2009上數(shù)理統(tǒng)計考試題A卷及參考解答

1、2009(上)數(shù)理統(tǒng)計考試題(A卷)及參考解答一、填空題(每小題3分，共15分)1,設總體X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0,32),而(X1,X21H,X9)和(Y,丫2川，Y9)是分別來自X和Y的樣本，則U=Xl*-XM服從的分布是.Yi2HIY92-解：t(9).2,設舟與用都是總體未知參數(shù)e的估計，且有比不2有效，則呢與其的期望與方差滿足二解：E(給=E(每)，D(齡cD(咨).3, “兩個總體相等性檢驗”的方法有與.解：秩和檢驗、游程總數(shù)檢驗.4,單因素試驗方差分析的數(shù)學模型含有的三個基本假定是二解：正態(tài)性、方差齊性、獨立性.5,多元線性回歸模型Y=XB+君中，B的最小二乘估計是

2、彳=.解：?=(XX尸XY.二、單項選擇題(每小題3分，共15分)21,設(Xi,X2,|l|,Xn)(n22)為來自總體N(0,1)的一個樣本，X為樣本均值，S為樣本方差，則D(A)nXLN(0,1)；(B)nS2L*(n)；2(C)(1)Xut(n);(D)(n：1)X1UF(1,n-1).SX：i=22,若總體XLN(R,仃2),其中仃2已知，當置信度1-a保持不變時，如果樣本容量n增大，則N的置信區(qū)間B_.(A)長度變大；(B)長度變?。?C)長度不變；(D)前述都有可能.3,在假設檢驗中，分別用a,P表示犯第一類錯誤和第二類錯誤的概率，則當樣本容量n一定時，下列說法中正確的是C.(A

3、)a減小時P也減??；(B)ot增大時P也增大；(C)%P其中一個減小，另一個會增大；(D)(A)和(B)同時成立.4,對于單因素試驗方差分析的數(shù)學模型，設ST為總離差平方和，Se為誤差平方和，SA為效應平方和，則總有A(B)沿”(r-1);(JE1,(D)Sa與Se相互獨立.5,在一元回歸分析中，判定系數(shù)定義為R2與,則_BSt一一(A) R2接近0時回歸效果顯著;(B) R2接近1時回歸效果顯著;2-(C)R接近的時回歸效果顯著;(D)前述都不對.三、(本題10分)設總體XLN(H,2)、Y|_N(4,。2),(X1,X2,H|,XnJ和(丫1,工川，鼻)分別是來自X和Y的樣本，且兩個樣本相

4、互獨立,sX、S2分別是它們的樣本均值和樣本方差，證明(X-Y)-(-1-J2)t(n-2),其中s2.二(n1-1)SX(n2-1)S2nin2-2證明:易知_22X-YUN(1-與,十)，Rn2(X-Y)_(匕-J2),()(12)|_|N(0,1).11CTI十叫n2(A)St=0+Sa；由定理可知由獨立性和(n1-1)SX2CJ，2(n-1),(1-1原:二2*(電一1).爐分布的可加性可得V(n1-1)SV-二2X(n2-1)一二22(n1n2-2).由U與V得獨立性和t分布的定義可得Lt(n1+n2-2).(X-Y)-(J1-J2)二Us,；n2V/(n1n2-2)xe三x0,四、

5、(本題io分)已知總體x的概率密度函數(shù)為f(x)=e,其中未知參數(shù)00,10,其它（X1,X2,|,Xn）為取自總體的一個樣本，求e的矩估計量，并證明該估計量是無偏估計量.解：（1）V1j771_x.E(X)=jqxf(x)dx=qgxe飛x=e,用V1c1nh=%Xi=X.nic1n(2)E(司=E(X)=E(XJ=E(X)=8,所以該估計量是無偏估計.ni4五、（本題10分）設總體X的概率密度函數(shù)為f（x；e）=（1+a）xQox-1,（Xi,X2,ll|Xn）是來自總體X的一個樣本，試求參數(shù)e的極大似然估計.解:nLJ嘰孕產0,0二Xi：二1其它n當0cxi0;未知參數(shù)九0,(X1,X2

6、,Xn)0,x0,為總體的一個樣本，證明X是1的一個UMVUE證明：由指數(shù)分布的總體滿足正則條件可得:2Id-E-ilnf(x;)=-E1一1的的無偏估計方差的C-R下界為s12(A)2,21nl(1)另一方面E(X)=1/九,即X得方差達到C-R下界，故X是1的UMVUE九七、(本題10分)合格蘋果的重量標準差應小于0.005公斤.在一批蘋果中隨機取9個蘋果稱重，得其樣本標準差為S=0.007公斤，試問：(1)在顯著性水平a=0.05下，可否認為該批蘋果重量標準差達到要求？(2)如果調整顯著性水平=0.025,結果會怎樣？參考數(shù)據：72.025(9)=19.023,抬.05(9)=16.91

7、9,5(8)=17.535,70.05(8)=15.507.222n-11s2，、,解：(1)H。：。15,507,所以拒絕假設H0,即認為蘋果重量標準差指標未達到要0.005求.2(2)新設H0:i20,005,由7：025=17,535,=72=父,2=15.68c17,535,則接受假設，0.0052即可以認為蘋果重量標準差指標達到要求.八、(本題10分)已知兩個總體X與Y獨立，X(也，仃；)，Y(1，仃；)，巳，巴，仃；仃2未知，2,儀142,川？川)和(丫1,，,川,工2)分別是來自X和Y的樣本，求T的置信度為1a的置信區(qū)間.二2解：設sX,S2分別表示總體X,Y的樣本方差，由抽樣分

8、布定理可知/，望皿2(),由F分布的定義可得(n1)SX(n-1)g-1底(n2-1)S2:-2,).二22對于置信度1一0(，查F分布表找Fa2(n11,n2-1)和F1y/2(1,n2-1)使得pQ2m-1,n2-1)F%2(%-1,7-1)】=1-。，即PSL/SYsX/sY1i下142m1一1,%-1)WFs一1八一1)1_2所求4；二2的置信度為儀的置信區(qū)間為SX/S2sX/sYF1/2(n1-1,n2-1)FQ/2(n11,n2-1)；九、解:2009(上)數(shù)理統(tǒng)計考試題(B卷)及參考解答填空題(每小題3分,共15分)1,設總體X服從正態(tài)分布X12X10N(0,4),而(X1,X2

9、|,X15)是來自X的樣本，則U=上2、2(XnX15)服從的分布是解:F(10,5).(本題10分)試簡要論述線性回歸分析包括哪些內容或步驟.建立模型、參數(shù)估計、回歸方程檢驗、回歸系數(shù)檢驗、變量剔除、預測.2,母是總體未知參數(shù)e的相合估計量的一個充分條件是.解：limE咸)=8,limVar(置)=0.n.ni.3,分布擬合檢驗方法有與.2斛：檢驗、柯爾吳哥洛夫檢驗.4,方差分析的目的是.解：推斷各因素對試驗結果影響是否顯著.5,多元線性回歸模型Y=XB+w中，B的最小二乘估計？的協(xié)方差矩陣Cov(?)=.解：Cov(?)=仃2(XX).二、單項選擇題(每小題3分，共15分)1,設總體XN(

10、1,9),(Xi，X2，HLX9)是X的樣本，則B_X-1X-1(A)N(0,1)；(B)N(0,1)；31(C)-N(0,1)；(D)f=-N(0,1).932,若總體XLN(N,仃2),其中仃2已知，當樣本容量n保持不變時，如果置信度1-3減小，則N的置信區(qū)間B一二(A)長度變大；(B)長度變小；(C)長度不變；(D)前述都有可能.3,在假設檢驗中，就檢驗結果而言，以下說法正確的是B.(A)拒絕和接受原假設的理由都是充分的；(B)拒絕原假設的理由是充分的，接受原假設的理由是不充分的；(C)拒絕原假設的理由是不充分的，接受原假設的理由是充分的；（D）拒絕和接受原假設的理由都是不充分的4,對于

11、單因素試驗方差分析的數(shù)學模型，設St為總離差平方和，Se為誤差平方和,Sa為效應平方和，則總有A(A) St=&+Sa；(B) 7?”-1)；CTSe/(n-r)LF(r-1,n-r);（D）Sa與Se相互獨立.5,在多元線性回歸分析中，設孑是0的最小二乘估計，?=Y-X?是殘差向量，則(A) E=0n；(B) Cov(8)=n2InX(XX),X；(C)?n-p-12是仃的無偏估計;（D）（A）、（B）、（C）者B對.三、（本題10分）設總體XN（%。2）、Y|_N（&,。2）,（X1,X2，H|,XnJ和（丫1,丫2川，/）分別是來自X和Y的樣本，且兩個樣本相互獨立，X、丫和sX、sY2分

12、別是它們的樣本均值和樣本方差，證明（X-丫）-（1-2）t(n1+n2-2)，n2其中s2.二(-1)SX(小-1)S2nn2-2證明:易知X-YUN(L-坊,22acr一十一),(X-丫)一(1)U=UN(0,1).由定理可知由獨立性和(n1-1)SX二22(n1-1),(1-1原:二2L/2(n2-1).爐分布的可加性可得(n1-1)SX2(n2-1)SY2+2L/(n1十1一2).cr由U與V得獨立性和t分布的定義可得(X-Y)-(J1-J2)n2V/(n1n2-2)t(n1+n2-2).四、（本題10分）設總體X的概率密度為1201汨一司0,0：X:：LXx1,其中參數(shù)6(000.故4

13、X不是日的無偏估計量.五、（本題10分）設總體X服從0,砌（90）上的均勻分布，郃芯用出口）是來自總體X的一個樣本，試求參數(shù)日的極大似然估計.解：X的密度函數(shù)為1f(x”)=；0,0_x三U；其他，似然函數(shù)為19）二百0，0:二X：二二i=1,2M,n,其它顯然00時，L（8）是單調減函數(shù),而emaxdtx1,x2,|,xn),所以夕=maxX1,X2MI,Xn是8的極大似然估計.六、（本題10分）設總體X服從B（1,p）分布，（X1,X2,lllXn）為總體的樣本，證明X是參數(shù)p的一個UMVUE證明：X的分布律為.x.1x_.f(x;p)=p(1p),x=0,1.容易3證f（x;p）滿足正則

14、條件，于是_F.1I(p)=Elnf(x;p)=6Pp(i-p)另一方面1nI(p)1p(1-p)Var(X)=-Var(X)=-pp)nn即X得方差達到C-R下界的無偏估計量，故X是p的一個UMVUE七、（本題10分）某異常區(qū)的磁場強度服從正態(tài)分布N（N0,。2）,由以前的觀測可知N0=56.現(xiàn)有2臺新儀器，用它對該區(qū)進行磁測抽測了16個點，得x=61,s=400,問此儀器測出的結果與以往相比是否有明顯的差異（a=0.05）.附表如下:t分布表na=0.1a=0.05a=0.025141.34501.76132.1448151.34061.75312.1315161.33681.74592.

15、1199解：設H0：N=%=56.構造檢驗統(tǒng)計量X2分布表na=0.1a=0.05a=0.0251421.06423.68526.1191522.30724.99627.4881623.34224.29628.845X-0t=0t(15),s-/n確定拒絕域的形式tatai.由口=0.05,定出臨界值3/2=t0025=2.1315,從而求出拒絕域2.1315）.2而n=16,x=60,從而11|=x-%60-562016=0.82.1315,接受假設H。，即認為此儀器測出的結果與以往相比無明顯的差異.212的置信度為1-a的置信區(qū)間.2八、（本題10分）已知兩個總體X與Y獨立，X色，*2）,

16、Y（匕，仃2）,巳，匕，仃；，仃2未知,（Xi,X2，川，XnJ和（丫1,工,川,工2）分別是來自X和Y的樣本,求解：設S2,S；分別表示總體X,Y的樣本方差，由抽樣分布定理知PIFa/2(n-1,n2-1)FF1W2(n11,n21)】=1a,S2/s2L/，、-2E_：./2(n1-1,E-1)-2S2/S2F1q/2(Hi1，出-1)S2/S2、FQ/2(n11,n2-1),_2所求當?shù)闹眯哦葹?_0f的置信區(qū)間為；二2九、（本題10分）試簡要論述線性回歸分析包括哪些內容或步驟.二、單項選擇題（每題1分，共10分）1 .重點調查中的重點單位是指（）A.處于較好狀態(tài)的單位B.體現(xiàn)當前工作重

17、點的單位C.規(guī)模較大的單位D.在所要調查的數(shù)量特征上占有較大比重的單位2 .根據分組數(shù)據計算均值時，利用各組數(shù)據的組中值做為代表值，使用這一代表信的假定條件是（）。A,各組的權數(shù)必須相等B,各組的組中值必須相等C.各組數(shù)據在各組中均勻分布D.各組的組中值都能取整數(shù)值3 .已知甲、乙兩班學生統(tǒng)計學考試成績：甲班平均分為70分，標準差為7.5分；乙班平均分為75分，標準差為7.5分。由此可知兩個班考試成績的離散程度（）A.甲班較大B.乙班較大C.兩班相同D.無法作比較4 .某鄉(xiāng)播種早稻5000畝，其中20%用改良品種，畝產為600公斤，其余畝產為500公斤,則該鄉(xiāng)全部早稻平均畝產為（）A.520公

18、斤B.530公斤C.540公斤D.550公斤5 .時間序列若無季節(jié)變動，則其各月（季）季節(jié)指數(shù)應為（）A.100%B.400%C.120%D.1200%6 .用最小平方法給時間數(shù)列配合直線趨勢方程y=a+bt,當bZB.|Z|Z/2D.Z-Z“10 .對居民收入與消費支出的幾組不同樣本數(shù)據擬合的直線回歸方程如下，你認為哪個回歸方程可能是正確的？（）A.y=125-10xB.y=-50+8xC.y=150-20xD.y=-15-6x單項選擇題（每題1分，共10分）1.D2.C3.A4.A5.A6.B7.A8.B9.B10.B五、簡答題（5分）加權算術平均數(shù)受哪幾個因素的影響？若報告期與基期相比各

19、組平均數(shù)沒變，則總平均數(shù)的變動情況可能會怎樣？請說明原因。答：加權算術平均數(shù)受各組平均數(shù)和次數(shù)結構（權數(shù)）兩因素的影響。若報告期與基期相比各組平均數(shù)沒變，則總平均數(shù)的變動受次數(shù)結構（權數(shù)）變動的影響，可能不變、上升、下降。如果各組次數(shù)結構不變，則總平均數(shù)不變；如果組平均數(shù)高的組次數(shù)比例上升，組平均數(shù)低的組次數(shù)比例下降，則總平均數(shù)上升；如果組平均數(shù)低的組次數(shù)比例上升，組平均數(shù)高的組次數(shù)比例下降，則總平均數(shù)下降。六、計算題（共60分）1.某茶葉制造商聲稱其生產的一種包裝茶葉平均每包重量不低于150克，已知茶葉包裝重量服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批包裝茶葉中隨機抽取100包，檢驗結果如下：每包重量（克）包數(shù)

20、（包）fxxfx-x（x-x）2f148149P10148.5P1485-1.832.414915020149.52990-0.812.815015150150.575250.22.015115220151.530301.228.8合計100-15030-76.0要求:（1）計算該樣本每包重量的均值和標準差；（2）以99%勺概率估計該批茶葉平均每包重量的置信區(qū)間（10.005（99）=2.626）;（3）在a=0.01的顯著性水平上檢驗該制造商的說法是否可信（10.01（99）=2.364）;（4）以95%勺概率對這批包裝茶葉達到包重150克的比例作出區(qū)間估計（乙.025=1.96）;（寫出公

21、式、計算過程，標準差及置信上、下限保留3位小數(shù)）（24分）“xfx二、f,=何.3（克乂2分）戶（x-又2f:、:f-1（3分）76=0.876（克）或仃99Z（x-xfff76.100=0.872（克）答：（1）表中：組中值x（1分），Exf=15030（2分），E（x-x）2f=76.0（2分）s0.876（或0.872）一x土t2-=150.32.626父（=150.30.23（或0.229）（2）-.n,100150.07_150.53或150.071_150.529（4分）（3）已知=150設H）:150H1：-t0.01=-2.364t值落入接受域，在a=0.05的水平上接受即可以

22、認為該制造商的說法可信，該批產品平均每包重量不低于150克。（4分）已知：70100n?=100=0.70.7=70（1分）n（1-p）=1000.3=305?*Z.2=。.71.96M=0.70.0898（3分）0.6102p0.7898（1分）2.某商業(yè)企業(yè)商品銷售額1月、2月、3月分別為216,156,180.4萬元，月初職工人數(shù)1月、2月、3月、4月分別為80,80,76,88人，試計算該企業(yè)1月、2月、3月各月平均每人商品銷售額和第一季度平均每月人均銷售額。（寫出計算過程，結果精確到0.0001萬兀/人）（6分）答：1月平均每人銷售額=216/（80+80）/2=2.70萬元/人（1

23、分）2月平均每人銷售額=156/（80+78）=2.0萬元/人（1分）3月平均每人銷售額=180.4/（76+88）=2.20萬元/人（1分）第一季度平均每月人均銷售額=（216+156+180.4）/3/（80/2+80+76+88/2）/3=552.4/240=184.13/80=2.3017萬元/人（3分）3.某地區(qū)社會商品零售額資料如下年份零售額（億元）ytt2tytt2ty199821.511r21.5-525-107.5199922.02444-39-66200022.53967.5-11-22.5200123.0416921123200224.05251203972200325.

24、0636150525125合計138.0219149507024要求：（1）用最小平方法配合直線趨勢方程;（2）預測2005年社會商品零售額。（a,b及零售額均保留三位小數(shù),14分）答：非簡捷法：（1）2y=138（1分），2t=21（1分），2t2=91（2分），2ty=495（2分）b=（n2ty-2t2y）/n2t2-（2t）2=（6X495-21X138）/6X91-（21）j=72/105=0.686（3分）a=2y/n-b2t/n=138/6-0.686X21/6=23-0.686X3.5=20.599（2分）?=a+bt=20.599+0.686t（1分）2005年t=8y?2005=20.599+0.686X8=26.087（億元）（2分）簡捷法：（1）2y=138（1分），2t=0（2分，包括t=-5,-3,-1,1,3,5）,212=70（2分），2ty=24（2分）b=2ty/212=24/70=0.343（2分）a=2y/n=138/6=23（2分）?=23+0.343t（1分）（2）2005年t=9p2005=