初中排列組合公式例題

1、排列組合公式復(fù)習(xí)排列與組合考試內(nèi)容：兩個(gè)原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式。 考試要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的問題。 2）理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式，并能用它們解決一些簡單的問題。 重點(diǎn)：兩個(gè)原理尤其是乘法原理的應(yīng)用。 難點(diǎn)：不重不漏。 知識(shí)要點(diǎn)及典型例題分析： 1加法原理和乘法原理 兩個(gè)原理是理解排列與組合的概念，推導(dǎo)排列數(shù)及組合數(shù)公式，分析和解決排列與組合的應(yīng)用問題的基本原則和依據(jù)；完成一件事共有多少種不同方法，這是兩個(gè)原理所要回答的共同問題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類辦法和需要分幾個(gè)步驟。 例1書架上放有3本

2、不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。 （1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。 解：（1）由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，由于有3種書，則分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。 （2）由于從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成3個(gè)步驟完成，據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3×5×6=90（種）。 （3）由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況（數(shù)語各1本，

3、數(shù)英各1本，語英各1本）而在每一類情況中又需分2個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3×5+3×6+5×6=63（種）。 例2已知兩個(gè)集合A=1，2，3，B=a,b,c,d，e，從A到B建立映射，問可建立多少個(gè)不同的映射？ 分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)?！?因A中有3個(gè)元素，則必須將這3個(gè)元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分3個(gè)步驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：5×5×5=1

4、25（種）。 2排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式 排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計(jì)算；二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡與證明。 連乘積的形式 階乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1) = Cnm= 例3求證：Anm+mAnm-1=An+1m證明：左邊= 等式成立。 評(píng)述：這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)：n!(n+1)=(n+1)!可使變形過程得以簡化。 例4解方程. 解：原方程可化為：     解得x=3。評(píng)述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)

5、時(shí)，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫在脫掉符號(hào)之前。 3排列與組合的應(yīng)用題 歷屆高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問題的內(nèi)容和情景是多種多樣的，而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。 一般方法有：直接法和間接法。（1）在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若問題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。 （2）間接法一般用于當(dāng)問題的反面簡單明了，據(jù)A=I且A = 的原理，采用排除的方法來獲

6、得問題的解決。 特殊方法： （1）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。 （2）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外分別排列。 （3）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實(shí)位，在空位上進(jìn)行排列。 （4）其它方法。 例57人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。 （1）甲排中間；（2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰； （4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）； （5）甲，乙，丙連排； （6）甲，乙，丙兩兩不相鄰。 解：（1）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故共有：1&

7、#215;=720種不同排法。 （2）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何一個(gè)位置則有種，其余6人可任意排列有 種，故共有 · =3600種不同排法。 （3）甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個(gè)“元素”，連同其余5人共6個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有 ·=1400種不同的排法。 （4）甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列 中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右邊”的排法是一一對(duì)應(yīng)的，在不要求相鄰時(shí)，各占所有排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有 =2520種。 （5）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“

8、捆綁法”，先將甲、乙、丙合為一個(gè)“元素”，連同其余4人共5個(gè)“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，故共有· =720種不同排法。 （6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個(gè)“空”。再將甲、乙、丙插入其中的三個(gè)“空”，故共有·=1440種不同的排法。 例6用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個(gè)數(shù)： （1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)；（4）不含數(shù)字0，且1，2不相鄰的數(shù)。 解：（1）奇數(shù)：要得到一個(gè)5位數(shù)的奇數(shù)，分成3

9、步，第一步考慮個(gè)位必須是奇數(shù)，從1，3，5中選出一個(gè)數(shù)排列個(gè)位的位置上有 種；第二步考慮首位不能是0，從余下的不是0的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在首位上有種；第三步：從余下的4個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)排在中間的3個(gè)數(shù)的位置上，由乘法原理共有  =388（個(gè)）。 （2）5的倍數(shù)：按0作不作個(gè)位來分類 第一類：0作個(gè)位，則有=120。 第二類：0不作個(gè)位即5作個(gè)位，則 =96。 則共有這樣的數(shù)為： + =216（個(gè)）。 （3）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類： 第一類：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3個(gè)； 第二類：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4個(gè)；

10、 第三類：203xx, 204xx, 205xx, 有3個(gè)， 因此，比20300大的五位數(shù)共有：3+4 +3 =474（個(gè)）。 （4）不含數(shù)字0且1，2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將3，4，5三個(gè)數(shù)字排成一行；第二步將1和2插入四個(gè)“空”中的兩個(gè)位置，故共有=72個(gè)不含數(shù)字0，且1和2不相鄰的五位數(shù)。 例7直線與圓相離，直線上六點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6，圓上四點(diǎn)B1，B2，B3，B4，任兩點(diǎn)連成直線，問所得直線最多幾條？最少幾條？ 解：所得直線最多時(shí)，即為任意三點(diǎn)都不共線可分為三類：第一類為已知直線上與圓上各取一點(diǎn)連線的直線條數(shù)為=24；第二類為圓上任取兩點(diǎn)所得的直線條數(shù)為=6；

11、第三類為已知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為N1= +1=31（條）。 所得直線最少時(shí)，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字?jǐn)?shù)較為方便，而重合的直線即是由圓上取兩點(diǎn)連成的直線，排除重復(fù)，便是直線最少條數(shù)：N2=N1-2=31-12=19（條）。解排列組合問題的策略 要正確解答排列組合問題，第一要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題還是組合問題、還是排列與組合混合問題；第二要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚恚龅讲恢夭宦?；第三要?jì)算正確。下面將通過對(duì)若干例題的分析，探討解答排列組合問題的一些常見策略，供大家參考。 一、解含有特殊元素、特殊位置的題采用特殊優(yōu)先安排的策略 對(duì)于帶有特殊元素的排列問

12、題，一般應(yīng)先考慮特殊元素、特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，也就是解題過程中的一種主元思想。 例1用0，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） A24個(gè) B30個(gè) C40個(gè) D60個(gè) 解：因組成的三位數(shù)為偶數(shù)，末尾的數(shù)字必須是偶數(shù)，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分為兩類：當(dāng)0排在末尾時(shí)，有 個(gè)；當(dāng)0不排在末尾時(shí)，三位偶數(shù)有 個(gè)，據(jù)加法原理，其中偶數(shù)共有 + =30個(gè)，選B。 若含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的特殊位置或特殊元素，則應(yīng)使用集合的思想來考慮。這里僅舉以下幾例：(1)無關(guān)型(兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成的

13、集合的交是空集) 例2用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)? 解：由題意可知，兩個(gè)特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的集合A=1，2，3，4，5，末位可取元素的集合B=0，AB= 。如圖1所示。   末位上有 種排法，首位上有 種不同排法，其余位置有 種不同排法。所以，組成的符合題意的六位數(shù)是   =120(個(gè))。 說明：這個(gè)類型的題目，兩個(gè)特殊位置上所取的元素是無關(guān)的。先分別求出兩個(gè)特殊位置上的排列數(shù)(不需考慮順序)，再求出其余位置上的排列數(shù)，最后利用乘法原理，問題即可得到解決。 (2)包合型(兩個(gè)特

14、殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系) 例3用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)? 解：由題意可知，首位、末位是兩個(gè)特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合 A=1，2，3，4，5，末位可取元素的集合B=5，B A，用圖2表示。 末位上只能取5，有 種取法，首位上雖然有五個(gè)元素可取但元素5已經(jīng)排在末位了，故只有 種不同取法，其余四個(gè)位置上有 種不同排法，所以組成的符合題意的六位數(shù)有   =96(個(gè))。 說明：這個(gè)類型的題目，兩個(gè)特殊位置上所取的元素組成的集合具有包含關(guān)系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列數(shù)，再求另一

15、個(gè)位置上的排列數(shù)，次求其它位置上排列數(shù)，最后利用乘法原理，問題就可解決。 (3)影響型(兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。這類題型在高考中比較常見。) 例4用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)? 解：由題意可知，首位和百位是兩個(gè)特殊位置，“3”是特殊元素。首位上可取元素的集合 A=2，3，4，5，百位上可取元素的集合B=1，2，4，5。用圖3表示。 從圖中可以看出，影響型可分成無關(guān)型和包含型。首先考慮首位是3的五位數(shù)共有： 個(gè)；再考慮首位上不是3的五位數(shù)，由于要比20000大，首位上應(yīng)該是2、4、5中的任一個(gè)， 種

16、選擇；其次3應(yīng)排在千位、十位與個(gè)位三個(gè)位置中的某一個(gè)上， 種選擇，最后還有三個(gè)數(shù)、三個(gè)位置，有 種排法，于是首位上不是3的大于20000的五位數(shù)共有個(gè)   。 綜上，知滿足題設(shè)條件的五位數(shù)共有： +   =78個(gè)。 二、解含有約束條件的排列組合問題一采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略 解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連貫過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分步層次清楚，不重不漏。 例5平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有_個(gè)。 簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步先在4條平行線中任取兩條，有 種取

17、法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有 種取法。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有· =60個(gè)。 例6在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少? 解：依題意，共線的三點(diǎn)組可分為三類：兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有 =28(個(gè))；兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組共有 =3(個(gè))；兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有 =18(個(gè))。 所以總共有28+3+18=49個(gè)。 例7某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品(每只產(chǎn)品均可區(qū)分)。每次取一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止。求第4只次品在第五次被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種?

18、 解：先考慮第五次測(cè)試的產(chǎn)品有4種情況，在前四次測(cè)試中包含其余的3只次品和1只正品，它們排列的方法數(shù)是6 。依據(jù)乘法原理得所求的不同情形有4×6 =576種。 有些排列組合問題元素多，取出的情況也有多種，對(duì)于這類問題常用的處理方法是：可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后計(jì)算總和。 例8由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)的6位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 （ ） A、210個(gè)B、300個(gè)C、464個(gè)D、600個(gè) 分析：按題意個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，符合題的分別有 ， ， ， 個(gè)。 合并總計(jì)，共有 + + + + =300(個(gè))。 故選B。

19、說明：此題也可用定序問題縮位法求解，先考慮所有6位數(shù)： 個(gè)，因個(gè)位數(shù)字須小于個(gè)位數(shù)字，故所求6位數(shù)有( )/ =300(個(gè))。 處理此類問題應(yīng)做到不重不漏，即每兩類的交集為空集，所有類的并集為合集，因此要求合理分類。 例9已知集合A和集合B各含12個(gè)元素，AB含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面的兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)： (1)C AB，且C中含有3個(gè)元素； (2)CA （ 表示空集)。 分析：由題意知，屬于集合B而不屬于集合A元素個(gè)數(shù)為12-4=8，因此滿足條件(1)、(2)的集合C可分為三類：第一類：含A中一個(gè)元素的集C有 個(gè)；第二類：含A中二個(gè)元素的集C有 個(gè)；第三類：含A中三個(gè)元素的集C有

20、個(gè)。故所求集C的個(gè)數(shù)是 + + =1084。 有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，分別分配到不同的位置上，對(duì)于這類問題的常用解法，是先將元素逐一分組，然后再進(jìn)行全排列、但在分組時(shí)要注意是否為均勻分組。 例103名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)土，不同的分配方法共有 ( )。 A90種B180種C270種D540種 分析：(一)先分組、后分配： 第一步：將3名醫(yī)生分成3組，每組一人只有一種分法。第二步：將6名護(hù)士分成3組，每組2人有：( )/ 種分法。第三步：將醫(yī)生3組及護(hù)士3組進(jìn)行搭配，使每組有一名醫(yī)生、2名護(hù)士，有 種搭配方法。第四步：將所得的3組分配

21、到3所不同的學(xué)校有 種分配法。 故共有不同的分配方法： · =540(種)。故選(D)。 分析：(二)第一步：先將6名護(hù)士分配到3所不同學(xué)校，每所學(xué)校2名，則有 (種)分法。 第二步：再將3名醫(yī)生分配到3所不同的學(xué)校，每所學(xué)校1人，有 種分法。 故共有  =540(種)故選(D)。 說明：處理此類問題應(yīng)注意準(zhǔn)確分步。 三、解排列組臺(tái)混合問題采用先選后排策略 對(duì)于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略。 例114個(gè)不同小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子，則恰有一個(gè)空盒的放法有_種。 簡析：這是一個(gè)排列與組合的混合問題。因恰有一個(gè)空盒，所以必有一

22、個(gè)盒子要放2個(gè)球，故可分兩步進(jìn)行：第一步選，從4個(gè)球中任選2個(gè)球，有 種選法。從4個(gè)盒子中選出3個(gè)，有 種選法；第二步排列，把選出的2個(gè)球視為一個(gè)元素，與其余的2個(gè)球共3個(gè)元素對(duì)選出的3個(gè)盒子作全排列，有 種排法。所以滿足條件的放法共有  =144種。 四、正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化策略 對(duì)某些排列組合問題，當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜，不易解決時(shí)，可考慮從反面入手，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)較簡單的問題來處理。即采用先求總的排列數(shù)(或組合數(shù))，再減去不符合要求的排列數(shù)(或組合數(shù))，從而使問題獲得解決的方法。其實(shí)它就是補(bǔ)集思想。 例12馬路上有編號(hào)為1、2、3、9的9只路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其

23、中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有_種。 簡析：關(guān)掉一只燈的方法有7種，關(guān)第二只、第三只燈時(shí)要分類討論，情況較為復(fù)雜，換一個(gè)角度，從反面入手考慮。因每一種關(guān)燈的方法唯一對(duì)應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與暗燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為在6只亮燈中插入3只暗燈，且任何兩只暗燈不相鄰、且暗燈不在兩端，即從6只亮燈所形成的5個(gè)間隙中選3個(gè)插入3只暗燈，其方法有=10種。故滿足條件的關(guān)燈的方法共有10種。 例13甲、乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員按事先排好的順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，直到有一方隊(duì)員全被淘汰為

24、止，另一方獲勝，形成種比賽過程，那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程共有多少種? 解：設(shè)甲隊(duì)隊(duì)員為a1，a2,a7，乙隊(duì)隊(duì)員為b1，b2,，b7，下標(biāo)表示事先安排好的出場(chǎng)順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序，比賽過程可類比為這14個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列，最后是勝隊(duì)中獲勝隊(duì)員和可能未參賽的隊(duì)員。如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7。所表示為14個(gè)位置中取7個(gè)位置安排甲隊(duì)隊(duì)員，其余位置安排乙隊(duì)隊(duì)員，故比賽過程的總數(shù)為 =3432。 例14有2個(gè)a，3個(gè)b，4個(gè)c 共九個(gè)字母排成一排，有多少種排法? 分析：若將字母作為元素，19號(hào)位置作為位子，那么這是一個(gè)“不盡相異元素的全排列”問題，若轉(zhuǎn)

25、換角色，將19號(hào)位置作為元素，字母作為位子，那么問題便轉(zhuǎn)化成一個(gè)相異元素不許重復(fù)的組合問題。 即共有 =1260(種)不同的排法。 有些問題反面的情況為數(shù)不多，容易討論，則可用剔除法。 對(duì)有限制條件的問題，先以總體考慮，再把不符合條件的所有情況剔除。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題策略。 例15四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有( ) A150種B147種C14種D141種 分析：在這10個(gè)點(diǎn)中，不共面的不易尋找，而共面的容易找。因此，采用剔除法，由10個(gè)點(diǎn)中取出4個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)( 減去4個(gè)點(diǎn)共面的個(gè)數(shù)即為所求)。4點(diǎn)共面情形可分三類：第一類：四面體

26、每個(gè)面中的四個(gè)點(diǎn)共面，共有 4× =60種；第二類：四面體的每2組對(duì)棱的中點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則這四點(diǎn)共面，共有3種；第三類：四面體的一條棱上三點(diǎn)共線，這三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)共面，共有6種。故4點(diǎn)不共面的取法有-(4 +6+3)=141種。 例16從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種。 解：從這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)不同的偶數(shù)的取法有 種；取1個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)的取法有 種。另外，從這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為小于10的偶數(shù)，有9種不同取法。 因此，符合題設(shè)條件的不同取法有 + -9=51種。 五、解相鄰問題采用“捆綁”策略

27、 對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來看作一個(gè)元素與其他元素排列，然后再在相鄰元素之間排列。 事實(shí)上，這種方法就是將相鄰的某幾個(gè)元素，優(yōu)先考慮。讓這些特殊元素合成一個(gè)元素，與普通元素排列后，再松綁。 例17A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相鄰，且B在A右邊，那么不同排法有 （ ） A24種 B60種 C90種 D120種 分析：將特殊元素A，B按B在A的右邊“捆綁”看成一個(gè)大元素，與另外三個(gè)元素全排列 ，由A，B不能交換，故不再“松綁”，選A。 例185人成一排，要求甲、乙相鄰，有幾種排法? 解：將甲、乙“捆綁”成一個(gè)元素，加上其他3元素，共4元素，全排

28、列有 種，甲、乙內(nèi)部的排列有 種。故共有  =48種。 也可以這樣理解：先讓甲、丙、丁、戊，排成一列有 種，再將乙插入甲的左邊或右邊，有 種，共 =48種。 例19計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中一幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有多少種? ( ) A、 B、 C、 D、  分析：先把3種品種的畫各看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，又油畫與國畫有 種放法，再考慮油畫與國畫本身又可以全排列，故排列的方法為 ，故選D。 例205名學(xué)生和3名老師站成一排照相，3名老師必

29、須站在一起的不同排法共有_種。 簡析：將3名老師捆綁起來看作一個(gè)元素，與5名學(xué)生排列，有 種排法；而3名老師之間又有 種排法，故滿足條件的排法共有 =4320種。 用“捆綁”法解題比較簡單，實(shí)質(zhì)是通過“捆綁”減少了元素，它與下面要提到的“插孔”法結(jié)合起來，威力便更大了。 六、解不相鄰問題采用“插孔”策略 對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排列好，然后再將不相鄰的元素在這些排好的元素之間及兩端的空隙中插入。 例217人站成一行，如果甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)是 ( ) A1440種B3600種C4320種D4800種 簡析：先讓甲、乙之外的5人排成一行，有 種排法，再讓甲、乙

30、兩人在每兩人之間及兩端的六個(gè)間隙中插入，有 種方法。故共有 · =3600種排法，選B。 例22要排一個(gè)有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈不相鄰，問有多少種不同排法? 分析：先將6個(gè)歌唱節(jié)目排成一排有 種排法，6個(gè)歌唱節(jié)目排好后包括兩端共有7個(gè)“間隔”可以插入4個(gè)舞蹈節(jié)目有 種，故共 ·6！=604800種不同排法。 例23從1，2，3，2000這2000個(gè)自然數(shù)中，取出10個(gè)互不相鄰的自然數(shù)，有多少種方法? 解：將問題轉(zhuǎn)化成把10名女學(xué)生不相鄰地插入站成一列橫列的1990名男生之間(包括首尾兩側(cè))，有多少種方法?因?yàn)槿我庀噜?名男學(xué)生之間最多站1名女學(xué)

31、生，隊(duì)伍中的男學(xué)生首尾兩側(cè)最多也可各站1名女學(xué)生。于是，這就是1991個(gè)位置中任選10個(gè)位置的組合問題，故共有 種方法。 利用“插孔”法，也可以減少元素，從而簡化問題。 例24一排6張椅子上坐3人，每2人之間至少有一張空椅子，求共有多少種不同的坐法? 解：將問題轉(zhuǎn)化成把3個(gè)人坐5張椅子，然后插一把空椅子問題。 3個(gè)人若坐5張椅子，每2人之間一張空椅子。坐法是固定的有 種不同的坐法，然后，將余下的那張椅子插入3個(gè)坐位的4個(gè)空隙，有4種插法。所以共有4 =24種不同的坐法。 七、解定序問題采用除法策略 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾

32、個(gè)元素的全排列數(shù)，這其實(shí)就是局部有序問題，利用除法來“消序”。 例25由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)字的共有（ ） A210個(gè)B300個(gè)C. 464個(gè)D600個(gè) 簡析：若不考慮附加條件，組成的六位數(shù)共有 個(gè)，而其中個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的 種排法中只有一種符合條件，故符合條件的六位數(shù)共 =300個(gè)，故選B。 例26信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào)，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號(hào)的種數(shù)是 _(用數(shù)字作答)。 分析：5面旗全排列有 種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故共有不同的信號(hào)種數(shù)是 =

33、10(種)。 說明：此題也可以用組合來解，只需5個(gè)位置中確定3個(gè)，即 =10。 例27有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法? 分析：先在7個(gè)位置上任取4個(gè)位置排男生，有 種排法，剩余的3個(gè)位置排女生，因要求“從矮到高”，只有一種排法，故共有 =840種。 在處理分堆問題時(shí)，有時(shí)幾堆中元素個(gè)數(shù)相等，這時(shí)也要用除法， 例28不同的鋼筆12支，分3堆，一堆6支，另外兩堆各3支，有多少種分法? 解：若3堆有序號(hào)，則有 · ，但考慮有兩堆都是3支，無須區(qū)別，故共有 / =9240種。 例29把12支不同的鋼筆分給3人，一人得6支，二

34、人各得3，有幾種分法? 解：先分堆：有 / 種。再將這三堆分配給三人，有 種。共有 · / =3 種。本題亦可用“選位，選項(xiàng)法”，即：  =3 。 八、解分排問題采用直排處理的策略 把n個(gè)元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。 例30兩排座位，第一排3個(gè)座位，第二排5個(gè)座位，若8位學(xué)生坐(每人一個(gè)座位)。則不同的坐法種數(shù)是（ ）A、 B、 C、 D、  簡析：因8名學(xué)生可在前后兩排的8個(gè)座位中隨意入坐，再無其他條件，所以兩排座位可看作一排來處理，其不同的坐法種數(shù)是 ，故應(yīng)選D。 九、解“小團(tuán)體”排列問

35、題采用先整體后局部策略 對(duì)于“小團(tuán)體”排列問題，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。 例31三名男歌唱家和兩名女歌唱家聯(lián)合舉行一場(chǎng)音樂會(huì)，演出的出場(chǎng)順序要求兩名女歌唱家之間恰有一名男歌唱家，其出場(chǎng)方案共有 ( ) A36種B18種C12種D6種 簡析：按要求出場(chǎng)順序必須有一個(gè)小團(tuán)體“女男女”，因此先在三名男歌唱家中選一名(有 種選法)與兩名女歌唱家組成一個(gè)團(tuán)體，將這個(gè)小團(tuán)體視為一個(gè)元素，與其余2名男歌唱家排列有 種排法。最后小團(tuán)體內(nèi)2名女歌唱家排列有 種排法，所以共有   =36種出場(chǎng)方案，選A。 十、簡化計(jì)算繁瑣類問題采用遞歸策略

36、所謂遞歸策略，就是先建立所求題目結(jié)果的一個(gè)遞推關(guān)系式，再經(jīng)簡化題目條件得出初始值，進(jìn)而遞推得到所求答案。 例32有五位老師在同一年級(jí)的6個(gè)班級(jí)中，分教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)會(huì)考中，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，共有安排監(jiān)考的方法總數(shù)是多少？ 解：記n元安排即a1、a2、an個(gè)元素的排列，且滿足“ai不在第i位上的方法總數(shù)為an。 固定n-1個(gè)元素不動(dòng)的排法是1； 固定n-2個(gè)元素不動(dòng)的排法是 ；固定n-3個(gè)元素不動(dòng)的排法是 ； 固定1個(gè)元素不動(dòng)的排法是 ·an-1；an=n!-1- - - ·an-1(n3, nN) 容易計(jì)算得a2=1，由上式遞推可得：a3=2，a4=9，a5

37、=44。 因此，共有安排監(jiān)考的方案總數(shù)為44種。 十一、解較復(fù)雜的排列問題采用構(gòu)造型策略 對(duì)較復(fù)雜的排列問題，可通過構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的模型來處理。 例33 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班級(jí)至少1人，名額分配方案共有_種。   簡析：構(gòu)造一個(gè)隔板模型。如圖，取18枚棋子排成一列，在相鄰的每兩枚棋子形成的17個(gè)間隙中選取9個(gè)插入隔板，將18枚棋子分隔成10個(gè)區(qū)間，第i(1i10)個(gè)區(qū)間的棋子數(shù)對(duì)應(yīng)第i個(gè)班級(jí)學(xué)生的名額，因此名額分配方案的種數(shù)與隔板插入數(shù)相等。因隔板插入數(shù)為 ，故名額分配方案有 =24310種。 例34將組成籃球隊(duì)的12個(gè)

38、名額分給7所學(xué)校，每所學(xué)校至少1個(gè)名額，問名額分配方法有多少種? 解：將問題轉(zhuǎn)化成一把排成一行的12個(gè)0分成7份的方法數(shù)，這樣用6塊閘板插在11個(gè)間隔中，共有 =462種不同方法。所以名額分配總數(shù)是 種。 例356人帶10瓶汽水參加春游，每人至少帶1瓶汽水，有多少種不同的帶法? 解：將問題轉(zhuǎn)化成把10個(gè)相同的球放到6個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子里至少放1個(gè)球，有多少種不同的放法? 即把排成一行的10個(gè)0分成6份的方法數(shù)，這樣用5塊閘板插在9個(gè)間隔中，共有 =126種。 即原問題中有126種不同帶法。 例36對(duì)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)作兩兩連線。其中異面直線的有( )對(duì)。 A156B174C192D210

39、分析：由于每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)于3對(duì)異面直線，故可構(gòu)造三棱錐，問題即特化為正方體8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)，易得異面直線有( -6-6)×3=174(對(duì))，選B。 十二、建立排列組合與集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的策略 排列組合問題往往因其文字?jǐn)⑹龀橄蠖箤W(xué)生理解困難，在解決這類問題時(shí)，我們通常是根據(jù)加法或乘法原理將問題分類或分步逐一計(jì)算，然而由于問題的抽象性與復(fù)雜性，我們?cè)诜诸惢蚍植降倪^程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的現(xiàn)象。如果我們運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)的思想來分析和處理這類問題，則能有效地解決上述矛盾。 例37由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的 (1)1不在首位、5在末位的五位數(shù)? (2)2

40、，3都與4不相鄰的五位數(shù)? 解：(1)A=1 在首位的五位數(shù)，B=5 在末位的五位數(shù)，則原題即求 n( )。 已知n( )=n(B)-n(AB)，易知n(B)= ，n(AB)= , (即1在首位，5在末位的五位數(shù)的個(gè)數(shù))，n( )= - =18，因而滿足已知條件的五位數(shù)有18個(gè)。 (2)設(shè)A=2與4相鄰的五位數(shù)，B=3與4相鄰的五位數(shù)，則原題即求n( )。由摩根律、容斥原理及性質(zhì)2，有n( )=n( )=n(I-AB)=n(I)-n(AB)=n(I)-n(A)-n(B)+n(AB)= =36，即有36個(gè)滿足已知條件的數(shù)。 說明：其中n(I)表示由數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的

41、個(gè)數(shù)，即它們的全排列數(shù)，n(AB)表示2與4相鄰且3與4相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)，那么4一定排在2與3之間，且2，4，3相鄰，故有 種排法。 例38將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不同的填法有多少種? 解：設(shè)Ai(i=1,2,3,4)表示i填在標(biāo)號(hào)為i的方格內(nèi)，且其余格子都填滿的所有填法的集體，則原題即求n ，由摩根律及容斥原理，有 n =n( )=n(I)-n(A1A2A3A4) =n(I)- (AiAhAj)+n(A1A2A3A4) = 。即有9種填法。 說明：系數(shù) 代表從集合A1、A2、A3、A4中每次取出1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4

42、個(gè)組成交集的個(gè)數(shù)， 例39男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形下各有多少種選派方法? (1)隊(duì)長至少有1人參加；(2)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員。 解：(1)設(shè)A=選派5人有男隊(duì)長參加的，B=選派5人有女隊(duì)長參加的,則原題即求n(AB),而n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)，n(A)= =n(B), n(AB)= , 故n(AB)=2 - =196。 另解：設(shè)A=選派5人有1個(gè)隊(duì)長參加的，B=選派5人有2個(gè)隊(duì)長參加的，則原題即求n(AB), n(A)= , n(B)=, n(AB)=n()=0，因此n(AB)=n(A)+n(B)=+=196。 說

43、明：AB即選派5人既要有1個(gè)隊(duì)長參加又要有2個(gè)隊(duì)長參加這件事，這是不可能事件。 (2)設(shè)A=選派5人有隊(duì)長參加的，B=選派5人有女運(yùn)動(dòng)員參加的，則原題即求n(AB)， 又n(AB)=n(I)-n()=n(I)-n() =n(I)-n()-n()+n()=191。即有191種選派方法。 說明：即選派5人，既無隊(duì)長又無女運(yùn)動(dòng)員參加。 從以上3例我們可以看出，用集合與對(duì)應(yīng)思想分析處理排列組合問題，實(shí)質(zhì)上就是將同一問題中滿足不同限制條件的元素的排列或組合的全體與不同的集合之間建立相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而將各限制條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的運(yùn)算關(guān)系，通過計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)來計(jì)算排列或組合的個(gè)數(shù)，這有助于將帶有多個(gè)附加條件的排列或組合問題分解為只有1個(gè)或簡單幾個(gè)附加條件的排列或組合問題來處理，這可大大簡化復(fù)雜的分類過程，從而降低了問題的難度。 例40如果從數(shù)1，2，14中，按從小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時(shí)滿足a2-a13與a3-a23，那么所有符合上述要求的不同取法共有多少中? 解：設(shè)S=1，2，14，T=1，2，10； P=(a1,a2,a3)|a1,a2,a3S, a2-a13, a3-a23，Q=(b1,b2,b3)|b1,b2