初中數(shù)學(xué)分類討論問題專題

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一一分類討論問題朱江敏使學(xué)生養(yǎng)成分類討論思想，并掌握一定的分類技巧，以及常見題型的分類方法。形成一定的分類體系，對待問題能有更嚴(yán)謹(jǐn)、縝密的思維。對常見題型分類方法的掌握；能夠靈活運用一般的分類技巧。對于分類的“界點”、“標(biāo)準(zhǔn)”把握不準(zhǔn)確，容易出現(xiàn)重復(fù)解、漏解等現(xiàn)象。1:分式方程無解的分類討論問題例題1: (2011武漢)3一十? =無解,求a=x -3 x2 -9 x 3解：去分母，得：3(x 3) ax =4(x -3)=(a-1) x = -21由已知-2！ 二 一3或-祖 =3或2-1 =0 a-1a-1a = 8, a = -6或者 a = 1猜想：把“無解”改為“有增

2、根”如何解？a =8或a =-6例題2: (2011郴州) 一2a-=2無解，求a= x 1 x -12: “一元二次”方程系數(shù)的分類討論問題例題3: (2010上海)已知方程 m2x2+(2m+1)x+1 =0有實數(shù)根，求 m的取值范圍。(1) 當(dāng)m2 =0時，即m=0時，方程為一元一次方程 x+1=0,有實數(shù)根x= -1(2)當(dāng)m2/0時，方程為一元二次方程，根據(jù)有實數(shù)根的條件得：991 一 0 =(2m+1) -4m = 4m+1 20，即m 之-一，且 m =041綜（1） （2）得，m >-4常見病癥：（很多同學(xué)會從（2）直接開始而且會忽略m2 =0的條件）總結(jié)：字母系數(shù)的取值

3、范圍是否要討論，要看清題目的條件。一般設(shè)置問題的方式有兩種（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“兩實數(shù)根”。這都是表明是二次方程， 不需要討論，但切不可忽視二次項系數(shù)不為零的要求，本題是根據(jù)二次項系數(shù)是否為零進(jìn)行 討論的。例題4: （2011益陽）當(dāng) m是什么整數(shù)時，關(guān)于 x的一元二次方程mx2 -4x+4=0與 x2 -4mx+4m2 -4m -5 = 0 的根者B是整數(shù)。2解：因為是一兀二次萬程，所以二次項系數(shù)不為0,即m =0, m=0,4之0,解得m <1.一一55一同理， & ±0,解得m之.二Mm M1且m=0,又因為m為整數(shù),mW 1或1.44（

4、1）當(dāng)m= 1時，第一個方程的根為 x = 2±2UE不是整數(shù)，所以 m=1舍去。（2）當(dāng)m=1時，方程1、2的根均為整數(shù)，所以 m=1.；m -1 00>0練習(xí)：已知關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2 + x + 1 = 0有實數(shù)根，則m的取值范圍是:. 5口 /nm'一且m 0143：三角形、圓等幾何圖形相關(guān)量求解的分類討論問題例題:5: （2011青海）方程x2-9x+18 = 0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（）A 12B 12或15 C 15D不能確定例題6: （2011武漢）三角形一邊長 AB為13cm,另一邊AC為15cm, BC 上的

5、高為12cm,求此三角形白面積。（54或84）析：，沒有給圖形的計算題得多留意多解；圖形的可能性例題7: （2011湘西）若兩圓相切，圓心距是7,其中一圓的半徑為4,則另 一圓的半徑為：3或11.例題8: （2011四校聯(lián)考）一條繩子對折 后成右圖A、B, A.B上一點C,且有 BC=2AC,將其從C點剪斷，得到的線段中最長的一段為 40cm,請問這條繩子的長 度為：60cm 或 120cm.分析：1、折點A、B都有可能；ACB給了圖形的指代不明導(dǎo)致多解 4:動點問題的分類分類討論問題4.1: 常見平面問題中動點問題的分類討論;分段函數(shù)引起思考不同時段不同的關(guān)系例題9: （2011永州）正方形

6、ABCD的邊長為10cm, 一動點P從點A出發(fā)， 以2cm/秒的速度沿正方形的邊逆時針勻速運動。如圖，回到 A點停止，求點P 運動t秒時，P, D兩點間的距離。D p4cP4中* 1 ,llA.p/.H B解：點P從A點出發(fā)，分別走到B, C, D, A所 10230£用時間是 了秒， 亍秒，亍秒， 亍秒，即5秒， 10秒，15秒，20秒。. （1）當(dāng) 0&t<5 時，點 P在線段 AB 上，|PD|=|RD|二 r；Tcm）（2）當(dāng) 50t<10 時，點 P 在線段 BC 上，|PD|=|F2D|二 1加-2。'+10' 二2出-20Z125(3

7、)當(dāng) 10<t<15 時，點 P在線段 CD 上，|PD|=|RD|=30-2t(4)當(dāng) 15<t020 時，點 P在線段 DA 上,|PD|=|F4D|=2t-302 Jt3 25 (cm)2jt2 -20t + 12J (cm)qo - 2iJ(cin)綜上得：|PD|二(2t - 30)(cm)L -(0 < t <5)(5< t<10) (10 11< 15) (15 < t< 20)總結(jié)：本題從運動的觀點，考查了動點 P與定點D之間的距離，應(yīng)根據(jù)P點 的不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形，將線段 PD放在直角三角形中求解或直接觀

8、察圖形求解。4.2: 組合圖形（一次函數(shù)、二次函數(shù)與平面圖形等組合）中動點問題的分類。例題10: （2010福建）已知一次函數(shù)y = -x+3V3與x軸、y軸的交點分別為A、B,試在x軸上找一點P,使4PAB為等腰三角形。3分析：本題中 PAB由于P點位置不確定而沒有確定，而且等腰三角形中哪兩條是腰也沒有確定。4PAB是等腰三角形有幾種可能？我們可以按腰的可能情 況加以分類：（1） PA=PB; （2） PA=AB; （3） PB=AB。先可以求出B點坐標(biāo) （°，3'3） , A點坐標(biāo)（9, 0）。設(shè)P點坐標(biāo)為（x,0）,利用兩點間距離公式可對種分類情況分別列出方程，求出P點

9、坐標(biāo)有四解，分別為（-9,0）、（3,0）、（9 +6石,0）、（9 -6 J3,0）。（不適合條件的解已舍去）總結(jié)：解答本題極易漏解。解答此類問題要分析清楚符合條件的圖形的各種 可能位置，緊扣條件，分類畫出各種符合條件的圖形。另外，由點的運動變化也 會引起分類討論。由于運動引起的符合條件的點有不同位置，從而需對不同位置 分別求其結(jié)果，否則漏解。例11: （2010湖北）如圖，正方形 ABCD勺邊長是2, BE=CE MN=1線段 MN的兩端在CD AD上滑動.當(dāng)DM=時，ZXABE與以D AMNCBM N為項點的三角形相似。分析與解答 勾股定理可得AE=J5.當(dāng)4ABE與以D、M、N為項點的

10、三 角形相似時，DM可以與BE是對應(yīng)邊，也可以與 AB是對應(yīng)邊，所以本題分兩 種情況：(1)當(dāng)DMf BE是對應(yīng)邊時，_DM=MNAB AE即RM=,DM =史.(2)當(dāng)DM與AB是對應(yīng)邊時， 1.55DM =MN即四=：,dm =迤 故dm的長是立或至5.AB AE '25555例題12: (2011湘潭)如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點, 過A,B兩點的拋物線交x軸于另一點C (3,0).(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點 Q,使三角形ABQ是等腰三角形？若存 在，求出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。說明 從以上各例可以看出，分燈思想在幾何中的較為廣泛.這類試題的解題思 路是：對具有位置關(guān)系的幾何圖形，要有分類討論的意識，在熟悉幾何問題所需 要的基礎(chǔ)知識的前提下，正確應(yīng)用分類思想方法，恰當(dāng)?shù)剡x擇分類標(biāo)準(zhǔn)，是準(zhǔn)確 全面求解的根本保證.解析：(1)拋物線解析式的求法：1,三點式；2,頂點式(h,k) ; 3,交點式 易得：y =a(x+1)(x-3)再結(jié)合點B(0,3)在拋物線上,y = -x2+2x + 3(2)依題意得AB =/0 ,拋物線的對稱軸為x=1，設(shè)Q(1, y)1)以AQ為底，則有 A