二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題不等式高考一輪數(shù)學精品課件

1、 1.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域 作二元一次不等式作二元一次不等式Ax+By+C0(或或Ax+By+C0)表示的平面區(qū)域的方法步驟表示的平面區(qū)域的方法步驟: (1)在平面直角坐標系中作出直線在平面直角坐標系中作出直線Ax+By+C=0. (2)在直線的一側(cè)任取一點在直線的一側(cè)任取一點P(x0,y0),特別地特別地,當當C0時時,常把常把 作為此特殊點作為此特殊點. 原點原點 (3)若若Ax0+By0+C0,則包含點則包含點P的半平面為不等式的半平面為不等式 所表示的平面區(qū)域，不包含點所表示的平面區(qū)域，不包含點P的半平的半平面為不等式面為不等式 所表示的平面區(qū)域所表示的平面區(qū)域. 2.線性

2、規(guī)劃的有關(guān)概念 （1）線性約束條件）線性約束條件由條件列出一次不等式（或由條件列出一次不等式（或方程）組方程）組. （2）線性目標函數(shù)）線性目標函數(shù)由條件列出一次函數(shù)表達式由條件列出一次函數(shù)表達式. （3）線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在約束條件下）線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問題的最大值或最小值問題.Ax+By+C0Ax+By+C0 （4）可行解：滿足）可行解：滿足 的解（的解（x，y）. （5）可行域：所有）可行域：所有 的集合的集合. （6）最優(yōu)解：使）最優(yōu)解：使 取得最大值或最小取得最大值或最小 值的可行解值的可行解. 3.利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解

3、，其步驟是 （1）在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域）在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域. （2）作出目標函數(shù)的等值線）作出目標函數(shù)的等值線. （3）確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)等）確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)等值線，從而確定值線，從而確定 . （4）求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大）求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值值或最小值.最優(yōu)解最優(yōu)解 線性約束條件線性約束條件 可行解可行解 目標函數(shù)目標函數(shù) 在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中中,滿足不等式組滿足不等式組 |x|y| |x|1的點的點(x,y)的集合用陰影表示為下列圖形中的（的集合用陰影表示為下列圖

4、形中的（ ） 將各不等式化為將各不等式化為ax+by+c0(或或0)或或ax+by+c0(或或0)的形式，按步驟作出的形式，按步驟作出.若若0 x1,當當y0時，要使時，要使|y|x|,則則yx;當當y0時，要使時，要使|y|x|,則則y-x; 若若-1x0,當當y0時，要使時，要使|y|x|,則則y-x;當當y0時，要使時，要使|y|x|,則則yx. 故應(yīng)選故應(yīng)選C.確定二元一次不等式確定二元一次不等式Ax+By+C0(或或0)表示的平面區(qū)域程序為：在直線表示的平面區(qū)域程序為：在直線l：Ax+By+C=0的一側(cè)的一側(cè)任取一個點任取一個點P（x0，y0），代入），代入Ax+By+C中，若中，若

5、Ax0+By0+C0,則在直線則在直線l的含的含P點的一側(cè)即為點的一側(cè)即為Ax+By+C0所表示的區(qū)域；若所表示的區(qū)域；若Ax0+By0+C0,則在則在直線直線l的不含的不含P點的一側(cè)即為點的一側(cè)即為Ax+By+C0所表示的區(qū)所表示的區(qū)域，即域，即“線定界，點定域線定界，點定域”.設(shè)集合設(shè)集合A=（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三邊長是三角形的三邊長，則則A所表示的平面區(qū)域（不含邊界的陰影部分）是所表示的平面區(qū)域（不含邊界的陰影部分）是（ ） A(由于由于x，y，1-x-y是三角形的三邊長，是三角形的三邊長， x+y1-x-y x+y , x+1-x-yy x , y+1-x-yx y

6、 . 再分別在同一坐標系中作直線再分別在同一坐標系中作直線x= ，y= ，x+y= ，易知，易知A正確正確. 故應(yīng)選故應(yīng)選A.)故有故有 2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1 y0 yx y2-x txt+1為為S=f(t),試求試求f(t)的表達式的表達式.如果由約束條件如果由約束條件所確定的平面區(qū)域的面積所確定的平面區(qū)域的面積 畫出不等式組表示的平面區(qū)域畫出不等式組表示的平面區(qū)域,由平面區(qū)由平面區(qū)域的特點表示面積域的特點表示面積.由約束條件所確定的平面區(qū)域是五邊形由約束條件所確定的平面區(qū)域是五邊形ABCEP(如圖如圖5-3-1),其面積其面積S=f(t)

7、=SOPD -SAOB S ECD,而而SOPD = 12=1,SOAB = t2,SECD = (1-t)2,所以所以S=f(t)=1- t2- (1-t)2=-t2+t+ .2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 1平面區(qū)域的面積問題是線性規(guī)劃問題中平面區(qū)域的面積問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型一類重要題型,在解題時在解題時,關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域,然然后結(jié)合有關(guān)面積公式求解后結(jié)合有關(guān)面積公式求解. x0 y0 y-x2 表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域,則當則當a從從-2連續(xù)變化到連續(xù)變化到1時時,動直線動直線x+y=a掃過掃過A中的那

8、部分區(qū)域的面積為中的那部分區(qū)域的面積為 .若若A為不等式組為不等式組 (在平面直角坐標系內(nèi)畫出不等式組在平面直角坐標系內(nèi)畫出不等式組 x0, y0, y-x2，角形區(qū)域（包括邊界），其中三個頂點坐標分別是角形區(qū)域（包括邊界），其中三個頂點坐標分別是 O（0，0） ， C（-2，0），）， B（0，2）. 再畫出直再畫出直 線線x+y=-2與與x+y=1，記直線，記直線x+y=1與與y-x=2、y軸的交軸的交 點點分別為點分別為點D，E，則點，則點D(- ， )，E（0，1）.結(jié)合圖結(jié)合圖形可知，當形可知，當a從從-2連續(xù)變化到連續(xù)變化到1時，動直線掃過時，動直線掃過A中的那中的那部分區(qū)域是四邊

9、形部分區(qū)域是四邊形OCDE，因此所求區(qū)域的面積等于，因此所求區(qū)域的面積等于 22- 1 = .)4 47 7所表示的平面區(qū)域，可以看出是一個三所表示的平面區(qū)域，可以看出是一個三 2 21 12 23 32 21 12 21 12 21 14 47 7 x1 x-3y-4 3x+5y30(1)求目標函數(shù)求目標函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值的最大值和最小值;(2)求目標函數(shù)求目標函數(shù)z=x2+y2+10 x+25的最小值的最小值;(3)若目標函數(shù)若目標函數(shù)z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個求求a的值的值.(4)求目標函數(shù)求目標函數(shù)z= 的取值范圍的取值范圍.已知

10、已知x,y滿足約束條件滿足約束條件 5 5+ +x x5 5+ +y y (1)由線性規(guī)劃求出由線性規(guī)劃求出z=2x-y的最大的最大(小小)值值; (2)z=x2+y2+10 x+25表示可行域上一點到表示可行域上一點到(-5,0)的距離平的距離平方方;(3)z的幾何意義是直線的幾何意義是直線y=-ax+z在在y軸上的截距；軸上的截距；(4)z= 表示可行域上一點表示可行域上一點(x,y)與與(-5,-5)點連線的斜率點連線的斜率. (1)作出可行域如圖所示作出可行域如圖所示:作直線作直線l:2x-y=0,并平行移動使它過可行域內(nèi)的并平行移動使它過可行域內(nèi)的B點點,此時此時z有最大值有最大值;

11、過可行域內(nèi)的過可行域內(nèi)的C點點,此時此時z有最小值有最小值, x-3y=-4 3x+5y=30, x=1 3x+5y=30， zmax=25-3=7,zmin=21- =- .解解得得B(5,3).解解得得C(1, ). 5 52 27 75 52 27 75 51 17 7 (2)由幾何意義由幾何意義,可行域上一點到可行域上一點到(-5,0)的最小距離在的最小距離在A處取到處取到. x=1 x-3y=-4 最小距離最小距離d= . zmin=d2= . 由由得得A(1, ). 3 35 53 33 34 49 9= =) )3 35 5( (+ +6 62 22 29 9349349 (3)

12、一般情況下一般情況下,當當z取得最大值時取得最大值時,直線所經(jīng)過的點都直線所經(jīng)過的點都是唯一的是唯一的,但若直線平行于邊界直線但若直線平行于邊界直線,即直線即直線z=ax+y平行平行于直線于直線3x+5y=30時時,線段線段BC上的任意一點均使上的任意一點均使z取得最取得最大值大值,此時滿足條件的點即最優(yōu)解有無數(shù)個此時滿足條件的點即最優(yōu)解有無數(shù)個. 又又kBC=- ,-a=- , a= .5 53 35 53 35 53 3 (4)z= ，可看作區(qū)域內(nèi)的點（，可看作區(qū)域內(nèi)的點（x，y）與點與點D（-5，-5）連線的斜率）連線的斜率. 由圖可知，由圖可知，kBDzkCD, kBD= ， kCD=

13、 ， z= 的取值范圍為的取值范圍為 .( (- -5 5) )- -x x ( (- -5 5) )- -y y= =5 5+ +x x 5 5+ +y y5 54 4= =( (- -5 5) )- -5 5( (- -5 5) )- -3 31 15 52 26 6= =( (- -5 5) )- -1 1( (- -5 5) )- -5 52 27 75 5+ +x x 5 5+ +y y2 25 51 16 6, ,5 54 4線性規(guī)劃求最值問題，要充分理解目標線性規(guī)劃求最值問題，要充分理解目標函數(shù)的幾何意義，函數(shù)的幾何意義， 諸如直線的截距、兩點間的距離諸如直線的截距、兩點間的距離

14、 （或平方）、點到直線的距離、過已知直線兩點的斜（或平方）、點到直線的距離、過已知直線兩點的斜率等率等. 7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100.（1） 的取值范圍；的取值范圍；（2）x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.已知已知x,y滿足條件滿足條件 求：求：4 4+ +x x7 7+ +y y(1)如圖所示，如圖所示，ABC區(qū)域為不等式組區(qū)域為不等式組 7x-5y-230 x+7y-110 4x+y+100, 其中其中A（4，1）,B（-1，-6）,C（-3，2）. 可可 以理解為區(qū)域內(nèi)的點與點以理解為區(qū)域內(nèi)的點與點D（-4，-7）連線的斜率）連線的斜率.由圖由圖 可

15、知，連線與直線可知，連線與直線BD重合時，傾斜角最小且為銳角重合時，傾斜角最小且為銳角.連連 線與直線線與直線CD重合時，傾斜角最大且為銳角重合時，傾斜角最大且為銳角. kDB= ，kCD=9 ， 的取值范圍的取值范圍 .表示的平面區(qū)域，表示的平面區(qū)域， 4 4+ +x x7 7+ +y y3 31 19 9 , ,3 31 14 4+ +x x7 7+ +y y (2)設(shè)設(shè)u=x2+y2，則，則 為點（為點（x，y）到原點的距離）到原點的距離.結(jié)合不等式組所表示的區(qū)域，不難知道：點結(jié)合不等式組所表示的區(qū)域，不難知道：點B到原點的到原點的距離最大，而當點（距離最大，而當點（x，y）在原點時，距

16、離最小且為）在原點時，距離最小且為0.umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0.u u預(yù)算用預(yù)算用2 000元購買單價為元購買單價為50元的桌子和元的桌子和20元的椅子，元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，希望使桌椅的總數(shù)盡可能多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？倍，問桌、椅各買多少才行？ 利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際 問題屬于直線方程的一個應(yīng)用問題屬于直線方程的一個應(yīng)用.本題主要考查找出約束本題主要考查找出約束條件與目標函數(shù)，準確地描畫可行域，再利用圖形直條件與目標

17、函數(shù)，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解.設(shè)桌椅分別買設(shè)桌椅分別買x，y張，把所給的條件表示張，把所給的條件表示成不等式組，成不等式組， 50 x+20y2 000, yx, y1.5x， x0， y0. 50 x+20y=2 000， x= ， y=x， y= .解得解得由由 7 72 20 00 07 72 20 00 0 即約束條件為即約束條件為A點的坐標為點的坐標為( ， ) . 50 x+20y=2 000, x=25, y=1.5x, y= .B點的坐標為點的坐標為(25, ).滿足約束條件的可行域是以滿足約束條件的可行域是以 7 72 20

18、 00 07 72 20 00 0由由解得解得 2 27 75 52 27 75 5A( ),B(25, ),O(0,0)為頂點的三角形區(qū)域為頂點的三角形區(qū)域(如圖如圖5-3-3).7 72 20 00 0, ,7 72 20 00 02 27 75 5由圖形直觀可知由圖形直觀可知,目標函數(shù)目標函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為優(yōu)解為(25, ),但注意到但注意到xN*,yN*,故取故取y=37.故買桌子故買桌子25張張,椅子椅子37張是最好選擇張是最好選擇.2 27 75 5解題中應(yīng)當注意到問題中的桌、椅張數(shù)解題中應(yīng)當注意到問題中的桌、椅張數(shù)應(yīng)是自然數(shù)這個隱含條件應(yīng)是自然數(shù)這個

19、隱含條件,若從圖形直觀上得出的最優(yōu)若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)時解不滿足題設(shè)時,應(yīng)作出相應(yīng)地調(diào)整應(yīng)作出相應(yīng)地調(diào)整,直至滿足題設(shè)直至滿足題設(shè).某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計劃每天各生產(chǎn)不少于某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計劃每天各生產(chǎn)不少于15t，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1t需煤需煤9t，電力，電力4 kW，勞力，勞力3個個（按工作日計算）；生產(chǎn)乙產(chǎn)品（按工作日計算）；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1t需煤需煤4t，電力，電力5kW，勞力勞力10個；甲產(chǎn)品每噸個；甲產(chǎn)品每噸7萬元，乙產(chǎn)品每噸萬元，乙產(chǎn)品每噸12萬元；萬元；但每天用煤量不得超過但每天用煤量不得超過300t，電力不得超過，電力不得超過200kW，勞力只有勞力只有300個個.問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少噸，問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少噸，才能既保證完成生產(chǎn)任務(wù)，又能為國家創(chuàng)造最多的財才能既保證完