圓錐曲線綜合應(yīng)用問題的4種考法

1、圓錐曲線的綜合應(yīng)用考法1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用例1圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點為P（如圖）.（）求點P的坐標(biāo)；（）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線交于A，B兩點，若的面積為2，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（）設(shè)切點坐標(biāo)為則切線斜率為切線方程為即此時，兩個坐標(biāo)軸的正半軸于切線圍成的三角形面積由知當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值即有最小值因此點的坐標(biāo)為（）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為點由點在上知并由得又是方程的根，因此，由，得由點到直線的距離為及得解得或因此，（舍）或，從而所求的方程為練習(xí)：設(shè),分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.（）若直

2、線MN的斜率為，求C的離心率；（）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.【解析】（1）（2）考法2 與圓錐曲線有關(guān)的最值或取值范圍的問題例2在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（）求橢圓的方程；（II）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點）. 點D在橢圓C上，且，直線BD與軸、軸分別交于M，N兩點.（i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；（ii）求面積的最大值.解析：（I）由題意知，可得.橢圓C的方程可化簡為.將代入可得，因此，可得.因此，所以橢圓C的方程為.（II）（）設(shè)，則，因為直線AB的斜率，又，所以直線AD

3、的斜率，設(shè)直線AD的方程為，由題意知，由，可得.所以，因此，由題意知，所以，所以直線BD的方程為，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.（）直線BD的方程，令，得，即，由（）知，可得的面積，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時S取得最大值，所以的面積的最大值為.練習(xí)：1.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且點（，）在橢圓上.（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓：，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.（i）求的值；(ii)求面積的最大值.【解析】（I）由題意知又，解得，所以橢圓的方程為（II）由（I）知橢圓的方程為.（i）設(shè)由題意知.因為又，即所以，即2. PBAM

4、Fyx0已知的三個頂點在拋物線：上，為拋物線的焦點，點為的中點，；（1）若，求點的坐標(biāo)；（2）求面積的最大值.解析：（1）由題意知，焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的定義知，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）設(shè)直線的方程為，由得，于是，所以，所以的中點的坐標(biāo)，由，所以，所以，因為，所以，由，所以，又因為，點到直線的距離為，所以，記，令解得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時 ，取得最大值，此時，所以的面積的最大值為.考法3 與圓錐曲線有關(guān)的定點、定值問題例3如圖，已知拋物線，過點M(0,2)任作一直線與相交于兩點，過點作軸的平行線與直線相交于點（為坐標(biāo)原點）.（1

5、） 證明：動點在定直線上；（2） 作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點，與（1）中的定直線相交于點，證明：為定值，并求此定值.練習(xí)：1.如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且1()求橢圓E的方程；()設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.ADBCOxyP ()當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立，得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以，從而x1x2y1y2x1x2(y11

6、)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1，所以，當(dāng)1時，3，此時，3為定值，當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時213，故存在常數(shù)1，使得為定值3.2.已知動圓與圓：和圓都相內(nèi)切，即圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標(biāo)原點，過點作的平行線交曲線于，兩個不同的點（）求曲線的方程；（）試探究和的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)；若不能，請說明理由解：（）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為,，圓心的軌跡為以、為焦點的橢圓，其中， 故圓心的軌跡：（）設(shè)，直線：，則直線：，由可得 ，由可得， ， 和的比值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為考法4 與圓錐曲線有關(guān)的存在性問題例4如圖，為坐標(biāo)原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結(jié)論.練習(xí)：已知雙曲線:的漸近線方程為，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，點為雙曲線與拋物線的一個公共點.（）求雙曲線與拋物線的方程； () 過拋物線的焦點作兩條相互垂直的直線，與拋物線分別交于點、，、. ()若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)（點，不同于點），求直線的斜率； ()是否存在常數(shù)，使得？若存在