人教版高中不等式復習講義(含答案,超經典!)

1、（一）不等式與不等關系1、應用不等式（組）表示不等關系;不等式的主要性質:對稱性：a b（3）加法法則:（4）乘法法則:b,c0, c開方法則:不等式的基本知識ac（2）傳遞性：ab,bbc ；0 aca b,ab 0bn(n N* 且 n 1)b 0 na nb(n2-應用不等式的性質比較兩個實數的大?。鹤鞑罘?、應用不等式性質證明不等式（二）解不等式1、元二次不等式的解法元二次不等式 ax2 bx c 0或ax2設相應的一元二次方程 ax2 bx c 0 ab, cbda b, cd（同向可加）acbc（同向同正可乘* 且 n 1)(6)（作差一一變形一一判斷符號bx c 0 a 0的解集

2、:乘方法則結論）0的兩根為xx2且x1x2,b2 4ac,則不等式的解的各種情況如下表:,兀一次方程ax2 bx c 0a 0的根后兩相異實根Xi,X2（Xi x2）后兩相等實根bXi X22a無實根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx x1 或 x x2b xx2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集xx1 x x2分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正,最后用標根法求解。解分式不等式時,2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母f (x)g(x) 0g(x) 0般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。f(x)f(x)0 f (

3、x)g(x) 0;0g(x)g(x)3、不等式的恒成立問題：常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上fx minA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間DfxmaxB（三）線性規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式 Ax+By+C 0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線 Ax+By+C=0同一側的所有點（x,y）,把它的坐標（x, y）代入Ax+By+C,所得到實數的符號都相同，所以 只需在

4、此直線的某一側取一特殊點（ x0,y。），從Ax+By0+C的正負 即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側的平面區(qū)域 .（特殊地，當 Cw0時，常把 原點作為此特 殊點）3、線性規(guī)劃的有關概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件.線性目標函數：關于x、y的一次式z=ax+by是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數.線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解.由所有可行

5、解組成的集合叫做可行域.使目標函數取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.4、求線性目標函數在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：（1）尋找線性約束條件，列出線性目標函數；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）依據線性目標函數作參照直線ax+by=0,在可行域內平移參照直線求目標函數的最優(yōu)解（四）基本不等式ab ab21,若a,bCR,則a2+b2R2ab,當且僅當a=b時取等號.a b2 .如果a,b是正數，那么 dab（當且僅當a b時取”號）.2a b變形： 有:a+b2、-ab； ab04針-4x + 106 .解不等式(x 1)(x 2)2 0o7 .解不等式-51

6、x2 2x 328 .不等式 ax bx 12 0 的解集為x|-1vxv2,貝U a=, b=9 .關于x的不等式ax b 0的解集為(1,),則關于x的不等式axb 0的解x 2集為10 .解關于x的不等式ax2 (a 1)x 1 0題型四：恒成立問題11 .關于x的不等式a x2+ a x+10 恒成立，則a的取值范圍是 12 .若不等式x2 2mx 2m 1 0對0 x 1的所有實數x都成立，求m的取值范113.已知x 0, y 0且一 x圍.-1,求使不等式x y m恒成立的實數 m的取值范圍。 y（三）基本不等式. ab b 2題型五：求最值14 .（直接用）求下列函數的值域（1）

7、 y=3x 2+會（2） y=x+1nxx15 .（配湊項與系數）一， 5（1）已知x - ,求函數y 4x 2 的取大值。44x 5(2)當時，求y x（8 2x）的最大值。16.（耐克函數型）求 yx2 7x 10（x1）的值域。注意：在應用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數f (x) x 的x單調性。17.（用耐克函數單調性）求函數 yx2 418.（條件不等式）(1) 若實數滿足a b 2,則3a 3b的最小值是 .19(2) 已知x 0, y 0 ,且1 ,求x y的最小值。x y(3) 已知x, y為正實數，且x 2+y2- =1,求x/l + y 2的最大值.1

8、(4) 已知a, b為正實數，2b+ab+a=30,求函數y = 的最小值. ab題型六：利用基本不等式證明不等式ca19 .已知a,b, c為兩兩不相等的實數，求證： a2 b2 c2 ab bc20 .正數 a, b, c滿足 a+b+c=1,求證：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc1.1.1._21.已知 a、b、c R,且 a b c 1。求證： 一1 1 一 18a b c題型七：均值定理實際應用問題:22.某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元，池底建造單價為每平方

9、米80元，池壁的厚度忽略不計，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。（四）線性規(guī)劃題型八：目標函數求最值23.滿足不等式組2xy307xy80,求目標函數kx,y 03x y的最大值已知實系數一元二次方程x2 （1 a）x a b 1 0的兩個實根為 x1、x2 ,并且24.b0 x12, x22 .則的取值范圍是a 1x 03x 4y 42225.已知*滿足約束條件：y 0，則xy 2x的最小值是26.已知變量x, y滿足約束條件x 2y 3 0x 3y 3 0.若目標函數 z ax y （其中a0）僅 y 1 0在點(3, 0)處取得最大值，則 a的取值范圍為 。y 1,27

10、 .已知實數x, y滿足 y 2x 1,如果目標函數z x y的最小值為 1,則實數m等于 x y m.()題型九：實際問題28 .某餅店制作的豆沙月餅每個成本35元，售價50元；鳳梨月餅每個成本 20元，售價30元。現在要將這兩種月餅裝成一盒，個數不超過10個，售價不超過 350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？復習一一不等式的基本知識參考答案高中數學必修內容練習一不等式1. ；2. p q;443.當 0 x 1或 x 時，1+10gx 3 210gx 2 ；當 1 x 時，1+10gx 3 qp。5.6. x | x 1或 x 2；7. ( 1,1)U(2

11、,3)；28. 不等式 ax bx 120 的解集為x|-1 x 2,則 a =-6, b=_69. (, 1) (2,).10. 解：當a = 0時，不等式的解集為xx 1 ;2分11當21俄寸，a(x- -)(x- 1)0；當a0aa1不等式的解集為xx 1或x 1 ； 6分11當0a1時，11時，1,不等式的解集為x - x 1 ; 10分aa當a=1時,不等式的解為 612分11. 0 x0 時，y=x+11 2lx-1 =2;當x0時,1x = 2y=x+i=(x-) 2.3a 3b當3a3b時等號成立，由a b2及3a3b 得 a b1即當a1 時，3a3b的最小值是6.(2)解:

12、Qx10,y 0,- x91, y當且僅當9x , 一時，上式等號成立，又y(3)x41 + y2 =x1 + y 22下面將x,解:十 分別看成兩個因式:2 y 21x 2+上+22(4)的件30-2b解：法一：a=b+ 1由 a0 得，0V b 15 ab 18法二：由已知得:19.20.21.證明:2x4,y9x一 10 y10 1612時，x ymin1630-2b ab=.b+ 1-2t 2+ 34t311 t1671. . y）/當且僅當t=4,即b = 3, a=6時，等號成乂。 1830-ab=a + 2b / a + 2b2/2 ab30-ab22 ab貝U u2 + 2，2 u-300,-5/2 u3J2/ab03卡，ab 18, :丫)已知正數已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2 b2 c2ab bccaa,a、Q a、b,b、b、c滿足 a+ b + c= 1,求證：(1 a)(1 b)(1 c)8abcc R ,且a b c 1 o求證:1c R , a b c 1 o - 1 a2-ab。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘, c2 bc .o同理一22.解8。當且僅當a若設污水池長為 x 米（米）水池外圈周壁長:，1