21.1第一類曲線積分的計(jì)算

1、§21.1 第一類曲線積分的計(jì)算1 .定義定積分研究的是定義在直線段上函數(shù)的積分.本節(jié)將研究定義在平面曲線或空間曲線段上函數(shù)的積分.定義1設(shè)L為平面上可求長度的曲線段，f(x,y)為定義在L上的函數(shù).對(duì)曲線L作分割T,它把L分成n個(gè)可求長度的小曲線段L(i1,2,n),Li的弧長記為Si,分割T的細(xì)度為ITIImaxSi,在Li上任取一點(diǎn)(i,i)(i1,2,n).若存在極限1innlimf(i,i)siJlTl0i1且J的值與分割T及點(diǎn)(i,的取法無關(guān)，則稱此極限為f(x,y)在L上的第一型曲線積分，記作Lf(x,y)ds.(1)定義2若L為空間可求長曲線段，f(x,y,z)為定義

2、在L上的函數(shù)，則可類似地定義nf(x,y,z)在空間曲線L上的第一型曲線積分為Tim0f(i,i,i)SiJ,(此處Si為i1Li的弧長，|T|maxs,J為一常數(shù)，并且記作1inLf(x,y,z)ds.(2)2 .物理意義1)設(shè)某物體的密度函數(shù)f(P)是定義在上的連續(xù)函數(shù).當(dāng)是直線段時(shí)，應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體的質(zhì)量，現(xiàn)在研究當(dāng)是平面上某一可求長度的曲線段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問題.首先對(duì)作分割，把分成n個(gè)可求長度的小曲線段i(i=1,2,，n),并在每一個(gè)i上任取一點(diǎn)Pi由于f(P)為上的連續(xù)函數(shù)，故當(dāng)i的弧長都很小時(shí)，每一小段i的質(zhì)量可近似地等于f(Pi)i,其中i為小曲線段i的長度.于是

3、在整個(gè)上的質(zhì)量就近似地等于和式nf(P)ii1當(dāng)對(duì)的分割越來越細(xì)密(即dmaxi0)時(shí)，上述和式的極限就應(yīng)是該物體的1in質(zhì)量.2)空間曲線L的重心坐標(biāo)為x(x,y,z)dlL(x,y,z)dlLy(x,y,z)diL，(x,y,z)dl'Lz(x,y,z)dlL(x,y,z)dlL3)曲線L的繞z軸(x,y軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是22Jz(xy)(x,y,z)dlL3:幾何意乂1)當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，積分的值恰為曲線的長度.2)當(dāng)f(x,y)0,f(x,y)dl表示以L為準(zhǔn)線，以平行于z軸的線為母線的曲柱面的面積。4性質(zhì)第一型曲線積分具有下述一些重要性質(zhì)：k1) .若Lfix,ydsi1,2,

4、k存在，qi1,2,k為常數(shù)，則lgfix,ydsi1kk也存在，且lg片x,ydscilfix,yds.Li1i12) .若曲線段L由曲線Li,L2,Lk首尾相接而成，且,fx,yds(i1,2,k)都Lik存在，貝Ufx,yds也存在，且fx,ydsfx,yds.LLi1L3) .若Lfx,yds與lgx,yds者B存在，且在Itfx,ygx,y,貝ULfx,ydsLgx,yds.4) .若Lfx,yds存在，貝uLfx,yds.也存在，且lfx,ydslfx,yds.5) .若fx,yds存在，L的弧長為s,則存在常數(shù)c,使得fx,ydscs,這里inffx,ycsupfx,y.LL5第

5、一型曲線積分的計(jì)算xt.定理1設(shè)有光滑曲線L：,t,，函數(shù)fx,y為定義在L上的連續(xù)函yt,，數(shù)，則Lfx,ydsf(2(2t出.(3)證明:由弧長公式知道，L上由tti1到tti的弧長Sti1%一(2(2tdt.ti1ti.(2(2t的連續(xù)性與積分中值定理，有(2(2tiSi(2(2'ti1iti.設(shè)則有Si令(2(2'ti(4)max,tn,則當(dāng)|T|0時(shí)，必有0.現(xiàn)在證明limt00.因?yàn)閺?fù)合函數(shù)ft,關(guān)于t連續(xù)，所以在閉區(qū)間上有界，即存在常數(shù)M,使對(duì)一切t都有f再由在上連續(xù)，所以它在上一致連續(xù)，即對(duì)任給的0,必存在0,使當(dāng)t時(shí)(此時(shí)titi1i,iti.ti，2，2，(

6、2(2(從而nMtii1所以limt00.再由定積分定義(一般定積分的定義)，可得nlimft0i1,(2，2"iiiti=ft(2(2tdt.當(dāng)在(4)式兩邊取極限后即得所要證的(3)式Lfx,yds(2(2tdt.xt,注：1）光滑曲線：若曲線,tyt,上都存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且,2,20,這時(shí)稱C為光滑曲線.2）該定理說明第一型曲線積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)換為定積分進(jìn)行計(jì)算定理2當(dāng)曲線L由方程yx,xa,b給出，且a,b上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí),x,yds'2xdx定理3當(dāng)曲線L由方程xy,yc,d給出，且c,d上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí),Lfx,ydscfy,y1c'2ydy.(6)例1設(shè)

7、L是半圓周xL:acost,asint,試計(jì)算第一型曲線積分2.yds.Lytt0tTx,y,zdst0fxt,yt,zty'2tz'2tdt。證明仿照定理1,或者參考教材。定理5設(shè)函數(shù)fx,y,z在光滑曲線l上有定義且連續(xù)，l的方程為(x,y,z)0(x,y,z)022y'xz'xdx則可化為以x為參數(shù)的參數(shù)方程。然后化為定理4的形式。1fx,y,zds%fx,yx,zx,1l的方程為定理6設(shè)函數(shù)fx,y,z在光滑曲線l上有定義且連續(xù),zgi(x,y)zg2(x,y)則在一定的條件下可化為以z為參數(shù)的參數(shù)方程，再化為定理4的形式。1fx,y,zdsTft0x&

8、#39;2zy123計(jì)算x2ds,其中L為球面x22、，一一被平面xyz0所截得的由對(duì)稱性知x2dsL2.2.ydszdsLL所以x2Lds12-(x3lz2)ds2a.ds3L求(xyLyz2zx)ds,其中L是球面xa與平面x交線。解法(xyyzLzx)ds2l2(xyyzzx)ds解法2l(x(x2L解法求曲線、2/2z)(x22yz)dsy2z2)dsdsL1技巧性強(qiáng)，而不必化為定積分。L的參數(shù)方程。由x2y2(xz)/z、2(x-)22(132a2z2),'2-asint,-32a32、a,a.,：2(12a2z)2cost、6s1nt(x、aa.z)costsint,2.6于是得到兩組參數(shù)方程aacostsint1J2-/6aacostsint,2.6aa.costsint2.6aa.costsint,2.6,2asint3,2asint3我們可任選一組,例如第一組。顯然，被積函數(shù)和L都具有輪換對(duì)稱性，則(xyLyzzx)ds3zxdsL23a2sint(cos