柯西不等式的證明

1、柯西不等式的證明及應用（河西學院數學系01（2）班 甘肅張掖 734000）摘要：柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關問題，求函數最值，解方程等問題的應用方面給出幾個例子。關鍵詞：柯西不等式 證明 應用 中圖分類號： O178 Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）Abstract: Cauchy-inequ

2、ality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides se

3、veral examples.Keyword：inequation prove application柯西（Cauchy）不等式 等號當且僅當或時成立（k為常數，）現將它的證明介紹如下：證明1：構造二次函數 = 恒成立即當且僅當 即時等號成立證明（2）數學歸納法 （1）當時 左式= 右式=顯然 左式=右式當 時， 右式 右式 僅當即 即時等號成立故時 不等式成立 （2）假設時，不等式成立即 當 ，k為常數， 或時等號成立設 則 當 ，k為常數， 或時等號成立即 時不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這

4、個不等式結構和諧，應用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題：1） 證明相關命題例1 用柯西不等式推導點到直線的距離公式。 已知點及直線 設點p是直線上的任意一點， 則 （1） （2）點兩點間的距離就是點到直線的距離，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）當且僅當 （3）式取等號 即點到直線的距離公式即2） 證明不等式例2 已知正數滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因為 在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故3） 解三角形的相關問題例3 設是內的一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。4） 求最值例4已知實數滿足， 試求的最值

5、解：由柯西不等式得，有即由條件可得， 解得，當且僅當 時等號成立，代入時， 時 5）利用柯西不等式解方程例5在實數集內解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等號成立從而由柯西不等式中等號成立的條件，得它與聯(lián)立，可得 6）用柯西不等式解釋樣本線性相關系數在概率論與數理統(tǒng)計一書中，在線性回歸中，有樣本相關系數，并指出且越接近于1，相關程度越大，越接近于0，則相關程度越小?，F在可用柯西不等式解釋樣本線性相關系數?，F記，則，由柯西不等式有，當時，此時，為常數。點 均在直線上，當時，即而為常數。此時，此時，為常數點均在直線附近，所以越接近于1，相關程度越大當時，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數，使得點都在直線附近。所以，越接近于0，則相關程度越小。致謝：在本文的寫作過程中，得到了馬統(tǒng)一老師的精心指導，在此表示衷心的感謝。 參考文獻： 柯西不等式的微小改動 數學通報 2002 第三期 柯西不等式與排序不等式 南山 湖南教育出版社 普通高中解析幾何 高等教育出版社1990-年全國統(tǒng)一考試 數學試卷李永新 李德祿 中學數學教