山東省舜耕中學(xué)2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料第五編平面向量、解三角形5.1平面向量的概念及線性運算(教

1、137高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí) 教案 第五編 平面向量、解三角形總第 21 期 5.1平面向量的概念及線性運算匕基礎(chǔ)自測1. 下列等式正確的是_（填序號）.1a+O=aa+b=b+aAB+BA 工 0AC=DC+AB+BD答案 D- -C2. 如圖所示，在平行四邊行 ABCD 中，下列結(jié)論中正確的是A BAB=DCAD+AB=ACAB-AD=BDAD+CB=0答案3. （2008 廣東理，8）在平行四邊形 ABCD 中,AC 與 BD 交于點 0,E 是線段 0D 的中點,AE的延長線與 CD 交于點 F.若AC=a,BD=b,則AF=.答案2a+334. 若 ABCD 是正方形，E 是 DC

2、邊的中點，且AB=a,AD=b，則BE =.答案 b-la25. 設(shè)四邊形 ABCD 中，有 DC=1AB，且 IAD|=|BC|，則這個四邊形是.答案等腰梯形匕例題精講例 1 給出下列命題1向量AB的長度與向量BA的長度相等；2向量 a 與向量 b 平行，則 a 與 b 的方向相同或相反；3兩個有共同起點并且相等的向量，其終點必相同；4兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；5向量AB與向量CD是共線向量，則點 A、B、C D 必在同一條直線上；6有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為答案 4例 2 如圖所示，若四邊形 ABCD 是一個等腰梯形，AB/ DC,用心D M CAB

3、138愛心專心用心愛心專心139M N 分別是 DC AB 的中點，已知AB=a,AD=b,DC=c, 試用 a、b、C 表示BC,MN,DN+CN.解BC=BA+AD+DC=-a+b+C,VMN=MD+DA+AN,11 -1 1二MD=-DC,DA=-AD,AN=AB,AMN=_a-b- C.222 2DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2 b-C.例 3 設(shè)兩個非零向量 a 與 b 不共線，(1) 若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3( a- b)，求證：A、B、D 三點共線;(2) 試確定實數(shù) k,使 ka+b 和 a+kb 共線.(1)證明/AB=a+b,BC=2a+

4、8b,CD=3(a-b),ABD =BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. /.AB、BD共線，又它們有公共點 B,A A BD 三點共線. (2)解/ ka+b 與 a+kb 共線，二存在實數(shù) ，使 ka+b= . (a+kb),即 ka+b= . a+ . kb.-(k- ) a=( k-1) b. - a、b 是不共線的兩個非零向量，k- = . k-1=0 , k -1=0.Ak= 1.例 4 .如圖所示，在 ABO 中，OC=丄OA,OD=-OB,42AD與BC相交于點 M設(shè)OA=a,OB=b.試用a和b表示向量OlM. 解 設(shè)OM=ma

5、+nb，貝 VAM=OM- OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA=丄OB-OA=-a+-b.又TA、M D 三點共線，AM2 2共線.存在實數(shù) t,使得AM=tAD，即(m-1) a+nb=t(- a+丄 b).21 (m-1) a+nb=-t a+?tb.m=4t，消去 t 得：m-1=-2n.即 m+2n=1.n二.2- 1 1 1 1又.CM=OM-OC=m0+nb- a=(m- ) a+nb.CB=OB-OC=b-a=- a+b.4444又.C、M B 三點共線，CM與CB共線.1存在實數(shù) t1,使得CM=t1CB, (m-!)a+nb=t1( a b)44m44

6、1，消去 11得,4m+n=1 由得 m，n=空,+77n =t113- OM= a b.77與AD用心愛心專心140匕鞏固練習(xí)1.下列命題中真命題的個數(shù)為 .若|a|=| b|，貝 U a=b 或 a=-b;若AB=DC，貝 U A B、C、D 是一個平行四邊形的四個 頂點；若 a=b, b=c,貝 U a=c;若 a / b, b / c,貝 U a / c.答案 112.在厶 OAB 中，延長 BA 到 C,使 AC=BA 在 OB 上取點 D,使 DB=-1OB3DC 與 OA 交于 E,設(shè)OA=a ,OB=b，用 a, b 表示向量OC,DC.解因為 A 是 BC 的中點，112 =

7、25DC=OC-OD=OC-OB=2a- b- b=2a- b.3333. 若 a, b 是兩個不共線的非零向量 ，a 與 b 起點相同，則當(dāng) t 為何值時，a,t b, g(a+b) 三向量的終點在同一條直線上？解 設(shè)OA=a,OB=tb,0C=2(a+b),AAC=OC-OA=-2a+-b,AB=OB-OA=t b- a.333要使 A、B、C 三點共線，只需AC =.；, AB，即-2 a+1b= b- /.a33.2i=13.當(dāng) t=1時，三向量終點在同一直線上G24. 如圖所示， 在 ABC 中， 點 M 是 BC 的中點， 點 N 在 AC 上, 且 AN=2NCAM 與 BN 相

8、交于點 P,求 AP：PM 的值.解 萬法一一 設(shè) e1=BM, e2=CN,則AM=AC+CM=-3 e2- e1,BN=BC+CN=2e1+e2.因為 A、P、M 和 B、P、N 分別共線，所以存在實數(shù)、使AP AM=-3 - e2- - e1,BP=iBN=2=1+=2,ABA=BP-AP= ( :；.+2)e1+ (3 L+ ) e2,另夕卜BA=BC+CA=2e1+3e22 323AP=AM,BP=BN, AP：PM=4：1.55OAOB+OC), 即0C=2OA有r2 _=一扎3OB=2a- b用心愛心專心141方法二 設(shè)AP= .AM , AM=丄（AB+AC） =1AB+-AN

9、,224 Ap=- AB+ 3 .AN.VB、P、N 三點共線,AP=（1+t）AB-tAN J2丄 +3人=1 扎=4AP：PM=4：1.）2 4兒 5 兒5空回顧總結(jié)知識方法思想匕課后練習(xí)一、填空題1.下列算式中正確的是_（填序號）答案b, c 表示）答案ib+3c3.若AB=3e1,CD=-5e1，且 |AD|=|BC|，則四邊形 ABCD 是答案等腰梯形4.如圖所示，平面內(nèi)的兩條相交直線0P 和 0P 將該平面分割成四個部分I、n、川、w（不包括邊界）.若oP=aOPi+bOP2，且點 P 落在第川部分，則實數(shù) a, b 滿足 a 0,b 0.用“”，“v”或“=”填空）答案 v5.設(shè)

10、OB=xoA+y0C，且 A、B C 三點共線（該直線不過端點O）,則x+y=答案 16._已知平面內(nèi)有一點 P 及一個 ABC 若PA+PB+PC=AB，則點 P 在線段_ 上.答案 AC2.（2008 全國I理）在 ABC 中,AB=c,AC=b, 若點 D 滿足BD=2DC,貝U AD=_（用AP-AB=t（AB-AN）,AB+BC+CA=0AB-AC=BC 0 AB=0用心愛心專心1427.在厶 ABC 中，CA=a,CB=b,皿是 CB 的中點，N 是 AB 的中點，且CN AM 交于點 P,貝U AP可用 a、b 表示為_ .答案-ia+1b用心愛心專心1438.在厶 ABC 中，

11、已知 D 是 AB 邊上一點，若AD=2DB,CD=!CACB,則畫=3答案23二、解答題9.如圖所示， ABC 中,設(shè)AB=a,AC=b,DN,AM一, AN.DE / BC解一2 -=AD =AB3.AD=| AB, DE/ BC 交 AC 于E，AM是BC邊上中線，交DE于 N.a, b 分別表示向量AE,BC,DE,AE= AC= b.BC=AC-AB=b- a.3得DE=23BC=2(b- a).由 AM 是 ABC 的中線，DE/ BC 得3- 1 - 1 1 - 1 1DN=?DE=3(b- a).而且AM=AB+BM=a+2BC=a+2(b-a)(a+b).ADNsMBM、2

12、- 12= AN=AM=_ (a+b).AD AB33310.如圖所示，在厶 ABC 中，DF 分別是 BCAC 的中點，AE=2AD3AB=a，(1)(2)AC=b.用 a、b 表示向量AD、AE、AF、 求證：B E、F 三點共線.BE、BF；(1)解 延長AD到G,使AD=- AG,連接BG CG 得到以AG=a+b,AD丄AG212(a+b),ABGC,一1 1 AF=AC=一 b.BE=AE-AB22- 1BF=AF-AB=b a=( b-2a).22(2)證明-2由(1)可知BE =| BF11.已知：任意四邊形ABCD 中,證明方法一如圖，/ E、,所以 B E、F 三點共線.F

13、 分別是 AD BC 的中點,=丄(a+b)- a=-(b-2 a).33 21AE=AD=-(a+b).33E、F 分別是 AD BC 的中點，求證:4EF=- (AB+DC).2用心愛心專心144用心愛心專心145.EA+ED=0,FB+FC= 0,又IAB+BF+FE+EA=0, EF=AB+BF+EA同理EF=ED+DC+CF由+得，2EF=AB+DC+ (EA+ED) + (BF+CF) =AB+DC. /.EF=!(AB+DC).2方法二 連結(jié)EB,EC，貝U EC=ED+DC,EB=EA+AB,1I-11EF=1(EC+EB) =1(ED+DC+EA+AB)=1(AB+DC).22 212.已知點 GABC 的重心，過 G 作直線與 AB AC 兩邊分別交于 M N