*這組基下的坐標(biāo)為74-15.已知矩陣A =-1的特征值為=3(二重),%=12,則x=4-4x)6.設(shè)口1,口2,口3土勻為3維列向量，記矩陣A=(C(1,O(2,O(3),B=(C(1十口2十口3戶1+92+典3% +筑2 +9%)。如果 | A|=1 ,則 | B| 二2 3-1一2 11AX =B,求X。.(8分)A=.31四.(10分)設(shè)向量組由=(1,1,2,3)T,5=(1_1,1,1)1o(3=(1,3,3,5)T,5=(4,2,5,6)T,豆5=(-3,-1,-5,-7)To試求它的秩及一個極大無

6、關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。XiX2PX3-2五.(12分)討論線，f方程組x1+px2+X3=1解的情況，并在有無窮多解時求其解pXiX2X3=11124、六.（14分）設(shè)A=12-22,（1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩陣T,I42b使得TAT為對角矩陣。七.（8分）對任意的矩陣A,證明：（1） A+AT為對稱矩陣，A-AT為反對稱矩陣；（2） A可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。線性代數(shù)A參考答案（A卷）一、單項選擇題（每小題3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每小題3分，共18分）1、256;n3212122、

7、-4-6-5；3、120198,1-204、1,72,0;5、4;6、2。三.解：因為矩陣A的行列式不為零可利用下列初等行變換的方法：，則A可逆，因此X=A-B.為了求A-B,0-10-1271427103.）103）103；6分）27四.解：對向量組（-1,22,33,44j55）14108分）口12產(chǎn)304,05作如下的初等行變換可得:從而%,二2,二3,:-91,2,3,4,5214-31114-3,3-2_1T0-22-6235-50-11-31567J10-22-62111021-25分）（8分）第 11頁共6頁10分)且%2ct1U-2，a4=31+3t2，a52%4五.解：對方程

8、組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換:，11p-2”1p11PP111)1p，10©11P-11-Pp1-p1-p212pp1-2p-11-p3-一2，一02-p-p4+2p,o0p1001-p-(2p)(p-1)-23(4分)4+2p)(1)當(dāng)p100,且(2+p)(p1)/0時，即p=1,且p。2時，系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3,此時方程組有唯一解.(5分)(2)當(dāng)p=1時，系數(shù)矩陣的秩為1,增廣矩陣的秩為2,此時方程組無解.(6分)(3)當(dāng)p=-20寸，此時方程組有無窮多組解11-2-2''11-2-2'111-211.0與33q017111)©3一

9、3d0方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為10-1-1-2-1-100)0111(8分)9000，故原方程組與下列方程組同解X1一 X3 二-1令X3=0,可得上述非齊次線性方程組的一個特解£=(-1,-1,0)T；X1-x3=0,一一.，*.*它對應(yīng)的齊次線性方程組X13的基礎(chǔ)解系含有一個元素，令X2-X3=0x=1,可得。=（1,1,1）T為該齊次線性方程組的一個解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時原方程組的通解為k。、+ki這里ko,ki為任意常數(shù).（12分）征多項式六.解：（1）由于A的特九-1-2-4一-一一一一一2.一|%IA|=-2九+2-2=（九+3）（%6）故

10、A的特征值為 = -3 （二重特征值）， = 6。（3分）故屬于特征值 % = -3的所有-4-21-1基礎(chǔ)解系為：1=-1,2,0T,：2=-1,0,1特征向量為k10tl+k*2,k1,k2不全為零的任意常數(shù)。（6分）當(dāng) =6時，由（I A）X =0,即:一 5-24-28-2TxJ -0-2 x2 = 0 得基5？3.0礎(chǔ)解系為03=2,1,2T,故屬于特征值入2=6的所有特征向量為k3a3,k3為非零的任意常數(shù)。（8分）（2）將1al,汽2正交化可得二1 十1,2,0T,=ot2,1To再將其,豹,P2 _ ； 4/52V5 751T町 卜 15，- 15，3T將4單位化彳導(dǎo):%=12,1,2|。（12分）|1333則7產(chǎn)2產(chǎn)3是A的組單位正交的特征向量，令T =1, 2, 31=_552r5 554 5 T5-2 5一 15,53-31則T是一個正交矩陣，且T,AT=-3。（14分）:.6J七.證明：（1）因為（A+AT）T=AT+（AT）T=A+AT,因此A+AT為