統(tǒng)計學(xué)教案習(xí)題二項分布與Poisson分布及其應(yīng)用

1、第七章二項分布與Poisson分布及其應(yīng)用一、教學(xué)大綱要求(一)掌握內(nèi)容1 .二項分布(i)分布參數(shù)；(2)各項統(tǒng)計指標(biāo)(均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等)的計算方法；(3)二項分布的分布特征，近似分布及其應(yīng)用條件。2 .Poisson分布(1)分布參數(shù)；(2)各項統(tǒng)計指標(biāo)(均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等)的計算方法；3 3)Poisson分布的分布特征，近似分布及其應(yīng)用條件。(二)熟悉內(nèi)容1.二項分布(1)樣本率的分布；(2)總體率的區(qū)間估計；(3)樣本率與總體率的比較；(4)兩樣本率的比較。2.Poisson分布(1)總體均數(shù)的區(qū)間估計；(2)樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較；(3)兩個樣本均數(shù)的比較。(三)了解內(nèi)容二項分布及Po

2、isson分布的前提條件及其概率密度函數(shù)的應(yīng)用。二、教學(xué)內(nèi)容精要(一)基本概念1 .概率分布二項分布(binomialdistribution)和Poisson分布是統(tǒng)計學(xué)中很重要的兩種分布。二項分布：若一個隨機(jī)變量X,它的可能取值是0,1，,n,且相應(yīng)的取值概率為p(xk)k(1)nk(7-1)則稱此隨機(jī)變量X服從以n、n為參數(shù)的二項分布，記為XB(n,汽)。Poisson分布：若離散型隨機(jī)變量X的取值為0,1，,n,且相應(yīng)的取值概率為kP(Xk)一e(W>0)(7-2)k!則稱隨機(jī)變量X服從以為參數(shù)的Poisson分布(PoissonDistribution)，記為XP()。2 .兩

3、種分布成立的條件(1)二項分布成立的條件：每次試驗只能是互斥的兩個結(jié)果之一；每次試驗的條件不變；各次試驗獨(dú)立。(2)Poisson分布成立的條件：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關(guān)，只與觀察單位的大小有關(guān)；獨(dú)立增量性：在某個觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值無關(guān)；普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1。(二)分布參數(shù)1.二項分布，XB(n,汽)X的均數(shù)x=riTt(7-3)2X的萬差X=rn(1-n)(7-4)X的標(biāo)準(zhǔn)差x=n-(1)(7-5)2.Poisson分布，XP()X的均數(shù)-=w(7-6)2X的萬差X=W(7-7)X的標(biāo)準(zhǔn)差bx=1(7-8)(三)分布特性1 .可加

4、性二項分布和Poisson分布都具有可加性。如果Xi,X2,Xk相互獨(dú)立，且它們分別服從以ni,p(i=1,2,k)為參數(shù)的二項分布，則X=Xi+X2+Xk服從以n,p(n=ni+n2+nk)為參數(shù)的二項分布。如果Xi,X2,，Xk相互獨(dú)立，且它們分別服從以科i(i=1,2,k)為參數(shù)的Poisson分布，則X=Xi+X2+Xk服從以(=wi+w2+w。為參數(shù)的Poisson分布。2 .近似分布特定條件下，二項分布、Poisson分布可近似于某種其它的分布，這一特性拓寬了它們的應(yīng)用范圍。二項分布的正態(tài)近似：當(dāng)n較大，汽不接近0也不接近I時，二項分布B(n,汽)近似正態(tài)分布Nn*.n(I)。二項

5、分布的Poisson分布近似：當(dāng)n很大，汽很小，n為一常數(shù)時，二項分布近似于Poisson分布。Poisson分布的正態(tài)近似：Poisson分布P(w),當(dāng)W相當(dāng)大時(>20),其分布近似于正態(tài)分布。(四)應(yīng)用I.二項分布的應(yīng)用(1) 總體率的區(qū)間估計有查表法和正態(tài)近似法兩種方法。當(dāng)nW50時可以通過查表求總體率的95%和99%可信區(qū)間。當(dāng)二項分布滿足近似正態(tài)分布的條件時(n較大，樣本率p不接近0也不接近I),可用正態(tài)近似法求總體率的I-a可信區(qū)間：(p-u“Sp,p+u“Sp)(7-9)P(i p)(7-i0)(2) 樣本率與總體率比較應(yīng)用二項分布的概率計算公式計算事件(一般指X取某給

6、定值一側(cè)的所有值)發(fā)生的概率，再比較其與檢驗水準(zhǔn)a大小，推斷樣本所在的總體率與給定總體率的關(guān)系。(3) 兩樣本率的比較根據(jù)獨(dú)立的兩個正態(tài)變量的差也服從正態(tài)分布的性質(zhì)和二項分布在一定條件下的近似正態(tài)分布特性，當(dāng)兩個樣本的含量ni和n2較大，且pi、(i-pi)、p2、(i-p2)均不太小，可用u檢驗方法對兩樣本率對應(yīng)的總體率作統(tǒng)計推斷。(7-ii)pip2S2pip2S 2pi 6X2 n2(ix1 x2 i)(ni 電 ni(7-12)2. Poisson分布的應(yīng)用(1) 總體均數(shù)的區(qū)間估計有查表法和正態(tài)近似法兩種方法。當(dāng)樣本計數(shù)XW50時，可用查表法求得總體均數(shù)的95%或99%可信區(qū)間。當(dāng)樣

7、本計數(shù)X>50時，可利用Poisson分布的正態(tài)近似性，計算其總體均數(shù)（1-a）可信區(qū)間如下:(X u JX , X u JX )(7-13)（2）樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較有直接計算概率法和正態(tài)近似法兩種方法。樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的目的是推斷此樣本所代表的未知總體均數(shù)是否等于已知總體均數(shù)0。當(dāng)總體均數(shù)較小時，可采用直接計算概率法進(jìn)行比較。X取某一值的概率以Poisson分布的概率密度函數(shù)來計算,P(X k) e(k=0,1,2,)k!注意：樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較時，應(yīng)以X取大于等于（樣本均數(shù)大于總體均數(shù)時）或小于等于（樣本均數(shù)小于總體均數(shù)時）樣本均數(shù)的所有值的概率總和同檢驗界值a進(jìn)行比

8、較，切不可僅以X取樣本均數(shù)的概率同檢驗界值進(jìn)行比較。當(dāng)總體均數(shù)較大時，可用正態(tài)近似法進(jìn)行統(tǒng)計推斷。此時Poisson分布近似正態(tài)分布，故可計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計量u,(7-14)XUoJo通過u值得出相應(yīng)的概率，推斷樣本均數(shù)與總體均數(shù)的關(guān)系。（3）兩個樣本均數(shù)的比較：兩個樣本計數(shù)均較大時，可根據(jù)Poisson分布的正態(tài)近似性對其進(jìn)行u檢驗。X1 X兩個樣本觀察單位相同時，用下式計算u值。(7-15)兩個樣本觀察單位不同時，用下式計算u值。(7-16)X1/D1X2/nX1In2三、典型試題分析（一）單項選擇題1 .某地人群中高血壓的患病率為支，由該地區(qū)隨機(jī)抽查n人，則（）A.樣本患病率p=X/n服從

9、B（n,n）8. n人中患高血壓的人數(shù)X服從B（n,n）C.患病人數(shù)與樣本患病率均不服從B（n,式）D.患病人數(shù)與樣本患病率均服從B（n,汽）答案：B評析本題考點(diǎn)：二項分布概念的理解。二項分布中所指的隨機(jī)變量X代表n次試驗中出現(xiàn)某種結(jié)果的次數(shù)，具體到本題目就是指抽查的n個人中患高血壓的人數(shù)，因此答案為Bo2 .二項分布近似正態(tài)分布的條件是（）A.n較大且宜接近0B.n較大且宜接近1C.n較大且宜接近0或1D.n較大且宜接近0.5答案：D評析本題考點(diǎn)：二項分布的正態(tài)近似特性。從對二項分布特性的描述中可知：當(dāng)n較大，式不接近0也不接近1時，二項分布B（n,式）近似正態(tài)分布N（n支，、,彳71）。汽

10、不接近。也不接近1,等同于汽接近0.5,因而此題目答案為D。3 .以下分布中，其均數(shù)和方差總是相等的是（）A.正態(tài)分布B.對稱分布C.Poisson分布D.二項分布答案：C評析本題考點(diǎn)：Poisson分布的特性。Poisson分布P（）的參數(shù)只有一個，即w。它的均數(shù)和方差均等于科,這一點(diǎn)大家需要牢記。4 .測得某地區(qū)井水中細(xì)菌含量為10000/L,據(jù)此估計該地區(qū)每毫升井水中細(xì)菌平均含量的95%T信區(qū)間為（）A.100001.9610000B.101.961010000.C.101.96D.101.96/100001000答案：C評析本題考點(diǎn)：Poisson分布的正態(tài)近似性。當(dāng)X較大（一般大于5

11、0）時，Poisson分布近似正態(tài)分布，按照正態(tài)分布資料的計算公式計算該地區(qū)井水中平均每升細(xì)菌含量的95%可信區(qū)間，再除以1000即得平均每毫升井水中細(xì)菌的平均含量（設(shè)YX/,有Y1000SSx/a10000/）。SY10001000（二）是非題從裝有紅、綠、藍(lán)三種顏色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中隨機(jī)取出10個球，以X代表所取出球中的紅色球數(shù)，則X服從二項分布B（10,0.5）。（）答案：正確。評析本題考點(diǎn)：二項分布的定義。二項分布成立的條件是：每次試驗只能是互斥的兩個結(jié)果之一；每次試驗的條件不變；各次試驗獨(dú)立。此題目所述情況完全滿足后兩個條件，關(guān)鍵在于第一個條件的判斷，從表面上

12、看，每次試驗的結(jié)果有三種，但本題目所關(guān)心的試驗結(jié)果是“紅色與否”，因而該試驗結(jié)果仍為兩種互斥的情況一“紅色”和“非紅色”。所以，此題目所述情況滿足以上三個條件，X服從二項分布B（10,0.5）。（三）計算題炮擊命中目標(biāo)的概率為0.2,共發(fā)射了14發(fā)炮彈。已知至少要兩發(fā)炮彈命中目標(biāo)才能摧毀之，試求摧毀目標(biāo)的概率。答案：0.802評析本題的考點(diǎn)：二項分布概率函數(shù)的理解和應(yīng)用能力。摧毀目標(biāo)的概率即有兩發(fā)或兩發(fā)以上炮彈命中目標(biāo)的概率，此概率又等于1減去只有一發(fā)命中或無一命中的概率之差。根據(jù)二項分布的概率函數(shù)計算如下：_1414113PX21Pxi1（10.2）（1）0.2（10.2）10.0440.1

13、540.802四、習(xí)題（一）名詞解釋1 .二項分布2. Poisson分布3. Bernoulli試驗（二）單項選擇題：1. Xi、X2分別服從二項分布B（ni,pi）、B（n2,p2）,且Xi、X2相互獨(dú)立，若要X=X1+X2也服從二項分布,則需滿足下列條件（）。A.Xi=X2B.ni=n2C.pi=p2D.nipi=n2P22 .二項分布B（n,p）的概率分布圖在下列哪種條件下為對稱分布（）。A.n=50B.p=0.5C.np=iD.p=iI3 .Poisson分布P（）滿足下列何種條件時近似正態(tài)分布N（,可）（）。A,相當(dāng)大B.=iC.=0D.=0.54 .已知某高校學(xué)生近視眼的患病率為

14、50%,從該高校隨機(jī)挑選3名學(xué)生，其中2人患近視眼的概率為（）。A.0.i25B.0.375C.0.25D.0.55 .某自然保護(hù)區(qū)獅子的平均密度為每平方公里i00只，隨機(jī)抽查其中一平方公里范圍內(nèi)獅子的數(shù)量，若進(jìn)行i00次這樣的抽查，其中的95次所得數(shù)據(jù)應(yīng)在以下范圍內(nèi)（）。A.5i95B.80.4ii9.6C.95i05D.74.2i25.8（三）簡答題i.服從二項分布及Poisson分布的條件分別是什么？2,二項分布、Poisson分布分別在何種條件下近似正態(tài)分布？3.在何種情況下，可以用率的標(biāo)準(zhǔn)誤Sp描述率的抽樣誤差？（四）計算題1 .已知我國成人乙肝病毒表面抗原平均陽性率為i0%,現(xiàn)隨機(jī)

15、抽查某地區(qū)i0位成人的血清，其中3人為陽性。該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率是否高于全國平均水平？2 .對甲、乙兩種降壓藥進(jìn)行臨床療效評價，將某時間段內(nèi)入院的高血壓病人隨機(jī)分為兩組，每組均為i00人。甲藥治療組80位患者有效，乙藥治療組50位患者有效，兩種降壓藥有效率有無差別？3 .某放射性物質(zhì)發(fā)生脈沖頻率為i00/克/小時，已知某礦區(qū)礦石中該放射性物質(zhì)的含量為4克/千克，今又測得另一礦區(qū)同種礦石每千克發(fā)生脈沖頻率為i000/小時，問兩個礦區(qū)礦石中該放射性物質(zhì)的含量是否相等？4 .一臺儀器在i0000個工作時內(nèi)平均發(fā)生i0次故障，試求在i00個工作時內(nèi)故障不多于兩次的概率。五、習(xí)題答題要點(diǎn)（一）名

16、詞解釋1. 二項分布：若一個隨機(jī)變量X,它的可能取值是0,i，,n,且相應(yīng)的取值概率為P（Xk）（；）k（i）nk則稱此隨機(jī)變量X服從以n、n為參數(shù)的二項分布（BinomialDistribution）,記為XB（n,n）。2. Poisson分布：若離散型隨機(jī)變量X的取值為0,i，,n,且相應(yīng)的取值概率為kP（Xk）e（w>0）k!則稱隨機(jī)變量X服從以(1為參數(shù)的Poisson分布(PoissonDistribution)，記為XP()。3. Bernoulli試驗：將感興趣的事件A出現(xiàn)的試驗結(jié)果稱為“成功”，事件A不出現(xiàn)的試驗結(jié)果稱為“失敗”，這類試驗就稱為Bernoulli試驗(B

17、ernoulliTest)。(二)單項選擇題1 .C2.B3.A4.B5.B(三)問答題1 .二項分布成立的條件：每次試驗只能是互斥的兩個結(jié)果之一；每次試驗的條件不變；各次試驗獨(dú)立。Poisson分布成立的條件：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關(guān)，只與觀察單位的大小有關(guān)；獨(dú)立增量性：在某個觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值無關(guān)；普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1。2 .二項分布的正態(tài)近似：當(dāng)n較大，支不接近0也不接近1時，二項分布Bn,支)近似正態(tài)分布Nnn,1n(1)。Poisson分布的正態(tài)近似：Poisson分布P(),當(dāng)w相當(dāng)大時(>20),其分布近似于正態(tài)

18、分布。3 .當(dāng)率P所來自的樣本近似服從正態(tài)分布時，即n較大，P不接近0也不接近1時，可以用率白標(biāo)準(zhǔn)誤Sp描述率的抽樣誤差。(四)計算題1 .建立檢驗假設(shè)H。：該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率為10%;Hi：該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率大于10%。”0.05。從總體率為10%的人群隨機(jī)抽取10人，3人或3人以上陽性的概率為：P(X>3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1-0.910+10*0.1*0.99+45*0.12*0.98=0.0702P(X>3)>0.05,在a=0.05水平上，不拒絕Ho,不能認(rèn)為該地區(qū)成人乙肝表面抗原陽性率高于全國水平。2 .建立檢驗假設(shè)Ho:兩種藥有效率無差別；Hi：兩種藥有效率有差別。a=0.05。SPlP2X