流體力學NS方程推導過程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上流體力學NS方程簡易推導過程小菜鳥0 引言流體力學的NS方程對于整個流體力學以及空氣動力學等領(lǐng)域的作用非常顯著，不過其公式繁瑣，推導思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導，記錄一下整個推導過程，供自己學習，也可以供大家交流和學習。1 基本假設(shè)空氣是由大量分子組成，分子做著無規(guī)則熱運動，我們可以想象，隨著觀察尺度的逐漸降低，微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況相同，其物理量存在間斷的現(xiàn)象，例如我們在空間中取出一塊控制體，當控制體中存在分子時，該控制體的密度等量較大，不存在時就會為0，這在微觀尺度下是常見。不過隨著觀察尺度增加，在宏觀情況下，控

2、制體積內(nèi)包含大量分子，控制體積的壓力密度溫度速度等物理量存在統(tǒng)計平均結(jié)果，這個結(jié)果是穩(wěn)定的，例如流場變量的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態(tài)方程。自然界中宏觀情況的流體運動畢竟占據(jù)大多數(shù)，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運動，采用稍微專業(yè)一點難度術(shù)語是流體滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的意思就是說，我們在流場中隨意取出流體微團，這個流體微團在宏觀上是無窮小的，因此整個流場的物理量可以進行數(shù)學上的極限微分積分等運算；同時，這個流體微團在微觀上是無窮大的，微團中包含了大量分子，以至于可以進行分子層面的統(tǒng)計平均，獲得我們通常見到的流場變量。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立需要滿足：所研究流體問題的最小空間尺度遠遠大于

3、分子平均運動自由程（標準狀況下空氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級，具體值可以參考分子運動理論），這在大多數(shù)宏觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛采用的基礎(chǔ)，即使在湍流中，也是成立的，因此才保證NS方程也適用于描述湍流。有些情況下連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風速儀的金屬絲，直徑通常在15微米量級，最小流體微團已經(jīng)接近分子平均運動自由程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不能直接使用，類似情況還包括激波，激波面受到壓縮，其尺度也較小，為幾個分子平均自由程量級，不過采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)進行激波內(nèi)流場計算時，計算結(jié)果仍然可以得到比較合理，并且與實際情況相符，這也給激波問題的研究和

4、解決帶來了基礎(chǔ)性的保證；第二種是分子平均運動自由程特別大，分子平均運動自由程是指兩個分子之間碰撞距離的平均值，這個結(jié)果與分子有效直徑，分子運動速度等相關(guān)，宏觀上來講，溫度越高、壓力越大，分子平均運動自由程越大，而在高空情況下，壓力非常低，自由程可能很大，并且大到與飛行器尺度相近，于是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效，此時必須考慮稀薄氣體效應。在層流邊界層情況下，分子平均運動自由程與邊界層之間存在近似關(guān)系：從這個關(guān)系中，可以發(fā)現(xiàn)，當馬赫數(shù)非常大但是同時雷諾數(shù)非常小的時候，流場微小尺度才可能達到分子平均運動自由程lmd的程度?？梢韵胂笠幌?，在大多數(shù)我們能觀察到的情況下，上述公式的結(jié)果都是非常小的，滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)

5、，這個公式不成立的情況在大氣層外邊緣，此時大氣分子之間平均動量交換降低，導致粘性變得非常小，雷諾數(shù)很高，因此公式計算結(jié)果急劇降低，導致連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效。前面討論了連續(xù)介質(zhì)建設(shè)成立的條件以及不成立的例子，下面討論的都是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)范圍內(nèi)的結(jié)果。2 連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律的流體表達根據(jù)質(zhì)量守恒定律，我們知道，在流場取的控制體滿足如下物理規(guī)律：控制體的總質(zhì)量不隨著運動而變化的，在運動過程中控制體始終由相同流體微團組成，因此利用流場物理量將物理規(guī)律用數(shù)學公式表達可得：根據(jù)引論1中的內(nèi)容，上式左邊隨體導數(shù)可以采用兩種形式的偏導數(shù)表示：（1）微元體表達形式：根據(jù)引論1中微元體的隨體導數(shù)關(guān)系可以得到： 或

6、者 （2）張量表達形式：3 動量方程：牛頓第二定律的流體表達根據(jù)牛頓第二定律，流場中取出控制體滿足如下規(guī)律：某一時刻，控制體中所有流體微團的總動量隨時間的變化率=控制體中所有流體微團受到的合力?？刂企w受力主要包括表面力和體積力，表面力作用于物體表面，例如壓力等應力，表面力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓力，切向力通常為粘性力（當然這不是絕對，因為法向力還包括流場可壓縮性引起的法向應力）；體積力作用于流場中每一個流體微團，例如重力，電磁力等。因此，牛頓第二定律可以表達為：控制體總動量隨時間變化率=控制體表面力合力+控制體體積力合力（為了推導方便，下面將體積力忽略，在重力等法向力影響較大時

7、，將該項加入即可）。利用流場變量可以將上述定律表達為數(shù)學公式：其中根據(jù)引論1和引論2，可知方程左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式，（1）微元體表達形式：根據(jù)引論2，上式左邊具有這兩種偏導數(shù)表達形式（一種根據(jù)定義，一種引入質(zhì)量守恒關(guān)系）：（2）張量表達形式：根據(jù)引論2，上式左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式（一種定義，一種引入質(zhì)量守恒）：（3）補充說明1：粘性應力表達式上述公式中，我們將表面力表達為表面壓力+粘性力的形式，其中表面壓力為法向力，粘性力由流體粘性引起，包括法向力和切向力，根據(jù)各項同性假設(shè)，粘性應力張量可以表達為：其中，miu稱為動力粘性系數(shù)。根據(jù)Stokes假設(shè)，在通常情況下，體積粘性系數(shù)，于是上

8、述粘性應力表達為：（4）補充說明2：粘性應力的空間導數(shù)在動量方程中，粘性應力的空間導數(shù)可以表達為：如果流場為不可壓縮s=0并且粘性系數(shù)不隨空間改變，即溫度不變，可以簡化為：（5）補充說明3：動力粘性系數(shù)表達式：該公式中動力粘性系數(shù)是流體的基本變量，該系數(shù)表征流體分子之間動量交換的快慢程度，與流場的溫度相關(guān)，與壓力等其他變量關(guān)系較小，在溫度為100到1900K范圍，可以采用Sutherland公式進行表達：其中，Tref=110.3，T0和miu0則可以采用任何溫度的結(jié)果，例如在常溫288K情況下，動力粘性系數(shù)為1.7894X10-5。4 能量方程：能量守恒定律的流體表達根據(jù)能量守恒定律，流場中

9、取出控制體滿足如下物理規(guī)律：控制體的總能量增加=控制體受到外力做功+外界向控制體熱傳導采用流場變量可以將該物理定律表達為數(shù)學形式(e=CvT表示流場內(nèi)能，內(nèi)能可以采用定容比熱乘以溫度得到)：其中，根據(jù)引論1和2可知，方程左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式：（3） 微元體表達形式：根據(jù)引論1和2可知上式具有兩種偏導數(shù)表達形式：（2）張量表達形式A: 總能公式E=e+ v2/2根據(jù)引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式：B: 內(nèi)能公式e=E- v2/2將總能關(guān)系式代入上述公式可得：因此可得內(nèi)能關(guān)系式為：根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式，略。C：焓公式h=e+p/rou將內(nèi)能關(guān)系式代

10、入上式可得：根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式，略。D：總焓公式h0=h+v2/2=E+p/rou注意上式中采用了引論2中的內(nèi)容，將焓關(guān)系式代入上式可得：于是可得總焓關(guān)系式為：根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式，略。E：熵公式Tds=dh-dp/rou根據(jù)熵公式，可得熵的隨體導數(shù)為：根據(jù)引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導數(shù)表達形式，略。根據(jù)熵公式，可以知道，熵的增加主要來自兩個部分，一是粘性力引起，二是熱傳導引起，如果流場中粘性應力和熱傳導都可以忽略，則流場滿足等熵關(guān)系。（3）補充說明：粘性力耗散幾個公式中都存在粘性力的做功項，稱之為耗散項fai，該項具體表達式可

11、以表示為：其中：5 附件：隨體導數(shù)的偏導數(shù)表達（控制體/微元體？包含密度？）引論1：控制體和微元體的隨體導數(shù)表達式利用隨體導數(shù)物理定義和數(shù)學上導數(shù)定義（求極限方法）容易得到第一個公式，利用控制體積分量的隨體導數(shù)物理定義，也容易得到第二個公式，在流體力學教材中也很容易找到這兩種隨體導數(shù)的定義。為什么這么做，寫出這樣一個公式？因為隨體導數(shù)是拉格朗日觀點，隨體導數(shù)非常符合物理思維，利用隨體導數(shù)很容易表達物理規(guī)律，例如牛頓第二定律F=ma，因此推導公式過程中經(jīng)常采用隨體導數(shù)。不過流場中物理量通常采用隨時間和空間變化的四維函數(shù)，直接利用該函數(shù)無法得到隨體導數(shù)，只能得到一些偏導數(shù)，需要根據(jù)隨體導數(shù)的物理定義將隨體導數(shù)表達成合成偏導數(shù)形式。引論2：包含密度的控制體和微元體隨體導數(shù)在后續(xù)方程推導中經(jīng)常出現(xiàn)包含密度的隨體導數(shù)情況，將包含密度的隨體導數(shù)利用連續(xù)性方程進行化簡，可以極大簡化推導難度。包含密度的隨體導數(shù)利用了引論1+連續(xù)性方程，也就是隨體導數(shù)定義和連續(xù)性方程兩個規(guī)律，具體推導如下：整理一下這兩個關(guān)系式可以