平面向量的線性運(yùn)算教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上海伊教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：九年級(jí) 課時(shí)數(shù)：學(xué)員姓名：張鴻敬 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：高老師課 題平面向量的線性運(yùn)算授課時(shí)間： 2013 年10月18日備課時(shí)間： 2013 年10月16日教學(xué)目標(biāo)1.通過經(jīng)歷向量加法的探究，掌握向量加法概念，結(jié)合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意義。能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量的和向量。 2.在應(yīng)用活動(dòng)中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義。掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和，比如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等。3.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)事物之間的相互轉(zhuǎn)化，培

2、養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用。培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力。4.通過探究活動(dòng)，掌握向量減法概念，理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量。5.學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題。能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量。6.通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過程，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律。重點(diǎn)、難點(diǎn)1.向量加法的運(yùn)算及其幾何意義。2.對(duì)向量加法法則定義的理解。3.向量的減法運(yùn)算及其幾何意義。4.對(duì)向量減法定義的理解。5.實(shí)數(shù)與向量積的意義。6.實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律。7.兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用。

3、8.對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用。授課方法聯(lián)想質(zhì)疑交流研討歸納總結(jié)實(shí)踐提高教學(xué)過程一、 情景設(shè)置（知識(shí)導(dǎo)入）二、 探索研究 【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與歸納】一、求若干個(gè)向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進(jìn)行：(1)尋找或構(gòu)造平行四邊形，找出所求向量的關(guān)系式；(2)用已知長(zhǎng)度的向量表示待求向量的模，有時(shí)還要利用模的重要性質(zhì)。二、1. 向量的加法定義向量加法的定義：如圖3，已知非零向量A.b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=a，=b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=+=。求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。2. 向量加法的法則：（1）向量加法的三角形法則在定義中所給出的求象量和的方法就是向量加法

4、的三角形法則。運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。（2）平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則如圖4，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量A.b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和。我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。3. 向量a，b的加法也滿足交換律和結(jié)合律：對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定a+0=0+a=a。兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn);在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加，它們的和仍是一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸

5、上的一條有向線段。當(dāng)a，b不共線時(shí)，|a+b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊)；當(dāng)a，b共線且方向相同時(shí)，|a+b|=|a|+|b|；當(dāng)a，b共線且方向相反時(shí)，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|a|-|b|；當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我們有|a+b|a|+|b|。如圖5，作=a，=b，以AB.AD為鄰邊作ABCD，則=b，=a。因?yàn)?+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a。如圖6，因?yàn)?+=(+)+=(a+b)+c，=+=+(+)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a

6、+(b+c)。綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。 特殊與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合，分類討論，特別是通過知識(shí)遷移類比獲得新知識(shí)的過程與方法。三、用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算，最后回扣物理問題，解決問題。四、向量也有減法運(yùn)算。由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a和-a互為相反向量。于是-(-a)=a。我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果A.b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。1. 平行四邊形法則圖1如圖1，設(shè)向量=b，=a，則=-b，由向量減法的定義，

7、知=a+(-b)=a-b。又b+=a，所以=a-b。由此，我們得到a-b的作圖方法。圖22. 三角形法則如圖2，已知A.b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，則=a-b，即a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義。（1）定義向量減法運(yùn)算之前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量。與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似，我們規(guī)定，與a長(zhǎng)度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，記作-a。（2）向量減法的定義。我們定義a-b=a+(-b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形

8、結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。五、我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|a|=|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同;當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反。由(1)可知，=0時(shí)，a=0。根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律。實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.特別地，我們有(-)a=-(a)=(-a)，(a-b)=a-b。向量共線的等價(jià)條件是：如果a(a0)與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a。共線向量可能有以下幾種情況：(1)有一個(gè)為零向量；(2)兩

9、個(gè)都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量，向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大小由|·|a|確定。它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小。向量的平行與直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)；而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況，又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情形。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。對(duì)于任意向量A.b，以及任意實(shí)數(shù)、1、2，恒有(1a±2b)=1a±2b三、 課堂練習(xí)例1 化簡(jiǎn)：(1)+(2)+(3)+解：(1)+=+

10、=(2)+=+=(+)+=+=0(3)+FA=+=+=+=+=0解析：要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來求和向量。例2 若=a+b，=a-b當(dāng)A.b滿足什么條件時(shí)，a+b與a-b垂直？當(dāng)A.b滿足什么條件時(shí)，|a+b|=|a-b|？當(dāng)A.b滿足什么條件時(shí)，a+b平分a與b所夾的角 ？a+b與a-b可能是相等向量嗎？解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量、恰為平行四邊形的對(duì)角線。由平行四邊形法則，得=a+b，=-=a-b。由此問題就可轉(zhuǎn)換為：當(dāng)邊AB.AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線互相垂直？(|a|=|b|)當(dāng)邊AB.AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線相等？(A.b互相垂直)當(dāng)邊AB.AD滿足什

11、么條件時(shí)，對(duì)角線平分內(nèi)角？(A.b相等)a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因?yàn)閷?duì)角線方向不同)解析：靈活的構(gòu)想，獨(dú)特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)。由此我們可以想到在解決向量問題時(shí)，可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。四、 課后作業(yè)1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，=a，=c，=b，則|a+b+c|為( )。A.0B.3C.D.22.設(shè)a=(+)+(+)，b是任一非零向量，則下列結(jié)論中正確的為( )。ab；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|。A.B.C.D.3.下列等式中，正確的個(gè)數(shù)是( )。a+b=b+a a-b=b 0-a

12、=-a -(-a)=a a+(-a)=0A.5B.4C.3D.24.如圖7，D.E、F分別是ABC的邊、的中點(diǎn)，則-等于( )。A.B.C.D.5.下列式子中不能化簡(jiǎn)為的是( )。A.(+)+B.(+)+(+)C.D.-+6.已知A.B.C三點(diǎn)不共線，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若+=0，則O是ABC的( )。A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心7.(2a+8b)-(4a-2b)等于( )。A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b8.設(shè)兩非零向量e1、e2不共線，且ke1+e2與e1+ke2共線，則k的值為( )。A.1B.-1C.±1D.09.若向量方2x-3(x-2a)=0，則向量x等于(

13、 )。A.aB.-6aC.6aD.a10.設(shè)向量a，b都不是零向量：(1)若向量a與b同向，則a+b與a的方向_，且|a+b|_|a|+|b|；(2)若向量a與b反向，且|a|b|，則a+b與a的方向_，且|a+b|_|a|-|b|。11.如圖17所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，設(shè)=a，=b，=c，則=_。(用A.B.c表示)12.在ABC=，EFBC，EF交AC于F，設(shè)=a，=b，則用A.b表示的形式是=_。13.在ABC，M、N、P分別是AB.BC.CA邊上的靠近A.B.C的三等分點(diǎn)，O是ABC平面上的任意一點(diǎn)，若+=e1-e2，則=_。14.某人在靜水中游泳，速度為4 km/h

14、，如果他徑直游向?qū)Π?，水流速度? km/h，則他實(shí)際以多大的速度沿何方向游?15.在中心為O的正八邊形A1A2A8中，a0=，ai=(i=1，2，7)，bj=j(j=1，2，8)，試化簡(jiǎn)a2+a5+b2+b5+b716.已知ABC為直角三角形，A=90°，ADBC于D，求證：|2=|+|2+|+|217.已知兩向量a和b，求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a的方向與b的方向垂直。18.已知ABC的重心為G，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=a，=b，=c，求證：=(a+b+c)19.對(duì)判斷向量a=-2e與b=2e是否共線?有如下解法：解：a=-2e，b=-2e，b=-a。a與b共線。請(qǐng)根據(jù)本節(jié)

15、所學(xué)的共線知識(shí)給以評(píng)析 如果解法有誤，請(qǐng)給出正確解法。答案：1.D 2.C 3.C 4.D 5.C6.A 7.B 8.C 9.C10.(1)相同 = (2)相同 = 11.a+b+c12.-a+b13. e1-e214.如圖18所示，設(shè)此人在靜水中的游泳速度為，水流速度為，則=+為此人的實(shí)際速度，易求得|=8 km/h，COA=60°。答：此人沿與河岸的夾角為60°順著水流的方向前進(jìn)，速度大小為8 km/h。15.如圖19所示，+=0，a2+a5+b2+b5+b7=+2+5+7=(2+)+(5+)+7=6=b6。 16.如圖20所示，以DB.DA為鄰邊作ADBE，于是+=。

16、|=|，|+|=|。同理可得|+|=|。在RtABC中，由勾股定理，得|2=|+|2+|+|2。17.證明：(1)充分性：設(shè)=a，=b，使，以O(shè)A.OB為鄰邊作矩形OBCA，則|a+b|=|，|a-b|=|。四邊形OBCA為矩形，|=|，故|a+b|=|a-b|。(2)必要性：設(shè)=a，=b，以O(shè)A.OB為鄰邊作平行四邊形，則|a+b|=|，|a-b|=|。|a+b|=|a-b|，|=|。OBCA為矩形。a的方向與b的方向垂直。18.連接AG并延長(zhǎng)，設(shè)AG交于M。=b-a，=c-a，=c-b=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a)=(c+b-2a)=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c)19.評(píng)析：乍看上述解答，真是簡(jiǎn)單明快。然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存在問題，這是因?yàn)椋}已知中，對(duì)向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e=0，而當(dāng)e=0時(shí)，顯