信號與系統(tǒng)課后習題答案—第1章

1、第1章習題答案1-1題1-1圖所示信號中,哪些是連續(xù)信號？哪些是離散信號？哪些是周期信號？哪些是非周期信號？哪些是有始信號？解：連續(xù)信號：圖(a)、(c)、(d);離散信號：圖(b);周期信號：圖(d);非周期信號：圖(a)、(b)、(c);有始信號：圖(a)、(b)、(c).1-2某系統(tǒng)的輸入f(t)與輸出y的關系為y=|f|,試判定該系統(tǒng)是否為線性時不變系統(tǒng).解：設T為此系統(tǒng)的運算子,由條件可知：y(t)=Tf(t)=|f(t)|,以下分別判定此系統(tǒng)的線性和時不變性.線性1)可加性不失一般性,設f(t)=f1(t)+f2(t),那么y1(t)=Tf1(t)=|f1(t)|,y2(t)=Tf

2、2(t)=|f2(t)|,y(t)=Tf(t)=Tf1(t)+f2(t)=|f1(t)+f2(t)|,而|f1(t)|+|f2(t)|豐|f1(t)+f2(t)|即在f1(t)一y1(t)、f2一y2前提下,不存在f(t)+f2(t)一y1(t)+y2,因此系統(tǒng)不具備可加性.由此,即足以判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng),而不需在判定系統(tǒng)是否具備齊次性特性.2)齊次性由條件,y(t)=Tf(t)=|f(t)|,那么Taf(t)二|af(t)|wa|f(t)|=ay(t)(其中a為任一常數(shù))即在f(t)一y(t)前提下,不存在af-ay(t)此系統(tǒng)不具備齊次性,由此亦可判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng).時不變特性

3、由條件y(t)=Tf(t)=|f(t)|,那么y(t-t0)=Tf(t-t0)=|f(t-t0)|,即由f一y(t),可推出f(t-to)-y(t-to),因此,此系統(tǒng)具備時不變特性.依據(jù)上述、兩點,可判定此系統(tǒng)為一非線性時不變系統(tǒng).1-3判定以下方程所表示系統(tǒng)的性質:df(t)L''r(a)y(t)(0f(x)dx(b)y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t2)dt0"'_,2一解：(a)線性1)可加性由y(t)典dt(c)y(t)2ty(t)2y(t)3f(t)(d)y(t)y(t)f(t)y1(t)ft)1(x)dx即f1(t)y1(t)f(x)dx

4、可得己t那么y2(t)f)nfz(x)dx即i(t)y(t)dt0df1(t)tdf2(t)tdty1(t)y2(t)=0f1(x)dx-20f2(x)dx-f1(t)f2(t)0f1(x)f2(x)dxdt0dt0dt0即在f1(t)y(t)、f2(t)y2(t)前提下,有f1(t)+f2(t)y1(t)+yz(t),因此系統(tǒng)具備可加性.2)齊次性由f(t)y(t)即y(t)史&tf(x)dx,設a為任一常數(shù),可得dt0ay(t),af(t)0af(x)dxafa0f(x)dxIf0f(x)dx即af(t)ay(t),因此,此系統(tǒng)亦具備齊次性.由上述1)、2)兩點,可判定此系統(tǒng)為一線

5、性系統(tǒng).時不變性f(t)y(t)具體表現(xiàn)為：y(t)小f(x)dxdto將方程中得好)換成f(t-to)、y(t)換成y(t-to)(to為大于o的常數(shù)),即y(tto)df(tto)dttof(xto)dx設xto,那么dxd,因此y(tto)df(tto)dtttotof()d也可寫成y(tto)df(tto)dttotof(x)dx,只有f(t)在t=o時接入系統(tǒng),才存在f(tto)y(tto),當f在two時接入系統(tǒng),不存在f(tto)y(tto),因此,此系統(tǒng)為一時變系統(tǒng).依據(jù)上述、,可判定此系統(tǒng)為一線性時變系統(tǒng).(b)線性(t)2y(t)3y(t)fi)可加性(t)f(t2)規(guī)定的

6、f(t)y(t)對應關系的前提下,可得yi(t)V2(t)2yi(t)3yi(t)fi(t)2y2(t)3y2(t)f2(t)_一._"yi(t)y2(t)fi(t2)f2(t2)2yi(t)y2(t)3yi(t)y2(t)fi(t)f2(t)fl(t2)f2(t2)fi(t)即由f2(t)2)齊次性yi(t)y2(t)可推出fi(t)+f2(t)yi(t)+y2(t),系統(tǒng)滿足可加性.由f(t)y(t),即y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t2),兩邊同時乘以常數(shù)a,有ay(t)2y(t)3y(t)af(t)f(t2)ay(t)2ay(t)3ay(t)af(t)af(t2)即

7、af(t)ay(t),因此,系統(tǒng)具備齊次性.由i)、2)可判定此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng).時不變性分別將y(tt0)和f(tt0)(to為大于0的常數(shù))代入方程y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t2)左右兩邊,那么左邊=2dy(tto)dt12dy(tto)dt3y(tto)右邊=df(tto)dtf(tto2)y(tto)2d-y(tto)3y(tto)d(tto)而dy(td(tto)to)2y(tto),ddd(tto)d(tto)y(tto)d2dt2y(tto)2所以,右邊=dy(t2to)dty(t)對應關系的前提下,可得yi(t)y2(t)存在,即系統(tǒng)滿2曳4a3y(tto)=左邊

8、,故系統(tǒng)具備時不變特性.dt依據(jù)上述、,可判定此系統(tǒng)為一線性時不變系統(tǒng).(c)線性1)可加性在由式y(tǒng)''(t)2ty'(t)2y(t)3f(t)規(guī)定的f(t),'yi(t)2tyi(t)2yi(t)3fi(t)y2(t)2ty2(t)2y2(t)3f2(t)兩式相加''",_',_'_,-yi(t)y2(t)+2tyi(t)+2ty2(t)2yi(t)2y?(t)3fi(t)+3f?(t)yi(t)y2(t)+2tyi(t)+y2(t)2yi(t)yz(t)3fi(t)+f2(t)即在fi(t)yi(t)、f2(t)y2

9、(t)的前提下,有式fi(t)f2(t)足可加性.2)齊次性由f(t)y(t),即y''(t)2ty'(t)2y(t)3f(t),兩邊同時乘以常數(shù)a,有ay(t)2aty(t)2ay(t)3af(t)ay(t)2tay(t)2ay(t)3af(t),即有af(t)ay(t),因此,系統(tǒng)具備齊次性.依據(jù)上述i)、2),此系統(tǒng)為一線性系統(tǒng).時不變性分另將y(tto)和f(tto)(to為大于o的常數(shù))代入萬程y(t)2ty(t)2y(t)3f(t)左右兩邊,那么.d2d左邊=-y(tto)2t-y(tto)2y(tto)dtdtd2右邊=3f(tt°)=,、2y(

10、td(tto)d2iy(tto)2(tdtt0)2(tdto',y(tto)2y(tto)d(tto)to)2y(tto)右邊因此,系統(tǒng)是時變的.依據(jù)上述、,可判定此系統(tǒng)為一線性時變系統(tǒng).(d)線性1)可加性在由式y(tǒng)'(t)2y(t)f(t)規(guī)定的f(t)y(t)對應關系的前提下,可得(2-yi(t)yi(t)fi(t)(2-y2(t)y2(t)f2(t)兩式相加''yi(t)2y2(t)2yi(t)y?(t)fi(t)fz(t)而不是：yi(t)y2(t)12yi(t)y2(t)fi(t)f2(t)即在fi(t)yi(t)、f2(t)y2(t)的前提下,并不存

11、在fi(t)f2(t)yi(t)y2(t)因此系統(tǒng)不滿足可加性,進而系統(tǒng)不具備線性特性.(下面的齊次性判定過程可省略)2)齊次性由f(t)y(t),即y'(t)2y(t)f(t),兩邊同時乘以常數(shù)a,有ay'(t)2ay(t)af(t),即式ay(t)2ay(t)af(t)不成立,不存在af(t)ay(t)因此,系統(tǒng)也不具備齊次性.單獨此結論,也可判定此系統(tǒng)為一非線性系統(tǒng).時不變性2分另將y(tto)和f(tto)(to為大于o的常數(shù))代入萬程y(t)2y(t)f(t)左右兩邊,那么,一d2左邊=y(tto)y(tto)dtdy(tto)12dy(tto)12石邊=f(tto)

12、=y(tto)y(tto)石邊d(tto)dt即以式y(tǒng)2y(t)f(t)規(guī)定的fy關系為前提,存在f(tto)y(tto)因此,系統(tǒng)是非時變的.依據(jù)上述、,可判定此系統(tǒng)為一線性時不變系統(tǒng).',.i4試證實萬程y(t)ay(t)f(t)所描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng).提示：根據(jù)線性的定義,證實滿足可加性和齊次性.證實：D證實齊次性'八、Z.xrZ,x兩邊同乘任意常數(shù)b,r',x,z.xy(t)ay(t)f(t)by(t)ay(t)bf(t)即'.by(t)aby(t)bf(t)即bf(t)by(t)滿足齊次性2)證實可加性'一一._.Yi(t)ayi(t)fi(t

13、)y(t)ay(t)f(t),y2(t)ay2(t)fz(t)相加y1(t)ayi(t)y2(t)ayz(t)f1(t)fz(t)'yi(t)y2(t)ayi(t)y2(t)fi(t)fz(t)即.,fi(t)f2(t)yi(t)y2(t)滿足可加性由以上i)、2),可知系統(tǒng)是線性的.t換為t-S導出f(t-t0)與y(t-b)對應.y(t)ay(t)f(t)左右兩邊,那么i5試證實題i4的系統(tǒng)滿足時不變性.提示：將方程中的證實：分別將y(tt0)和f(tt0)(to為大于0的常數(shù))代入方程八4d,、,、左邊=y(tt°)ay(tt°)dt右邊=f(tt0尸院ay(tt0)也3ay(tt0)右邊dt即以式y(tǒng)(t)ay(t)f(t)規(guī)定的f(t)因此,系統(tǒng)滿足時不變性.y(t)關系為前提,存在f(tt.)y(tt.)i-6試一般性的證實線性時不變系統(tǒng)具有微分特性.證實：提示：利用時不變性和微分的定義推導.設線性時不變系統(tǒng)的鼓勵與響應的對應關系為f(t)y(t),那么f(tt)y(tt)(時不變性)由線性可加性可得f(t)f(tt)y(t)y(tt)因此所以f(t)f(tt)ty(t)y(tt)tlimt0f(t)f(ttt)limt0y(t)y(ttt)f(t)y(t)線性時不變系統(tǒng)具有微分特性.,一,.、一,、一、一