基于相位差法的電力電纜雙端局部放電中文

1、信息與控制工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）英文翻譯 成績： 西安建筑科技大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文)英文翻譯院 （系）： 信息與控制工程學(xué)院 專業(yè)班級(jí)： 通信工程 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)論 文 方 向 ： 局部放電算法研究 翻 譯 文 章 題 目 ：Phase Difference Method for Two-end Partial Discharge Locating System of Power Cables 學(xué)生姓名： 王維妮 學(xué) 號(hào)： 100630111 指導(dǎo)教師： 張立材 2014年 3月 16日第 18 頁 共 17 頁基于相位差法的電力電纜雙端局部放電定位摘要：本文主要描述一個(gè)在電力電纜中局部放電

2、的定位方法。該方法是基于在電纜終端局部放電脈沖波與第一個(gè)到達(dá)的脈沖波之間的相位差。這個(gè)相位差作為頻率的函數(shù)可以通過使用交叉傅里葉譜密度函數(shù)來獲取。局部放電的位置可以由展開的相位差的斜率來確定。該方法的性能可以通過對(duì)一個(gè)20千伏，2公里的地下電纜使用電磁暫態(tài)程序來進(jìn)行測試，其中需考慮與頻率相關(guān)的參數(shù)。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明此方法的定位精度較高。關(guān)鍵字：局部放電；局部放電定位；電纜絕緣層；相位差1. 前言局部放電（PD）的產(chǎn)生是由于傳輸強(qiáng)交流電壓的電纜包含絕緣缺陷。局部放電活動(dòng)會(huì)逐漸降低并削弱電纜絕緣材料的絕緣能力以及縮短其壽命1,2。因此，要維護(hù)電力電纜以防止電力系統(tǒng)意外中斷，缺陷定位系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)大而有用

3、的工具。精確定位缺陷的方法可以基于電力電纜一端或兩端的測量。在前者的情況下，最常用的方法是時(shí)域反射法。將電纜的一端連接傳感器并將另一端打開就可以測量局部放電脈沖。時(shí)域反射法利用單個(gè)局部放電脈沖的直射和反射波的特性。許多直接在單端電力電纜上進(jìn)行的局部放電定位系統(tǒng)的研究已經(jīng)被報(bào)道3-6，因此，這里將不再進(jìn)行更深層次的討論。而在后者的情況下，局部放電脈沖需要電纜的兩端各一個(gè)傳感器來探測。兩個(gè)傳感器上的數(shù)據(jù)要同時(shí)進(jìn)行檢測和采樣。只要給出脈沖的傳播速率和電纜的長度，局部放電的位置就可以從由傳感器上接收到的同一局部放電脈沖到達(dá)時(shí)間的差值來得出6,7。在兩種情況下，對(duì)脈沖到達(dá)時(shí)間的估計(jì)，可以使用脈沖峰值檢測

4、法、50%的峰值檢測法、閾值檢測法、交叉相關(guān)法、最大似然法等來算出，而且是在時(shí)域處理信號(hào)7-9。相比于單端局部漏電定位系統(tǒng)，雙端局部漏電定位系統(tǒng)（例如，能夠在更長的電纜中定位放電位置，在相同長度的電纜中能更精確的估計(jì)到達(dá)時(shí)間，以及適用于分支電纜系統(tǒng)）的優(yōu)勢(shì)已經(jīng)在文獻(xiàn)中被廣泛的解釋6,10,11。在缺陷部位產(chǎn)生的局部放電脈沖的特征在于具有在納秒的時(shí)間范圍內(nèi)有快速上升和衰減的脈沖。因?yàn)殡娎|的頻率相關(guān)參數(shù)所以當(dāng)脈沖沿電纜傳播時(shí)這一特性將不存在。這些參數(shù)會(huì)對(duì)原始脈沖造成衰減和色散6,8。衰減是固體電介質(zhì)以及導(dǎo)體和護(hù)套的電阻損失而導(dǎo)致的。通常情況下，衰減的程度會(huì)隨著頻率的增加而增加。其結(jié)果是，局部放電脈

5、沖的頻率會(huì)損失，并且其幅度也會(huì)減小。色散是因?yàn)椴煌l率的局部放電脈沖在電纜中以不同的速度傳播，以至于脈沖在時(shí)域產(chǎn)生延時(shí)。隨著傳播距離的增加脈沖的峰值變小，并且進(jìn)一步滯后。也就是說，該信號(hào)的信噪比變低時(shí)，脈沖的上升時(shí)間變大。這些條件將對(duì)到達(dá)時(shí)間的估計(jì)產(chǎn)生影響，因?yàn)樵诿}沖上，確定測量時(shí)間的點(diǎn)變得更加困難。因此，到達(dá)時(shí)間的估計(jì)變得不太準(zhǔn)確，導(dǎo)致不準(zhǔn)確的局部放電位置估算9,10。本文介紹了另一個(gè)方法來定位PD，而且不需要估計(jì)到達(dá)時(shí)間。所提出的方法中信號(hào)的處理是在頻域。PD的位置可以從一個(gè)局部放電脈沖在電纜終端與首先達(dá)到的波之間的相位差來估計(jì)。交叉傅里葉譜密度函數(shù)應(yīng)用于獲得不同頻率的相位差。此方法的性能

6、會(huì)在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行模擬，并且將頻率相關(guān)參數(shù)考慮進(jìn)來。2. 局部放電測量系統(tǒng)簡化的PD測試系統(tǒng)如圖1。兩個(gè)PD工具被連接到電纜的末端A和B。PD脈沖經(jīng)過電纜兩端的高電壓電容器去耦。該儀器包含一個(gè)帶通濾波器和一個(gè)高增益帶寬放大器。由儀器接收到的局部放電脈沖通過適合于高頻信號(hào)的模擬光纖電纜傳送給同步A / D轉(zhuǎn)換器單元6（例如，一個(gè)雙通道數(shù)字示波器）。該系統(tǒng)被校準(zhǔn)以考慮到時(shí)間延遲是由于不同長度的光纖電纜。 圖1 基于相位差法的局部放電定位系統(tǒng)模型該數(shù)據(jù)被存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中并進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理。通過在缺陷部位14,15注入一個(gè)窄脈沖來模擬局部放電。本文提供的PD脈沖形狀在4.1節(jié)中描述。在電纜端測得的局部放電

7、脈沖可表示為：（1）這里是測量系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，從工具接受的PD信號(hào)，線性卷積操作，是經(jīng)過測量的PD脈沖。在每個(gè)電纜端測得的信號(hào)，經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字化。將記錄到的放電信號(hào)存儲(chǔ)在個(gè)人電腦中，并記為，包含放電脈沖和噪聲信號(hào)4。一個(gè)距離電纜末端為d的PD產(chǎn)生兩個(gè)幅度相同的波形。一個(gè)波以特定的傳播速度沿電纜傳播至末端A。在反方向上，一個(gè)波朝向末端B。如果兩個(gè)波傳播電纜的長度不等，那么它們將會(huì)在不同的時(shí)間到達(dá)電纜末端。兩個(gè)波之間的時(shí)間差由下式給出：（2）這里是首先到達(dá)A端的波的時(shí)間，是首先到達(dá)B端的波的時(shí)間。L是電纜長度，是傳播速度。3. 相位差法的基本理論本文提供的定位技術(shù)的基本思想是計(jì)算同一局部放電

8、脈沖的傅里葉光譜的每一個(gè)頻率在電纜的兩端與第一個(gè)到達(dá)的波的相位差。3.1 PD的位置估計(jì)將作為在A端記錄的時(shí)域信號(hào)，作為在B端記錄的時(shí)域信號(hào)。使作為總的長度（一個(gè)脈沖從A端傳播到B端的時(shí)間）。使用如下的傅里葉變換傳播信號(hào)的轉(zhuǎn)化為頻域信號(hào)：（3）兩個(gè)信號(hào)的交叉傅里葉譜密度函數(shù)定義為：（4）這里*代表復(fù)共軛。將是一個(gè)復(fù)數(shù)，因此：（5）這里（6）其中公式（6）中的對(duì)應(yīng)于信號(hào)和的相位差。該相位差是頻率的函數(shù)。相位差和DTOA之間的關(guān)系為：（7）用公式（2）將替換：（8）重新排列公式(8)，對(duì)PD位置估計(jì)是（9）這里是由相位差的斜率給出：（10）斜率可以使用線性回歸很容易地計(jì)算出來。3.2 相位展開由于

9、頻率帶寬很大，所以用相位差法來計(jì)算PD位置有一定的依賴性。由公式（8），可以說明相位差和局部放電的位置之間的關(guān)系，并且已經(jīng)從計(jì)算機(jī)模擬中取得進(jìn)展。假設(shè)電纜長度為2000米，放電脈沖的傳播速度為 m/s。為簡單起見，該頻率被限制在0-5兆赫茲內(nèi)。圖2示出PD的位置取三個(gè)不同值時(shí)相位差與頻率的的函數(shù)?？梢钥闯鱿辔皇遣贿B續(xù)的。在實(shí)際中，相位差的變化僅僅是從到因?yàn)橄辔徊钍菑娜呛瘮?shù)得出如公式（6）。如圖2（a），2（b），2（c）所示，相位差是隨著頻率的變化而變化的。這就意味著，有一個(gè)以上的頻率有相同的相位差，并且從公式（9）可以得出，這些相位差將得出模棱兩可的PD位置。周期相位差的圖形被稱為條紋。隨

10、著PD的位置移動(dòng)到電纜的中間，條紋將變得稀疏。但應(yīng)注意的是，如果相位差不是包含在的范圍內(nèi)，那么相位差應(yīng)包括（11）這里是條紋的數(shù)量。條紋的數(shù)量可以從公式（8）中獲得：（12）例如，PD的位置為m，頻率為MHZ，可以得出條紋數(shù)為7條。當(dāng)距離為0并且頻率為奈奎斯特頻率時(shí)條紋數(shù)最多。 圖2 相位差作為三個(gè)不同PD位置的頻率的函數(shù)很明顯，為了消除PD的模糊性，相位差必須展開。換句話說，每個(gè)相位差應(yīng)對(duì)應(yīng)唯一的頻率。因此，將引入一個(gè)相位展開算法。相位展開算法是為了消除出現(xiàn)在相位差函數(shù)中的階躍或間斷點(diǎn)。該算法對(duì)相位差應(yīng)用模2的操作（當(dāng)時(shí)，加或減）直到下列條件的以滿足： （13）這里是快速傅里葉變換的長度。展

11、開的相位差是頻率的函數(shù)，如圖2（a）所示。簡單并且流行的展開算法見17。執(zhí)行相位展開算法后，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)的相位差的斜率就都可以進(jìn)行計(jì)算了。當(dāng)PD位于電纜端A和電纜的中間之間斜率為正，當(dāng)PD恰好位于電纜的中間或其它位置時(shí)斜率為負(fù)。3.3 PD定位算法的流程圖圖3展示了基于相位差法的PD定位流程圖。對(duì)接收到的信號(hào)使用公式（1）進(jìn)行脈沖相應(yīng)卷積。卷積的輸出是測量的信號(hào)。加性噪聲是由輸出設(shè)備引入的，這可能會(huì)使分析變得復(fù)雜。測量信號(hào)和噪聲都將被A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字化。將從A/D轉(zhuǎn)化圖3 PD定位系統(tǒng)信號(hào)處理流程圖器輸出的信號(hào)記為PD脈沖。使用FT將轉(zhuǎn)換到頻域。從這個(gè)轉(zhuǎn)換器輸出的是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)。使用公式

12、（4）可以計(jì)算出和的交叉傅里葉譜密度函數(shù)。相位差是從公式（6）中獲得的頻率的函數(shù)。直到這一點(diǎn)，相位差才被包含在的范圍內(nèi)。接下來，相位展開算法就需消除掉出現(xiàn)在相位中的不連續(xù)點(diǎn)。展開的相位差的斜率可以使用最小二乘擬合來計(jì)算19。最后，使用公式（9）來計(jì)算PD的位置的估計(jì)。4. 仿真及結(jié)果為了評(píng)估該方法的性能，可以利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真。在電纜中傳播的局部放電脈沖用電磁暫態(tài)程序進(jìn)行模擬。電纜是長度為2000米，電壓為20千伏的地下電纜。電纜的幾何圖形將在附錄中詳細(xì)說明。電纜護(hù)套假定為返回路徑，使得局部放電脈沖沿電纜導(dǎo)體和護(hù)套行進(jìn)3,7。傳播速度是通過在電纜的一端注入一個(gè)脈沖來校準(zhǔn)的，而從儀器接收到的第一

13、個(gè)峰值的DOTA是通過測量的來的。得出的傳播速度為m/s。該儀器是由一個(gè)八階無限脈沖響應(yīng)（IIR）的帶通濾波器， 100千赫至30兆赫和3分貝衰減處的截止頻率的帶寬建模14。該工具被認(rèn)為是相同的，并且具有相同的增益。兩個(gè)A / D轉(zhuǎn)換器具有8位垂直分辨率和100MHz的采樣率（采樣時(shí)間為10納秒） ，并且它們同時(shí)工作。時(shí)間T為13.86或1386的樣品。加性噪聲是高斯噪聲的建模14,19，信噪比從10分貝到-5分貝。該雙端PD定位系統(tǒng)的仿真非常接近實(shí)際測量的值。4.1 PD脈沖波形一個(gè)典型的局部放電脈沖是在缺損部位產(chǎn)生的。PD的脈沖形狀是由具有雙指數(shù)形式的電流源建模6（14）波前ns，波后ns

14、。電流放大器為6mA，正好約等于。圖4 顯示了PD脈沖的形狀及與其他模型的比較19,20。圖4 PD脈沖的模型4.2 PD定位分析圖 5 三種不同信噪比下的PD脈沖例如，對(duì)一個(gè)PD的位置米進(jìn)行分析。圖5 出示了記錄在電纜兩端的放電信號(hào)。失真信號(hào)具有三個(gè)不同的噪聲電平。信噪比是10分貝、0分貝、-5分貝，其中分別代表小，中，大噪聲。當(dāng)噪聲較小時(shí)，到達(dá)的波清晰可見。另一方面，當(dāng)噪聲較大時(shí)，到達(dá)的波在電纜的兩端不容易從噪聲區(qū)分，尤其是當(dāng)缺陷部位接近電纜端。為了簡化信號(hào)處理的解釋，分析的重點(diǎn)放在信噪比為0的PD脈沖。 圖6 （a）交叉傅里葉頻譜，（b）相位差PD的信號(hào)被記錄后，F(xiàn)T將實(shí)現(xiàn)信號(hào)從時(shí)域到頻

15、域的轉(zhuǎn)換。使用交叉傅里葉譜密度函數(shù)，傅里葉頻譜和相位作為頻率的函數(shù)可表示為圖6.相位差包含在的范圍內(nèi)，處于低頻率的信號(hào)可以清楚地看見。圖7（a）示出了在頻域中高達(dá)5兆赫茲的相位差。對(duì)于較高的頻率，相位差似乎是分散的。這是因?yàn)閷?duì)于較高的頻率，交叉傅里葉頻譜是比較低的，其噪聲頻譜更占優(yōu)勢(shì)。在頻域，相位差分散的地方噪聲電平變得更寬。因此，在下文中相位差的分析只集中在頻率區(qū)域高達(dá)5 MHz ，其中所述條紋是明顯的。正如第3.2節(jié)的展開算法，然后應(yīng)用到相位差。圖7（b）表示展開的相位差。可以看出，該展開相位差隨頻率線性增加。使用線性最小二乘法擬合函數(shù)得到的展開相位差的斜率，其結(jié)果是弧度/兆赫。最后，使用

16、公式（9）PD位置估計(jì)為米。圖7（a）頻率低于5MHZ的相位差（b）展開的相位差4.3 統(tǒng)計(jì)分析和結(jié)果對(duì)所提出的技術(shù)性能進(jìn)行定量評(píng)價(jià)。在給定位置和信噪比時(shí)產(chǎn)生100個(gè)局部放電信號(hào)。對(duì)于給定的PD位置和信噪比，計(jì)算三種統(tǒng)計(jì)參數(shù)（即平均位置，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差和平均誤差）。平均誤差定義為：Average Error（15）這里是真正的放電位置，而是假設(shè)的位置，并且。各種PD位置和信噪比的模擬結(jié)果示于圖8。從圖中可知，真實(shí)的位置和平均的位置之間的相關(guān)性是非常高的，這表明所提出的方法具有較高的定位精度。在PD位置的噪聲的效果示于圖9。很明顯較大的噪聲有較高的標(biāo)準(zhǔn)偏差和平均誤差。位置的誤差變大時(shí)，缺陷的部

17、位總是遠(yuǎn)離電纜的中間。這是可以理解的，因?yàn)槿毕菰绞墙咏娎|的端部，在電纜中傳播的脈沖在接收之前就越是衰減和分散。然而，在所有的情況下，平均誤差小于3米，這時(shí)電纜的長度小于0.2%。圖8不同PD位置和噪聲水平的統(tǒng)計(jì)值得注意的是，當(dāng)缺陷是非常接近電纜的任何一端，第一個(gè)到達(dá)的波是可能的反射波重疊，這兩個(gè)波變得更寬，因?yàn)樗鼈兊膫鞑ゾ嚯x將接近的電纜長度。這個(gè)脈沖重疊使得到波形失真，并且能夠產(chǎn)生不準(zhǔn)確的定位結(jié)果，即，標(biāo)準(zhǔn)偏差和位置誤差也高得多。如清楚地示于圖9 ，其標(biāo)準(zhǔn)偏差為高時(shí)的缺陷是非常接近的電纜端部。圖10為預(yù)測圖，其中在電纜的兩端表現(xiàn)不佳區(qū)域大于電纜中間。脈沖重疊使得在PD位置估計(jì)脈沖到達(dá)時(shí)間的方

18、法變得復(fù)雜14。在這個(gè)模擬中PD的位置必須在從A端的2米至1998米之間，這使得提出的技術(shù)能夠?qū)D定位在正確的范圍內(nèi)。超出此范圍，可產(chǎn)生不準(zhǔn)確的PD位置估計(jì)，特別是當(dāng)噪聲電平非常大的時(shí)候。圖9（a）平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差（b）PD位置和噪聲的平均位置圖10（a）標(biāo)準(zhǔn)偏差，（b）平均誤差（SNR=-5dB）4.4 優(yōu)勢(shì)以下是所提出的方法與其他四種基于到達(dá)時(shí)間的方法的比較：a 交叉相關(guān)：該方法通過檢測時(shí)間差，最大限度的從由傳感器收到的同一局部放電脈沖的初始信號(hào)之間的互相關(guān)值估計(jì)DOTA。b 峰值檢測：在最高點(diǎn)的初始局部放電脈沖被當(dāng)做標(biāo)記時(shí)間的到達(dá)。c 50%的峰值檢測：這類似于峰值檢測，但是，當(dāng)初始脈

19、沖達(dá)到其峰值幅度的50%的時(shí)間被當(dāng)做時(shí)間的到達(dá)。d ML：這種方法利用了局部放電脈沖和參考脈沖（即，一個(gè)“波”脈沖）之間的相似性。參考脈沖的波形必須預(yù)先設(shè)置。通過似然函數(shù)得到到達(dá)時(shí)間，其中，初始PD和參考脈沖是變量9。為比較起見，假定參考脈沖在ML的方法中具有相同的波形作為初始波形，當(dāng)缺陷位于電纜的中點(diǎn)時(shí)。圖10顯示了SNR為5分貝時(shí)各個(gè)PD的位置之間的比較結(jié)果。在一般情況下，所提出的方法具有較低的誤差，這表明該方法具有較高的性能。然而，在電纜的中間，ML方法表現(xiàn)出更好地定位精度。所接收的局部放電脈沖的波形逼得非常相似的參考脈沖，這個(gè)是可以理解的。當(dāng)缺陷變得更加接近電纜端部，PD脈沖和參考脈沖

20、具有較高的相似性，因此，它的位置誤差較高。值得注意的是，在實(shí)踐中，實(shí)際的局部放電脈沖的形狀是未知的，并且是不同的個(gè)別情況，相對(duì)于對(duì)ML方法，該基準(zhǔn)脈沖的形狀是完全從PD脈沖已知的假設(shè)。5. 結(jié)論本文呈獻(xiàn)一種新的方法用于電力電纜的雙端PD定位系統(tǒng)。用所提出的方法估計(jì)每個(gè)傅里葉頻率的同一局部放電脈沖的第一個(gè)到達(dá)的波之間的相位差。實(shí)施相位展開算法后，PD的位置是從該相位差的斜率確定。該方法不需要估計(jì)到達(dá)時(shí)間，這樣可避免由頻率的衰減和分散引起的到達(dá)時(shí)間估計(jì)的誤差問題。對(duì)此方法使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬來定量評(píng)估。在不同位置產(chǎn)生的脈沖和加性噪聲，噪聲的變化范圍從10分貝到-5分貝。對(duì)不同PD位置的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，

21、該方法能夠準(zhǔn)確的找出電力電纜的缺陷位置。與其他方法的比較結(jié)果表明，在一般情況下所提供的方法具有更好地精確度。進(jìn)一步的研究工作是為了將此方法更好的應(yīng)用于消災(zāi)的電力電纜。參考文獻(xiàn)1. James, R. E., and Su, Q., Condition Assessment of High Voltage Insulation, London, UK: IET Power and Energy Series, 2008.2. Densley, J., “Ageing mechanisms and diagnostics for power cablesan overview,” IEEE Ele

22、ct. Insul. Mag., Vol. 17, No. 1, pp. 1422, January/February 2001.3. Mashikian, M. S., Bansal, R., and Northrop, R. B., “Location and characterization of partial discharge sites in shielded power cables,” IEEE Trans. Dielect. Elect. Insul., Vol. 5, No. 2, pp. 833839, April 1990.4. Mashikian, M. S., P

23、almeeri, F., Bansal, R., and Northrop, R. B., “Location of partial discharge in shielded cables in the presence of high noise,” IEEE Trans. Dielect. Elect. Insul., Vol. 27, No. 1, pp. 3743, February 1992.5. Steiner, J. P., Reynolds, P. H., and Weeks, W. L., “Estimating the location of partial discha

24、rges in cables,” IEEE Trans. Dielect. Elect. Insul., Vol. 27, No. 1, pp. 4459, February 1992.6. Cavallini, A., Montanari, G. C., and Puletti, F., “A novel method to locate PD in polymeric cable systems based on amplitude-frequency (AF) map,” IEEE Trans. Dielect. Elect. Insul., Vol. 14, No. 3, pp. 72

25、6734, June 2007.7. Wagenaars, P., Wouters, P. A. A. F., van der Wielen, P. C. J. M., and Steennis, E. F., “Accurate estimation of the time-of-arrival of partial discharge pulse in cable systems in service,” IEEE Trans. Dielect. Elect. Insul., Vol. 15, No. 4, pp. 11901199, August 2008.8. Kreuger, F.

26、H., Wezelenburg, M. G., Wiemer, A. G., and Sonneveld, W. A., “Partial discharge part XVIII: Errors in the location of partial discharges in high voltage solid dielectric cables,” IEEE Elect. Insul. Mag., Vol. 9, No. 6, pp. 1523, November/December 1993.9. Knapp, C. H., Bansal, R., Mashikian, M., and

27、Northrop, R. B., “Signal processing techniques for partial discharge site location in shielded cables,” IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 5, No. 2, pp. 895865, April 1990.10. Boggs, S., Pathak, A., and Walker, P., “Partial discharge XXII: High frequency attenuation in shielded solid dielectric power

28、cable and implication thereof for PD location,” IEEE Elect. Insul. Mag., Vol. 12, No. 1, pp. 916, January/February 1996.11. Steennis, E. F., Ross, R., van Schaik, N., Boone, W., and van Aartrijk, D., “Partial discharge diagnostics of long and branched medium-voltage cables,” IEEE 7th International C

29、onference on Solid Dielectrics, Eindhoven, the Netherlands, 2529 June 2001.12. Marti, L., “Simulation of transient in underground cables with frequency-dependent modal transformation matrices,” IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 3, No. 3, pp. 10991110, July 1988.13. Rivas, R. A., and Marti, L., “Calcu

30、lation of frequency-dependent parameters of power cables: Matrix partitioning techniques,” IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 17, No. 4, pp. 10851092, October 2002.14. Du, Z., Willet, P. K., and Mashikian, M. S., “Performance limits of PD location based on time-domain reflectometry,” IEEE Trans. Dielect. Elect. Insul., Vol. 4, No. 2, pp. 182188, April 1997.15. Vakilian, M., Blackburn, T. R., Jam