初中數(shù)學-中考數(shù)學復習講義-平行四邊形的性質(zhì)及判定.講義學生版

1、平行四邊形的性質(zhì)及判定中考要求板塊測試要求A級要求B級要求C級要求平行四邊形會識別平行四邊形掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì),會用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡單問題會運用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決后關(guān)問題且HUlB知識點睛1 .平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的邊：平行四邊形的對邊平行且對邊相等.平行四邊形的角：平行四邊形的對角相等,鄰角互補.平行四邊形的對角線：平行四邊形的對角線互相平分.平行四邊形的對稱性：平行四邊形是中央對稱圖形.平行四邊形的周長：一組鄰邊之和的2倍.平行四邊形的面積：底乘以高.2 .平行四邊形的判定兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩

2、條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.11Mb£例題精講一、平行四邊形的性質(zhì)【例1】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,即ABIICD,ADIIBC.通過證實三角形全等來說明:AB=CD,AD=BC.對邊相等AO=CO,BO=DO.對角線互相平分【穩(wěn)固】【例2】如圖,在平行四邊形ABCD中,EF/BC,GH/AB,EF與GH相交于點O,圖中共有如圖,E,F是平行四邊形ABCD對角線上的兩點,BE=DF,那么AF和CE相等嗎？請說明理由平行四邊形【穩(wěn)固】以三角形的三個頂點作平行四邊形,最多可以作A.2個B.3個C

3、.4個D.5個【例3】2021蘭州如圖,平行四邊形ABCD中,AB_LAC.對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F.證實：當旋轉(zhuǎn)角為90邛寸,四邊形ABEF是平行四邊形；試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等.【例4】在平行四邊形ABCD中,點A1、A、A3、A和Ci、C2、C3、C4分別為AB和CD的五等分點,點B、B2和Di、D2分別是BC和DA的三等分點,四邊形A4B2c4D2的面積為1,那么平行四邊形ABCD面積為A.2B.3C.5D.1553AAL42/4B【穩(wěn)固】【例5】面積為A. 3現(xiàn)有如圖2).B. 6C.12D.24的鐵片,其

4、形狀是一個大的平行四邊形在一角剪去一個小的平行四邊形,工人師傅想如圖,在平行四邊ABCD中,AC、BD為對角線,BC=6,BC邊上的高為4,那么陰影局部的用一條直線將其分割成面積相等的兩局部,請你幫助師傅設計三種不同的分割方案.如圖1,.1,.2,.3,.4為四個等圓的圓心,A,B,C,D為切點,請你在圖中畫出一條直線,將這四個圓分成面積相等的兩局部,并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是Oi,O2,O3,O4,O5為五個等圓的圓心,A,B,C,D,E為切點,;如圖2,請你在圖中畫出一條直線,將這五個圓分成面積相等的兩局部,并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是【例6】如圖,求證:E,F是平行四邊形ABCD的對角

5、線AC上的兩點,AE=CF.(1) MDACBE;(2) EBIIDF.【穩(wěn)固】如圖,：在平行四邊形ABCD中,/BCD的平分線CE交邊AD于E,/ABC的平分線BG交CE于F,交AD于G.求證：AE=DG.【例7】：如圖,平行四邊形ABCD內(nèi)有一點E滿足ED_LAD于點D,/EBC=/EDC,/ECB=45,請找出與BE相等的一條線段,并給予證實.【穩(wěn)固】如圖,E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點,BE/DF,求證：AF=CE.AD【例8】如圖,在平行四邊形ABCD中,連接對角線BD,過A,C兩點分別作AE_LBD,CF_LBD,E,F為垂足,求證：四邊形AECF是平行四邊形【穩(wěn)固】如

6、圖,平行四邊形ABCD中,E是BC的中點,DE、AB的延長線交于點F,連接AE、CF.求證：SBE=S&FC.例9如圖,等邊三角形的邊長為10,P是MBC內(nèi)一點,PD/AC,PE/AB,PF/BC,點D,E,F分別在AB,BC,AC上,那么PD+PE+PF=如圖1,在平行四邊ABCD中,/A=120.那么/D=B圖1那么,BCEA圖2A.任意四邊形C.對角線相等的四邊形B.平行四邊形D.對角線垂直的四邊形2021東營如圖3,在平行四邊ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,DE平分/ADC交BC邊于點E,那么BE等于如圖2,在平行四邊形ABCD中,DB=DC,/A=65.CE_LBD于

7、E四邊形的四條邊長分別是a,b,cd,其中a,b為對邊,并且滿足2222a+b+c+d=2ab+2cd那么這個四邊形是平行四邊形ABCD的周長為60cm,對角線AC、BD相交于O點,&AOB的周長比ABOC的周長多8cm,那么AB的長度為【穩(wěn)固】【例10】如圖,是某區(qū)局部街道示意圖,其中CE垂直平分AF,AB/DC,BC/DF,從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達的公交車,路線1是B-D-A-E,兩條路線路程的長短,并給出證實.路線2是BC-FE,請比擬【穩(wěn)固】如圖是某市一公園的路面示意圖,其中,ABCD是平行四邊形,垂足,G、H分別是BC、AD的中點,連接EG,GF,FH.BE_L

8、AC,DF_LAC,E、HE為公園中小麗問小明從地經(jīng)E地,H地到F地,與小強從D地經(jīng)F地,G地到E地,誰的路程遠.一個平行四邊形的兩條對角線的長分別為5和7,那么它的一條邊長a的取值范圍是【例11】AC是平行四邊形ABCD較長的一條對角線,點O是ABCD內(nèi)部一點,0尸_1八口于點尸,OG_LAC于點G,求證：AEAB+AFAD=AGAC.OE_LAB于點E,在平行四邊形ABCD中,過A任作一直線AM,過B、C、D作AM的垂線BE、CF、DG,垂足分別是E、F、G,求證：BE=DG-CF-二、平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應用【例12】點A、B、C、D在同一平面內(nèi),從AB/CD,AB=CD,BC/A

9、D,BC=AD.這四個條件中任選兩個,能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有()種A.3B.4C.5D.6【穩(wěn)固】如圖,：AD是AABC的角平分線,證：四邊形BDEF是平行四邊形DE/AB,在AB上截取BF=AE,連接DE,EF,求【例13：如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點.求證：AAFDACEB;(2)四邊形AECF是平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,四邊形ABCD中,AB/CD,NB=ND,BC=6,AB=3,求四邊形ABCD的周長.AB和BC.【例14】如下圖,P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點,求證：以AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一個四邊形,并且所構(gòu)成的四邊形的對角線

10、的長度恰好分別等于【例15如下圖,在平行四邊形ABCD中,、F是對角線AC上兩點,且AF=CE,求證：四邊形BEDF是平行四邊形.【穩(wěn)固】：如圖,AD/BC,ED/BF,且AF=CE.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【例16如圖,在平行四邊形ABCD的各邊AB,BC,CD,DA上,分別取E,F,G,H,使AE=CG,BF=DH,求證：四邊形EFGH為平行四邊形【例17如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P,過點P作直線交AD于點E,交BC于點F.假設PE甲,且AP+AE=CP+CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,在平行四邊形ABCD中,點M、N是對角線AC上的點,且

11、AM=CN,DE=BF,求證:四邊形MFNE是平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,E、F分別是平行四邊形ABCD的AD、BC邊上的點,且AE=CF.求證：MBEACDF;假設M,N、分別是BE、DF的中點,連接MF、EN,試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形,并證實你的結(jié)論.【例18如圖,過四邊形ABCD對角線白交點O作直線EF交AD、BC分別于E、F,又G、H分別為TTOB、OD的中點,求證：四邊形EHFG為平行四邊形.【穩(wěn)固】如圖,MCD、MBE>&BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.當AB¥AC時,證實四邊形ADFE為平行四邊形.【例19】A.B.C.D.以&ABCD

12、的對邊AB、CD為邊分別在外作等邊MBE、等邊ACDF.求證:平行四邊形.四邊形AECF是等邊MBC中,點D在BC上,點E在AB上,四邊形CDFE是平行四邊形.如圖,點E,F,G,H,M,N分別在AABC的BC,AC,AB邊上,且NH/MG/BC,ME/NF/AC,GFIIEHIIAB,有黑、白兩只螞蟻,它們同時同速從出發(fā),黑螞蟻沿路線FtNtHtEtMtGtF爬行,白螞蟻沿路線FtBtAt爬行,那么黑螞蟻先回到F點白螞蟻先回到F點兩只螞蟻同時回到F點哪只螞蟻先回到F點視各點的位置而定【例20如圖,AC是平行四邊形ABCD的對角線,MCP和AACQ都是等邊三角形,求證：四邊形BPDQ是平行四邊

13、形.【穩(wěn)固】如圖,MBC中,D是AB的中點,E是AC上任意一點,EF/AB,DF/BE.求證：DF與AE互相平分.【例21如圖,田村有一口呈四邊形的池塘,在它的四個角A,B,C,D處均種有一顆大核桃樹,田村準備開挖池塘建養(yǎng)魚池,想使池塘面積擴大一倍,又想讓核桃樹不動,并要求擴建后的池塘成平行四邊形的形狀,請問田村能否實現(xiàn)這一設想？假設能,請你設計并畫出圖形,假設不能,請說明理由【穩(wěn)固】如圖,在AABC中,NACB=902點E為AB中點,連結(jié)CE,過點E作ED_LBC于點D,在DE的延長線上取一點F,使AF=CE.求證：四邊形ACEF是平行四邊形.【例22如圖,在平行四邊形ABCD中,DE_LA

14、B于E,BM=MC=DC,那么/EMC與/BEM的大小關(guān)系怎樣？【穩(wěn)固】平行四邊形ABCD,BC=2AB,M為AD的中點,CE_LAB.求證：/EMD=3/AEM.【例23】：如圖,平行四邊形ABCD中,AE、BE、CF、DF分別平分/BAD、/ABC、/BCD、ZCDA,BE、DF的延長線分別交AD、BC于點M、N.連接EF,假設AD=7,AB=4.求EF的長.【例24如圖,p為平行四邊形ABCD內(nèi)一點,過點P分別作AB、AD的平行線,交平行四邊形于E、F、G、H四點,假設Sahpe=3,SpFCG=5,求Sapbd【例25如圖,在MBC中,AB=AC,AD_LBC于D,點P在BC上,PE_

15、LBC交BA的延長線于巳交AC于F.求證：2AD=PE+PF;【穩(wěn)固】如圖,四邊形EFGH中,假設/1=/2,那么/3必然等于24.請運用結(jié)論證實下述問題：如圖,在平行四邊形ABCD中取一點P,使得4=/6,求證：Z7=Z8.【穩(wěn)固】如下圖,在平行四邊形ABCD中,求證AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.【例26】如圖,MBC中,NCn點M在BC上,且BMBN相交于點P,求證：/BPM=45°=AC,點N在AC上,且AN=MC,AM與B【例27】如圖,ABCD為平行四邊形,AD=a,BEIIAC,求證：DF=FE;DE交AC的延長線于F點,交BE于E點.假設AC=2CF,

16、/ADC=60、AC_LDC,求BE的長;在的條件下,求四邊形ABED的面積.A目隨課后練習TTmTt1. 如下圖,四邊形ABCD,從AB/DC;AB=DC;AD/BC;(4)AD=BC;/A=/C;(6)ZB=/D中取兩個條件加以組合,能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請寫出具體組合.2. 如圖3,一個平行四邊形被分成面積為6、8、S3、S4四個小平行四邊形,當CD沿AB自左向右在平行四邊形內(nèi)平行滑動時.§S4與S2s3的大小關(guān)系為.點C與點A、B不重合時,圖中共有個平行四邊形,3. 如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分/BAD交BC邊于點E,那么線段BE,EC的長度分別為()A.2和3B.3和2C.4和1D.1和4如圖4. BD為平行四邊形ABCD的對角線,過C作CEIIBD,連接AE交BD的延長線于F,求證：AF=FE.5. 如圖,平行四邊形ABCD中,AE_LBD于E,CF_LBD于F.求證：AE=