常微分方程計(jì)算題及答案

1、48 常微分方程計(jì)算題及答案計(jì) 算 題（每題10分）1、求解微分方程。2、試用逐次逼近法求方程通過(guò)點(diǎn)(0,0)的第三次近似解.3、求解方程的通解4、求方程組的通解5、求解微分方程6、試用逐次逼近法求方程通過(guò)點(diǎn)(1,0)的第二次近似解。7、求解方程的通解8、求方程組的通解9、求解微分方程10、試用逐次逼近法求方程通過(guò)(0,0)的第三次近似解.11、求解方程的通解12、求方程組的通解13、求解微分方程14、試用逐次逼近法求方程通過(guò)點(diǎn)(0,0)的第三次逼近解.15、求解方程的通解16、求解方程的通解17、求方程組的通解18、解微分方程19、試用逐次逼近法求方程滿足初始條件的近似解：.20、利用逐次逼

2、近法，求方程適合初值條件的近似解：。21、證明解的存在唯一性定理中的第次近似解與精確解有如下誤差估計(jì)式：。22、求初值問(wèn)題 在區(qū)域 的解的定義區(qū)間，并求第二次近似解，給出在存在區(qū)間上解的誤差估計(jì)。23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于都不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，比較系數(shù)得 即 ，因而，所求通解為 。46、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 特征根為 ，齊次方程的通解為 由于3不是特征根，故已知方程有形如

3、的特解。將代入已知方程，比較系數(shù)得 即 ，因此，已知方程的通解為 。47、48、49、50、51、52、53、54、55、56、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 因此，所求通解為 。57、58、59、60、61、62、63、64、65、66、求微分方程的通解。67、求的通解。68、求微分方程的通解。69、求微分方程的通解。70、求微分方程的通解。71、求微分方程的通解。72、求方程的通解。73、求微分方程的通解。74、求微分方程的通解。75、利用代換將方程 化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解。76、求下列線性微分方

4、程組77、解下列微分方程組的通解。78、79、80、計(jì) 算 題 答 案、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程+2xy=0的通解為y=ce-x2 (4¹)用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為y=c(x)e-x2 代入方程y¹+2xy=2xe-x2得c¹(x)=2x因此有c(x)=x2+c (3¹）所以原方程的通解為y=(x2+c)e-x2 (1¹)、解：按初始條件取 3、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為解得對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為 （2¹）設(shè)方程的一個(gè)特征解為y1=Ae-x則y1¹=-Ae-x ,y2¹=Ae-x代入解得A=-1/2從而 （

5、2¹）故方程的通解為 （2¹）4、解：它的系數(shù)矩陣是 特征方程 或?yàn)閘2-10l+9=0 （2¹）特征根l1=1,l2=9原方程對(duì)應(yīng)于l1 =1的一個(gè)特解為y1=et,x1=-et （2¹）對(duì)應(yīng)于l2=9的一個(gè)特解為y1=e9t,x1=e9t （2¹）原方程組的通解為 （2¹）5、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程 y¹+2xy=0的通解為y=ce-x2 (4¹)用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為y=c(x)e-x2 代入方程y¹+2xy=4x得c¹(x)=4ex2x因此有c(x)=2ex2+c (3

6、5;）所以原方程的通解為y=(2ex2+c)e-x2 (1¹)6、解：取則因此，第二次近似解為 。7、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為，得對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為 （2¹）設(shè)方程的一個(gè)特征解為則,代入解得，而 （2¹）故方程的通解為 （2¹）8、解：由方程解出y，得， 代入得即故通解為9、解：方程化為對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解為y=cx2 (4¹)用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為y=c(x)x2 代入方程得c¹(x)=2x因此有c(x)=x2+c (3¹）所以原方程的通解為y=(x2+c)x2 (1¹)10、解：取則因此

7、，第三次近似解為 11、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為y¹¹+y¹-2y=0特征方程為l2+l-2=0 解得l=1,-2對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為Y=c1ex+c2e-2x （2¹）設(shè)方程的一個(gè)特征解為y1=Ae-x則y1¹=-Ae-x ,y1¹¹=Ae-x代入解得A=-2從而y1=-2e-x （2¹）故方程的通解為y=Y+y1=c1ex+c2e-2x-2e-x （2¹）12、解：它的系數(shù)矩陣是 特征方程 或?yàn)閘2-4l-5=0 （2¹）特征根l1=-1,l2=5原方程對(duì)應(yīng)于l1 =5的一個(gè)特解為y1=e5t,

8、x1=e5t （2¹）對(duì)應(yīng)于l2=-1的一個(gè)特解為y2= -e-t,x2=e-t （2¹）原方程組的通解為 （2¹）13、解：方程化為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 (4¹)用常數(shù)變易法，可設(shè)非齊次方程的通解為代入方程得因此有 (3¹）所以原方程的通解為 (1¹)14、解：取則因此，第三次近似解為 15、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程特征方程為解得l=1,-2對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為 （2¹）設(shè)方程的一個(gè)特征解為代入解得從而 （2¹）故方程的通解為 16、解：對(duì)應(yīng)的齊次方程特征方程為l2+l-2=0 解得l=1,-2對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為Y

9、=c1ex+c2e-2x （2¹）設(shè)方程的一個(gè)特征解為y1=Ae-x代入解得A=-3/2從而y1=-(3/2)e-x （2¹）故方程的通解為y=Y+y1=c1ex+c2e-2x-(3/2)e-x （2¹）17、解：化簡(jiǎn)有它的系數(shù)矩陣是 特征方程 或?yàn)閘2-1=0 （2¹）特征根l1=±1原方程對(duì)應(yīng)于l1 =-1的一個(gè)特解為y1=e-t,x1=e-t （2¹）對(duì)應(yīng)于l2=1的一個(gè)特解為y2=et,x2=3et （2¹）原方程組的通解為 （2¹）18、解：因M(x,y)=3x2+6xy2,N(x,y)=6x2y3+4y

10、3所以為全微分方程 將其分組 原方程可寫(xiě)成 方程的通解為 19、解：20、解：零次近似解為 一次近似解為 二次近似解為 21、證：由及迭代列得 設(shè) 則 由歸納法知，對(duì)任意次近似解，估計(jì)式（1）成立。22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定義區(qū)間為 其中。這里，從而，即得解的定義區(qū)間為 。2）求初值問(wèn)題的二次近似解 則二次近似解為 3）由誤差估計(jì)公式 其中L是李普希茲常數(shù)。因?yàn)?，可取，則有即第二次近似解在存在區(qū)間上的誤差不超過(guò)。23、解：方程可化為 作變換，代入方程得到進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得 兩邊積分得 代回原變量，得原放通解 24、解：令，代入原方程得 這是齊次方程，再作變換，則方程化為 將變量分離，

11、得 兩邊積分得 代回原變量，得通解 此外，即也是解，它包含在上述通解中。25、解：首先求線性齊次方程 的通解。分離變量，得 ， 兩邊積分得 設(shè)原方程通解為 ， 代入原方程，得到 兩邊積分得 于是，所求方程的通解為 。26、解：若對(duì)調(diào)與的地位，即可把方程化為 這是以為未知函數(shù)的一階線性方程，先求線性齊次方程 的通解。分離變量，得 ， 兩邊積分得 為求得原方程通解，設(shè) ，代入原方程，得 兩邊積分得 所以，所求方程的通解為 。27、解：若對(duì)調(diào)與的地位，即可把方程化為 這是以為未知函數(shù)的一階線性方程，先求線性齊次方程 的通解。分離變量，得 ， 兩邊積分得 令 ，代入原方程，得 兩邊積分得 所以，所求方

12、程的通解為 。28、解：原方程為 ， 令，代入上式得 （1） 上式兩邊同乘，并整理得 ， 兩邊積分得 這樣，得到線性方程（1）的通解為 代回原變量，得原方程通解 此外，出現(xiàn)在分母位置，不可取0。29、解：因?yàn)椋杂?因此方程為全微分方程。取，得 于是方程的通解為 。30、解：這里 ，于是 因此這是一個(gè)全微分方程。把方程重新分項(xiàng)組合，得到 即 所以，方程的通解為 31、解：這里，于是 因此這是一個(gè)全微分方程。即 所以，方程的通解為 。32、解：這里 ，經(jīng)計(jì)算知這是一個(gè)全微分方程。把方程重新分項(xiàng)組合，得到 即 ， 所以，方程的通解為 。33、解：將方程改寫(xiě)為這里所以這是一個(gè)全微分方程。取，得 于

13、是方程的通解為。34、解：，   所以 ，這樣，方程有積分因子 原方程兩端乘以，得到全微分方程 即 ，原方程的通解為 。35、解：，   于是得到然 ，所以，方程有積分因子 于是原方程可化為 即 ，因而，方程的通解為 36、解：令 ，則 ，代入方程得 兩邊積分得 ，從而將方程降為一階方程 將變量分離，易求得其通解為 。37、解：特征方程為 ， 因式分解為 特征根為，故所求通解為 。38、解：特征方程為 ， 因式分解為 特征根為，故所求通解為 。39、解：特征方程為 ， 特征根為，故所求通解為 。40、解：特征方程為 ， 因式分解為 特

14、征根為，故所求通解為 .41、解：特征方程為 ， 特征根為（二重），故所求通解為.42、解：特征方程為 ，因式分解為特征根為（二重），故所求通解為.43、解：特征方程為 ， 即 特征根為（四重），故所求通解為.44、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 特征根為 ，齊次方程的通解為 由于不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，比較系數(shù)得 即 ，因此，已知方程的通解為 。45、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于都不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，比較系數(shù)得 即 ，因而，所求通解為 。46、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 特征根為 ，

15、齊次方程的通解為 由于3不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，比較系數(shù)得 即 ，因此，已知方程的通解為 。47、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 特征根為 ，齊次方程的通解為 由于不是特征根，故已知方程有形如 （1）的特解。求出 （2） （3）將（1）、（2）、（3）代入已知方程，比較系數(shù)得 即 ，因此，已知方程的通解為 。48、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，故通解為 由于是一重特征根，所以已知非齊次方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 即 ，因此，所求通解為 。49、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 （二重）。 若，此時(shí)齊次方程的通解為過(guò) 由于1不是特

16、征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 ， 即 所以，時(shí)已知方程的通解為 。 若，此時(shí)齊次方程的通解為過(guò) 由于1是二重特征根，故已知非齊次方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 ， 即 所以，時(shí)已知方程的通解為 50、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 （二重），故齊次方程的通解為 由于2是二重特征根，1和0不是特征根，故已知非齊次方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 即 ，因此，所求通解為 。51、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 因?yàn)?是一重特征根，故已知非齊次方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 所以，所求通解為 。52、解：對(duì)應(yīng)齊次方程

17、的特征方程為 ，特征根為 （三重），故通解為 由于是三重特征根，所以已知非齊次方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 即 ，因此，所求通解為 。53、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 由于不是特征根，所以已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 因此，所求通解為 。54、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于不是特征根，所以已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 因此，所求通解為 。55、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 因?yàn)?由于不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 因此，所

18、求通解為 。56、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 因此，所求通解為 。57、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于不是特征根，所以已知非齊次方程有形如 的特解。將上式代入已知方程，得 因此，所求通解為 。58、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 I）若，由于是一重特征根，故已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 所以，時(shí)所求通解為 。II）若，此時(shí)已知方程有形如 的特解。將代入已知方程，得 所以，時(shí)所求通解為 59、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征

19、方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 ，因?yàn)?而0是一重特征根，不是特征根，故已知方程有形如 的特解。將上式代入已知方程，得 因此，所求通解為 。60、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于是一重特征根，故已知方程有形如 的特解。將上式代入已知方程，得 因此，所求通解為 。61、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于0是一重特征根，不是特征根，所以已知方程有形如 的特解。將上式代入已知方程，得 因此，所求通解為 。62、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 由于是一重特征根，故已知方程有形如 的特解。將上式代入已

20、知方程，得 因此，所求通解為 。63、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 因?yàn)槭且恢靥卣鞲砸阎匠逃行稳?的特解。將上式代入已知方程，得 因此，所求通解為 。64、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 因?yàn)槭且恢靥卣鞲?，而不是特征根，故已知方程有形?的特解。將上式代入已知方程，得 因此，所求通解為 。65、解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ，齊次方程的通解為 因?yàn)橐恢靥卣鞲?，故已知方程有形?的特解。將上式代入已知方程，得 因此，所求通解為 。66、解：設(shè) 原方程化為 分解得 和 由 得解 由 得 積分之得 或者 故方程的全部解

21、為 和 .67、解：令 原方程化為 即 積分得到 .68、解：令 則 代入原方程得：化簡(jiǎn)得 解得 故通解為 .69、解：（解法一）將原方程重新改寫(xiě)為 由于 令 方程化為 分離變量可得 即 或者 兩邊積分 .（解法二）由于方程兩端關(guān)于是二次齊次函數(shù)，故可作變換代入方程后得 消去 不顯含，令 得到伯努利方程 令 所以 兩邊積分 因此通解為 或者改寫(xiě) .70、解：原方程對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程為，所以對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 自由項(xiàng) 是單重特征根，。自由項(xiàng) 不是特征根 。故令 代入原方程兩端比較系數(shù)得 故方程的通解為 .71、解：相應(yīng)齊次方程的特征方程為 故，齊次方程的通解為 。非齊次方程的特解可令為 。故 即 得 , 代入(1)得 .所以 .故原方程的通解為 . 。72、解：設(shè) 代入后得到 滿足 其特征方程，齊次方程的通解為 。設(shè)特解為。 滿足解得 于是 所以原方程的通