含參數(shù)的一元二次不等式的解法以及含參不等式恒成立問題(專題)

1、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？對(duì)含參一元二次不等式常用的分類方法有三種： 一、按項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)分類，即;例1 解不等式： 分析：此題二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，故只需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論。 解：解得方程 兩根當(dāng)時(shí),解集為當(dāng)時(shí)，不等式為,解集為當(dāng)時(shí), 解集為 例2 解不等式分析 因?yàn)椋晕覀冎灰懻摱雾?xiàng)系數(shù)的正負(fù)。解 當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為二、按判別式的符號(hào)分類，即；例3 解不等式分析 此題中由于的系數(shù)大于0,故只需考慮與根的情況。解： 當(dāng)即時(shí)，解集為；當(dāng)即0時(shí)，解集為；當(dāng)或即,此時(shí)兩根分別為，顯然, 不等式的解集為 例4

2、解不等式 解 因所以當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為R。三、按方程的根的大小來分類，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解為：，故對(duì)應(yīng)的方程必有兩解。此題只需討論兩根的大小即可。解：原不等式可化為：，令，可得：當(dāng)或時(shí)， ，故原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，,可得其解集為；當(dāng)或時(shí), ,解集為。例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解為，故只需比擬兩根與的大小.解 原不等式可化為：，對(duì)應(yīng)方程的兩根為 ，當(dāng)時(shí)，即，解集為；當(dāng)時(shí)，即，解集為含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特

3、點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程、“化歸與轉(zhuǎn)化、“數(shù)形結(jié)合、“分類討論等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。一、判別式法假設(shè)所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，那么可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1對(duì)恒成立; 2對(duì)恒成立 例1：假設(shè)不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。1當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；2時(shí)，只需，所以，。例2函數(shù)的

4、定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，即有解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。假設(shè)二次不等式中的取值范圍有限制，那么可利用根的分布解決問題。二、最值法 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1恒成立2恒成立例3、假設(shè)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，那么問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時(shí)， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時(shí)， 又 （3） 當(dāng) 即：時(shí)， 又綜上所得：例4函數(shù)，假設(shè)對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：假設(shè)對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線在的最小值得注：此題還可將變形為

5、，討論其單調(diào)性從而求出最小值。例5：在ABC中，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例6：求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。三、別離變量法假設(shè)所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元?jiǎng)e離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1恒成立2恒成立。 例7、時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 例8、函數(shù)，假設(shè)對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，那么當(dāng)時(shí)

6、， 所以例9函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立。令，那么由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：別離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時(shí)，假設(shè)能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位思考，往往會(huì)使問題降次、簡(jiǎn)化。例10對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但假設(shè)把看成主元，那么問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，那么原問題轉(zhuǎn)化為恒成立。 當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。例11、假設(shè)不等式對(duì)滿足的所

7、有都成立，求的取值范圍。解：設(shè)，對(duì)滿足的，恒成立， 解得：五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例12設(shè) , ,假設(shè)恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如下圖，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，那么圓心到直線的距離滿足 解得舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬變，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。例13：，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，那么由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。例14、假設(shè)不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，假設(shè)函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)