“數(shù)列的基本問題”的教與學(xué)的策略解析

1、二、“數(shù)列的基本問題”的教與學(xué)的策略發(fā)布者：楊小紅發(fā)布時間：2012-8-1710:54:23(一)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列概念時的障礙及對策數(shù)列概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起始課，在學(xué)習(xí)中學(xué)生會遇到如下障礙：1 .對數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞“按一定次序”的理解有些模糊.2 .對數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系認(rèn)識不清.3 .對數(shù)列的表示，特別是通項公式感到困惑.對數(shù)列的通項公式可以不只一個覺得不可思議.4 .由數(shù)列的前幾項寫不出數(shù)列的通項公式.教學(xué)策略：1 .為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，體會數(shù)列知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中抽象出數(shù)列要研究的問題，使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子等。2 .數(shù)列中蘊含的函數(shù)

2、思想是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.在教學(xué)中強調(diào)數(shù)列的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列.函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項公式法。數(shù)列的概念定義：像這樣按照一定次序排列起來的一列數(shù)稱為數(shù)列從三個層次來理解“次序”(1)語言描述把位置編上號碼，這些號碼是所有的非零自然數(shù)按從小到大順序排列，每一個有序號的位置都有一個確定的值，由所有這樣的數(shù)值組成一個數(shù)列；數(shù)列的一般形式可以寫成31,32,83,，an,這種有序性是對數(shù)列本質(zhì)的刻畫(2)映射角度“次序”用數(shù)學(xué)語言來表示，就是

3、一種特殊的對應(yīng)，即映射：/：a=LL3佚數(shù)(3)函數(shù)角度數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,，n)為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值.數(shù)列一一初等函數(shù)對于任意的函數(shù)y=f(x)(x>0),我們可以得到一個數(shù)列點),O.心)，義叫3.由數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的前幾項是簡單的代入法，對程度差的學(xué)生，可多舉幾個例子，讓學(xué)生觀察歸納通項公式與各項的結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項公式提供幫助.歸納數(shù)列的通項教學(xué)的目的：歸納法的運用，數(shù)列概念的理解。教學(xué)中，分幾個層次:可以先給一些特殊的數(shù)列:1123,4?5,*，1T3,5,7.92,丸8,

4、15.321,-b1,-L1,-11,0,-lfglf0,-L0再給和特殊數(shù)列有關(guān)的數(shù)列:2,5110,17,26+13,5,9f17.33=1+2"fl3 ,L3,1,3,12二=2+(-1)”：3,0i3,0,3,0ibTlRsm.4 .由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點，要幫助學(xué)生分析各項中的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生依據(jù)前幾項的規(guī)律，猜想該數(shù)列的下一項或下幾項的值，以便尋求項與項數(shù)的關(guān)系。最后老師可以和學(xué)生共同歸納一些規(guī)律性的結(jié)論：(1)并非所有數(shù)列都能寫出它的通項公式，如：0,-1,3,7,11(2)有些數(shù)列的通項公式在形式上不一定是唯一的，如：數(shù)列1,-1,

5、1,-1,T-1產(chǎn)或qTT/或口門為奇數(shù),等1,-1,的通項可寫成111X為偶數(shù)產(chǎn)t一1|'gl/I-1I'1)當(dāng)一個數(shù)列出現(xiàn)“+”、“-”相間時，應(yīng)先把符號分離出來，用"等來控制，然后再尋找數(shù)量間關(guān)系；(4)有些數(shù)列的通項公式可以用分段的形式來表示;(5)熟悉常見數(shù)列的通項:2,4r=>"；=2w1W9.16.21n/=儲工"16,支,=曰”父等例如，全體正偶數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列2,4,6,，2n,這個數(shù)列還可以用列表和圖象分別表示為N123VVVn»»»3-246I<2n總之：數(shù)列概念的要求比過去

6、高，用圖形的變化描述數(shù)列，把圖形的幾何結(jié)構(gòu)量化。（二）用函數(shù)的觀點進行等差數(shù)列的教學(xué)關(guān)于等差數(shù)列定義的教學(xué)給出一些等差數(shù)列的例子，讓學(xué)生從項與項關(guān)系的角度去觀察、歸納、概括得等差數(shù)列的定義.在這一段的教學(xué)中，一定要重視歸納的過程，這是學(xué)生能理解等差數(shù)列的所必須的，不要一筆帶過！研究數(shù)列的一個很重要的方法是：從整體上看數(shù)列，研究數(shù)列中的項與項之間的關(guān)系引入：（2004北京卷）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列S,是等和數(shù)列，且ai=2,公和為5,那么a18的值為從定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式：-"&

7、quot;''得:a：=Aj十白表明從第二項起，等差數(shù)列的任意項都可以表示為它的前一項與公差的和,差來表小因此，等差數(shù)列的任意項也就應(yīng)該可以用首項和公a+2d,.a.工/+（網(wǎng)1）（7在等差數(shù)列中遞推式一一通項公式累加ea.-a=5TH推廣1工常量推廣到變量TJ-1累加2生-q=二”只要三力會求就能得到通項公式.推廣2.等式推廣到不等式-a<b-G一口r£氏,4鼻v4-4a只要（古會求就能得到不等關(guān)系.2 .等差數(shù)列通項與一次函數(shù)得到結(jié)論：）是等差數(shù)列o*成一b這樣，由于公差不為零的等差數(shù)列的每一項an是關(guān)于項數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來認(rèn)識等差

8、數(shù)列例如，理解為什么"遞增'八。二靠.根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質(zhì)，就容易理解為什么兩項可以確定一個等差數(shù)列a.=rk+（己一耽）d得d="由、”一叫，它的含義是什么呢？（可以適當(dāng)拓展到直線斜率的計算方法）3 .等差數(shù)列的性質(zhì)可以先給出特殊數(shù)列：工，2,3,4,5,6,71+7=2+6=2+5二4+4數(shù)列：2,4,6,8,10,12,14,2+14=4+12=6+10=8+8表面看是兩項之和相等，從對應(yīng)的項數(shù)之間又是一種什么關(guān)系呢？由此歸納得出：-d.匚使用等差數(shù)列的性質(zhì)嘰明工且左十？時,有飛時要注意：必須是兩項相加等于兩項相加，否則不成

9、立。如£+%,%+%產(chǎn)生等，特別地，當(dāng)班十小二”時右,有a：+a：=a-,+a.-2a1.C叫%左wX"）等差中項的定義是針對三個數(shù)的，即如果X,A,y組成等差數(shù)列，則A叫做x,y的等差中項.從等差數(shù)列的整體看：ai,a2,a3,，an,，從第二項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項.推廣：從第二項起，每一項都是到它距離相等的兩項的等差中項，即與數(shù)列中的任一項“等距離”的兩項之和等于該項的2倍.這個性質(zhì)體現(xiàn)的是數(shù)列的對稱性，這種對稱性是由項數(shù)之間的關(guān)系決定的例題：已知等差數(shù)列g(shù)j中，必+見=16,則%的值是（a）A.15B.30C.31D.64解

10、L因為小+生=4+年，所以二二16-1=15.解3因為數(shù)列%為等差數(shù)列，所以加+廣法=16,所以生=g.又名必凡成等差數(shù)列，所以公差后二生=&=-.a+dS+>1-.（三）把握等差數(shù)列的前n項和公式的教學(xué)實質(zhì)1 .等差數(shù)列的前n項和公式的教學(xué)實質(zhì)有些教師在教學(xué)中利用“梯形鋼管堆的計數(shù)”“梯形面積公式”等模型來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，認(rèn)為“倒序求和”是等差數(shù)列前項和公式這一內(nèi)容蘊含的思想方法。因此，把基礎(chǔ)定位在要讓學(xué)生掌握求和公式及其變式，學(xué)會“倒序求和”的思想方法。其實，“倒序求和”只是為避免對項數(shù)n進行奇偶討論而引入的一個技巧，并不是什么思想方法。基礎(chǔ)性表現(xiàn)在幾個層次：用等差數(shù)列的“基本

11、量”“或也；冬樹洵桂項的和黑；用等差數(shù)列的性質(zhì)“等差數(shù)列時，-;將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，從數(shù)量關(guān)系上看是利用了“平均數(shù)”概念；更進一步地，為了體現(xiàn)從概念出發(fā)思考和解決問題的思想，利用等差數(shù)列的概念和通項公式葭二生7"1”,可得5啟"博研丁-二i（11）,所以實質(zhì)就是求教學(xué)設(shè)計：引入高斯故事，歸納方法本質(zhì)從“高斯的故事”引入；歸納“高斯方法”的本質(zhì)，即實質(zhì)是利用=2+的=，將不同數(shù)化為相同數(shù)求和；探究求值方法，引出分類討論用這一方法求1+工+內(nèi)的值，引出需要分n為奇數(shù)、偶數(shù)討論的問題，并求出和；過渡到利用的丁%求等差數(shù)列前n項和公式。歸納思想方法，提升解題技巧聚焦基本概

12、念和基本原理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，從中領(lǐng)悟“化歸”的思想方法的思路。教學(xué)中不必急于引入“倒序求和”的技巧?？梢栽谟懻搉的奇偶性而得出求和公式后，再讓學(xué)生思考“能否想個辦法避免討論”，把公式-變形為2sL”血+%）,再聯(lián)系性質(zhì)得到。應(yīng)把等差數(shù)列前項和這節(jié)課看成是等差數(shù)列概念、性質(zhì)的應(yīng)用課。這一節(jié)課的教學(xué)，重要的是培養(yǎng)學(xué)生從基本概念、基本原理出發(fā)思考問題的習(xí)慣。具體教學(xué)時應(yīng)明確任務(wù)（即用基本量的應(yīng)"或Su"表示鼻）的基礎(chǔ)上，弓導(dǎo)學(xué)生從基本性質(zhì)、通項公式入手，尋找化歸的方法，在不斷“求簡”中得到“倒序求和”。2 .公式的推導(dǎo)=l+2+i+.-+100=50（1+1

13、00）=5050啟發(fā)學(xué)生若慮項與項之間的彳但又1=l+2+3t:+100+101=51+5（X1+101）=5151對于=見+%丁%工+口=二*人的求和除了討論力的奇偶性夕卜，殼更簡單的方法呢？等差數(shù)列的前門頂和公式5n”liF明；S.=d-+4+3:+*"I點一式;-（DS.=<2n十白二十日i十口二十口+：251；=+/）+（七+44）+（%+口1口1+4:二二口*“成工=口三+口=*+.".=厘（勺+口.一）由此得'13 .從函數(shù)的觀點來認(rèn)識Sn首項為ai、公差為d的等差數(shù)列前n項和的公式可以寫為：即當(dāng)打工0時，Sn是n的二次函數(shù)式，于是可以運用二次函數(shù)

14、的觀點和方法來認(rèn)識求等差數(shù)列前n項和的問題如可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象了解Sn的增減變化、極值等情況4 .通過Sn的有關(guān)問題進一步認(rèn)識等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征例1等差數(shù)列中，&=361=324»=I+45A6，求n分析J工-5一三4+。一一1+a.-+曰.+4t十曰=324-244=150又a+、0+冉+/+g=36A-rW-所以，6(4+4)3216/.(+堞J=324=>>i=18一本題給出了等差數(shù)列前6項的和，應(yīng)該關(guān)注最后六項的和，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式解決問題。要求學(xué)生對等差數(shù)列前n項和概念要有深刻理解。例2等差數(shù)列9J的公差為d,前n項和為Sn,當(dāng)首項a

15、i和d變化時，a2+as+aii是一個定值，則下列各數(shù)中也為定值的是(C)A.5.B.顯C.配D.S-.“由已知名十s三+藥】=3對+18d=3(ii+6d)=3a-,則&J婦+%)=13G也為定值.本題利用整體代換求解，體現(xiàn)了整體代換的思想。(四)典型例題的作用及教學(xué)例1設(shè)數(shù)列1,（1+2）,（1十2旺），（1+2+2、十于1）,的南和為必則為的值為（D）A.2KB.2二一片C.27?D.2二一”2解法一：特殊值法：由原數(shù)列知，S.=1:52=4；解法一：看通項3=1+2+，+2=2、-1例2己知數(shù)列.的通項公式凡二8十1）（力小為何值時，即取最大解：易知q不是數(shù)列）中的最大的項，所

16、以外若取最大值應(yīng)滿足%-4-12aa”-a41二0a由已知4=（+IX二產(chǎn)則有99=（-）n（w+i）-（-xw+2）吟黨由%-。，7之0,即（分”（凌）20,解不等式，得胃28.99/-=5+1）（就-5T+1）（-）"1=舄產(chǎn)5+1）.舄）一詞=（）（）.1010由43之0,即產(chǎn)（等”0,解不等式，得£9.所以，滿足不等式組的正整數(shù)n的取值只能是8,9.qq又吃=9乂大卜a；=10x（-）S即七=6=所以當(dāng)月=8或收=9時，a-二與兩項都是數(shù)列口中的最大項.本題的易錯之處在于忽略對厘不是數(shù)列中的最大的項的說明或忘記對見和生大小的比莪，應(yīng)該注意的是要使超的值最大應(yīng)滿足啾些

17、條件，以及解不等QQ式中應(yīng)明確（三）fo和（二產(chǎn)0,1010（五）數(shù)列研究的幾個基本問題1.關(guān)注an與Sn（1）對數(shù)列的前n項和U=q十生十色十十&的理解:二a.3=a+a.S：二a十a(chǎn).任給一個n,都有唯一的S,與n對應(yīng)，所以，5一是n的函數(shù)，；5也是（2）用又S”S”能表示陽生由嗎?實際上，a=幾%=S?-幾生=SS”.4=S)-S-i即：氏=501=1)(n>l>引申，當(dāng)打加時,ss.=a-+十2.注意明、S）之間關(guān)系的應(yīng)用若工,則im-若7a,且7壬。.打21二.3.,G與5.的關(guān)系體現(xiàn)在兩個方面:由工求仃：已知&=4+再一二，a.數(shù)列&的前“項和S

18、”與通項滿足關(guān)系式S；=杼*，-工5，則如g一曰小的值為()A.如B.-180C.-B60D.-400的其二叫+2)r-lnn)Sz=5-!)Rn-2S-I)'2(差7K九=D®一4/=+1)乳-，叫十4口=，4一_q叱=_4,二M一一Q=90-360.1L-XV由巴求工和1+'+-(n三N”1+21+2+31+2+,1*+it分析：:口1s=二-r-=二i1+二+蜃周+1)”燈+1這樣，數(shù)列的每一項塘可寫成這個形式，相令頻抵消，再求和.rJ111一11-22-3個+1)(六)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)定位1 .數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點和難點重點(1)初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理.(2

19、)明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟(3)初步會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式(1)對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性(2)假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論正確.2 .數(shù)學(xué)歸納法原理形成的教學(xué)定位由于數(shù)學(xué)歸納法原理的高度的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時，往往限于掌握了一些應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧，而不能真正理解它的意義.因此學(xué)習(xí)停留在單純的模仿之中.所以原理的形成過程的教學(xué)，既是本節(jié)課的重點，也是難點.教師要組織形象、生動、與所學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的素材，作為數(shù)學(xué)歸納法原理產(chǎn)生的背景，以激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，幫助、引導(dǎo)學(xué)生從中感悟其蘊含的數(shù)學(xué)思想，最終產(chǎn)生遷

20、移效果.抽象出數(shù)學(xué)歸納法的原理，如何通過探究順利實現(xiàn)遷移抽象的目標(biāo)，就成了本節(jié)課能否成功的關(guān)鍵有些教師對數(shù)學(xué)歸納法原理形成過程的教學(xué)不夠重視，表現(xiàn)在有的教師沒有安排實驗探究，急于向?qū)W生展示一種思維“模式”和“套路”，接著通過大量的例題、習(xí)題進行強化；有的教師雖然安排了實驗，但也是一帶而過，很快抽象出了數(shù)學(xué)歸納法原理，這只能是教師的“成果”，而不是學(xué)生的成果，仍然擺脫不了生硬灌輸這種教學(xué)模式的影子；甚至有的教師將相當(dāng)多的時間和精力花在舉例說明“不完全歸納法”的缺陷上，這顯然偏離了本節(jié)課的主題與核心.“多米諾骨牌實驗”的教學(xué)定位本節(jié)課所需的“引例”，形式豐富多樣，教師用的最多的是“多米諾骨牌實驗”

21、，因為這幾乎是所有學(xué)生小時候都玩過的一種游戲，貼近學(xué)生的生活實際，具有一種無形的親近感。同時“多米諾骨牌實驗”以簡便的形式蘊含了數(shù)學(xué)歸納法的深刻原理，因而成為這節(jié)課的典型素材.問題是如何正確認(rèn)識，科學(xué)定位“多米諾骨牌實驗”？在實驗的方式上，“多米諾骨牌實驗”應(yīng)從不同角度多次進行，每次實驗都要有不同的目的，都要引發(fā)學(xué)生不同的思考、探究，讓學(xué)生既要有實驗成功的體驗，又要有實驗失敗的反思；而多次的實驗又能形成一個有機的整體，當(dāng)將每次實驗的體驗和反思糅合在一起后，數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)在原理就扎根于學(xué)生的心中了。從學(xué)生的基礎(chǔ)來看，學(xué)生用原有的知識結(jié)構(gòu)同化數(shù)學(xué)歸納法存在著數(shù)學(xué)知識和邏輯知識上的準(zhǔn)備不足，需要具體

22、的實例幫助；從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來看認(rèn)知抽象的事物應(yīng)盡可能將其具體化、形象化，同時，對抽象事物本質(zhì)的認(rèn)識不能一步到位，應(yīng)該由淺入深、由表及里、正反對比，方能凸顯本質(zhì)。“多米諾骨牌實驗”的功能應(yīng)該包含兩個層次：一是將實驗轉(zhuǎn)化為關(guān)于正整數(shù)的命題，即“第一塊骨牌倒下”對應(yīng)“當(dāng)n取第一個正整數(shù)no時命題成立"，“第二塊骨牌倒下”對應(yīng)“當(dāng)n取第一個正整數(shù)no+1時命題成立”，“所有的骨牌都倒下(即游戲成功)”對應(yīng)“命題對從no開始的所有正整數(shù)都成立”，若“第卜(卜三"”肥三、J塊骨牌倒下，則一定有第k+1塊骨牌跟著倒下”對應(yīng)“若時命題成立，則n=K+1時命題也一定成立”。二是將游戲轉(zhuǎn)化為

23、具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生通過解決具體的數(shù)學(xué)問題進一步體驗數(shù)學(xué)歸納法的思想，并從中感受到成功的喜悅，然后在此基礎(chǔ)上才能推廣到一般命題，抽象概括，得到數(shù)學(xué)歸納法原理。這樣學(xué)生才能夠切實掌握數(shù)學(xué)歸納法原理，本節(jié)課的難點才能夠得到有效突破。“多米諾骨牌實驗”的教學(xué)設(shè)計三次實驗實驗1:用手推倒1號骨牌，然后2號骨牌，3號骨牌，緊跟著全部倒下，讓學(xué)生討論為什么會出現(xiàn)這種結(jié)果，在這個環(huán)節(jié)，學(xué)生對現(xiàn)象的本質(zhì)的認(rèn)識可能是比較模糊的，但必要的討論為下面顯現(xiàn)本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。實驗2:課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距和實驗1相同，用手推倒1號骨牌，沒有推倒，然后2號骨牌，3號骨牌，自然就沒有倒下，即游戲失敗。這時教

24、師讓學(xué)生對比實驗1和實驗2，討論游戲失敗的原因，從而得到游戲成功的第一個必要條件，1號骨牌必須被推倒。實驗3:課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距出現(xiàn)分化，1號骨牌與2號骨牌的間距拉開的足夠大，其他骨牌間距不變（同實驗1）,這是用手推倒了1號骨牌，但2號骨牌沒有倒下，3號骨牌，4號骨牌，自然就沒有倒下，即游戲失敗。同樣讓學(xué)生對比不同實驗及其結(jié)果，分析原因。這是學(xué)生得到的結(jié)論往往在具體骨牌上，即1號骨牌倒下，沒有帶動2號骨牌倒下導(dǎo)致了失敗，而學(xué)生對其中的任意性很難提煉出來。繼續(xù)下去，再將2號骨牌和3號骨牌,3號骨牌和4號骨牌，的間距拉開的足夠大，（每一次試驗只改變一個間距），重復(fù)實驗3,如此反復(fù)幾次，學(xué)生不難悟出游戲成功的第二個必要條件，即第k塊骨牌倒下，則一定有第k+1塊骨牌倒下（這里暗示了無窮推理的合理性）。至