上海市靜安區(qū)2019屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二模)數(shù)學(xué)試題及答案及解析

1、上海市靜安區(qū)2019 屆高三 4 月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（ 二模 ） 數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共12 小題，共54.0 分）1. 不等式6x2+17x+12< 0 的解集是2. 已知復(fù)數(shù)（其中 i 是虛數(shù)單位），則| z|=3. 已知點(diǎn)A（1，-2 ， -7 ） ，B（3，10，9），C為線段AB的中點(diǎn)，則向量的坐標(biāo)為 4. 若變量 x， y滿足約束條件， 則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值為，5. 若圓柱的軸截面為正方形，且此正方形面積為4，則該圓柱的體積為6. 已知，則 tan =7. 已知雙曲線C 與橢圓的焦點(diǎn)相同，且雙曲線C的一條漸近線方程為，則雙曲線C的方程為 8. 函數(shù) y=sin

2、x+cosx-|sin x-cos x| 的值域是9. 已知甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各3 個(gè)，乙盒中有黃、黑、白三種顏色的球各2個(gè)（兩盒中每個(gè)球除顏色外都相同）從兩個(gè)盒子中各取1 個(gè)球，則取出的2個(gè)球顏色不同的概率是（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）10. 若等比數(shù)列 an （ n N*）滿足a1+a3=30， a2+a4=10，則a1?a2? an的最大值為11. 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c已知a，b， c依次成等比數(shù)列，且，延長(zhǎng)邊BC到 D，若BD=4，則ACD面積的最大值為 12. 已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a=二、選擇題（本大題共4 小題，共20.0 分）13. 為客觀了解上海市民

3、家庭存書量，上海市統(tǒng)計(jì)局社情民意調(diào)查中心通過電話調(diào)查系統(tǒng)開展專項(xiàng)調(diào)查，成功訪問了2007 位市民在這項(xiàng)調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A. 總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是2007位市民家庭的存書量，樣本的容量是2007B. 總體是上海市民家庭的存書量，樣本是 2007 位市民家庭的存書量，樣本的容量是2007C. 總體是上海市民家庭的存書量，樣本是2007位市民，樣本的容量是2007D. 總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是2007位市民，樣本的容量是200714. 若 ， 均為單位向量，則“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分又不

4、必要條件15. 函數(shù) f （ x） =sin 2x+bcosx+c 的最小正周期（）A. 與b 有關(guān)，且與c 有關(guān)B. 與b 有關(guān)，但與c 無關(guān)C. 與b 無關(guān)，且與c 無關(guān)D. 與b 無關(guān)，但與c 有關(guān)16. 設(shè)f（x） 是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，都有 f（x+y）=f（x）f若 ， an=f（ n）（n N*），數(shù)列an的前n 項(xiàng)和Sn組成數(shù)列 Sn，則有（A. 數(shù)列 遞增，最大值為1 B. 數(shù)列 遞減，最小值為C. 數(shù)列 遞增，最小值為D. 數(shù)列 遞減，最大值為15 小題，共76.0 分）17. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知BC AD， AB AD， BC=B

5、A= AD=m， VA平面（ 1）求證：CD平面VAC；y） ，ABCD（ 2）若VA= m，求CV與平面VAD所成角的大小18. 已知函數(shù)（ a 為實(shí)常數(shù)）（ 1）若的定義域是< 或 > ，求 a 的值；（ 2）若是奇函數(shù)，解關(guān)于x 的不等式>19. 某文化創(chuàng)意公司開發(fā)出一種玩具（單位：套）進(jìn)行生產(chǎn)和銷售根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每月生產(chǎn) x 套玩具的成本p 由兩部分費(fèi)用（單位：元）構(gòu)成：a固定成本（與生產(chǎn)玩具套數(shù)x 無關(guān)），總計(jì)一百萬元；b生產(chǎn)所需的直接總成本（ 1）問：該公司每月生產(chǎn)玩具多少套時(shí)，可使得平均每套所需成本費(fèi)用最少？此時(shí)每套玩具的成本費(fèi)用是多少？（ 2）假設(shè)每月生產(chǎn)出的

6、玩具能全部售出，但隨著x 的增大，生產(chǎn)所需的直接總成本在急劇增加， 因此售價(jià)也需隨著x 的增大而適當(dāng)增加設(shè)每套玩具的售價(jià)為q 元，（ a，b R） 若當(dāng)產(chǎn)量為15000套時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每套售價(jià)為300元， 試求a、 b 的值 （利潤(rùn) =銷售收入- 成本費(fèi)用）20. 已知拋物線C：x2=2py（p>0）上一點(diǎn)T（t ，4）到其焦點(diǎn)F 的距離為5（ 1）求拋物線C 的方程；（ 2）設(shè)直線l 與拋物線C交于A、 B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求證：直線l 必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 3）過點(diǎn)（2， 0）的直線m與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M、 N，若< ，求直線m的斜率的取值范圍21.

7、 設(shè)數(shù)列 an 的前n 項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意正整數(shù)n，皆滿足Sn+an=2a（實(shí)常數(shù)a> 0）在等差數(shù) bn （ n N*）中，b1=a1， b2=2S2（ 1）求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式；（ 2）試判斷數(shù)列 an+1能否成等比數(shù)列，并說明理由；（ 3） 若 ， cn=an?bn， 求數(shù)列cn的前n 項(xiàng)和Tn， 并計(jì)算：（已知） 答案及解析1【答案】（- ， - ） 【解析】解：不等式6x2+17x+12< 0 可化為（2x+3）（3x+4）<0，解得 - < x< - ，所求不等式的解集是（- ， - ）故答案為：（- ， - ）把不等式化為（2x+3）（3x+4）

8、<0，求出解集即可本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題2【答案】解： |z|=故答案為：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題3【答案】（1， 6， 8）【解析】解： 依題意， 點(diǎn)A（1， -2， -7） ，B（3，10，9），C為線段AB的中點(diǎn)，所以 C點(diǎn)坐標(biāo)為 （，），即C（ 2， 4， 1），所以向量的坐標(biāo)為=（ 3-1 ， 10-4， 9-1 ） =（ 1， 6， 8）故填：（1， 6， 8）依題意，點(diǎn)A（1，-2 ， -7 ），B（3，10，9），C為線段AB的中點(diǎn)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4

9、，1），所以向量的坐標(biāo)為（1， 6， 8）本題考查了空間向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，空間向量的坐標(biāo)屬于基礎(chǔ)題4【答案】2【解析】解：由變量x， y 滿足約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（ 0， 2），化目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y 為 y=2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=2x+z過 A時(shí)，直線在y 軸上的截距最大，為2故答案為：2由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題5【答案】2【解析】解：圓柱的軸截面是正方形，且面積為4，圓柱的底面半徑r=1 ，高h(yuǎn)=2，圓柱的體

10、積V= r 2h= ×1 2× 2=2 故答案為：2 根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征可知底面半徑和高，代入體積公式計(jì)算即可本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征和體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題6【答案】【解析】解：，則tan =tan （）+= ，故答案為：由tan =tan （）+ ，利用兩角和的正切公式展開即可求解本題主要考查了兩角和的正切公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題7. 【答案】 【解析】解：雙曲線C與橢圓的焦點(diǎn)相同，即（±3， 0），直線，為雙曲線C的一條漸近線，可得 = ，又a2+b2=9，可知a2=4， b2=5則雙曲線C的方程是：故答案為：求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線方程

11、，轉(zhuǎn)化求解即可本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線法方程的求法，考查計(jì)算能力8【答案】，【解析】解：當(dāng)x 0 ， 時(shí)，cosx > simx， y=sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx 0 ， ；當(dāng) x（， 時(shí)， sin > cosx， y=sonx+cosx-sinx+cosx=2cosx -2 ，）；當(dāng) x ， 2 時(shí)， cosx > sinx ， y=2sinx -2 ， 0 ， x 0 ， 2 時(shí)，y -2. ，根據(jù)正余弦函數(shù)的周期性可知，y -2 ， 故答案為：-2 ， 分 3 段討論后，根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)可得本題考查了三角函數(shù)的

12、最值，屬中檔題9【答案】【解析】解：甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各3 個(gè)，乙盒中有黃、黑、白三種顏色的球各2 個(gè)（兩盒中每個(gè)球除顏色外都相同）從兩個(gè)盒子中各取1 個(gè)球，基本事件總數(shù)n=9× 6=54，取出的 2 個(gè)球顏色不同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=42，則取出的2 個(gè)球顏色不同的概率是p= = 故答案為：從兩個(gè)盒子中各取1 個(gè)球，基本事件總數(shù)n=9× 6=54，取出的2個(gè)球顏色不同包含的基本事件個(gè)數(shù) m=42，由此能求出取出的2 個(gè)球顏色不同的概率本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題10. 【答案】729【解析】解：設(shè)等比數(shù)列a

13、n的公比為q，a1+a3=30， a2+a4=10，2 a1+a3=30=a1（ 1+q ），a2+a4=10=q（ a1+a3） =30q，聯(lián)立解得q= ， a1=27 an=27×=34-n 則 a1?a2? ?an=33+2+ +（ 4-n） =，可得 n=3或 4時(shí)，a1?a2? ?an的最大值為729故答案為：729設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1+a3=30，a2+a4=10，可得a1+a3=30=a（11+q2），a2+a4=10=（qa1+a3）=30q，聯(lián)立解得q， a1利用通項(xiàng)公式與求和公式及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式

14、、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11【答案】【解析】解：cos（ A-C） +cos（ A+C） =2cosAcosC= ，cosAcosC= ，a， b， c 依次成等比數(shù)列，b2=ac，sin 2B=sinAsinC - 可得，=cos（ A+C） =-cosBcosB= ， cos（ A-C） =1，即A-C=0ABC為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)a， s ACD=當(dāng)且僅當(dāng)a=4-a 即 a=2時(shí)取等號(hào)故答案為：由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式可得cos（ A-C） +cos（ A+C） =2cosAcosC，可求cosAcosC，然后由等比數(shù)列的性質(zhì)及正弦定理可得，sin 2B=sinA

15、sinC，結(jié)合兩式可求B= ，進(jìn)而可判斷出 ABC為正三角形，結(jié)合三角形的面積公式及基本不等式即可求解面積的最大值本題主要考查了正弦定理，兩角和與差的三角公式在求解三角形中的應(yīng)用，三角的面積公式，基本不等式的應(yīng)用是求解面積最值的關(guān)鍵12. 【答案】 【解析】解：函數(shù)， f （ x）關(guān)于點(diǎn)（， a）成中心對(duì)稱，則 f（ x） +f（ 1-x） =2a，則由得 f（ 1） +f（） + +f（ 0） =1010，兩式相加得2020f （ 0） +f（ 1） =2020，即 f （ 0） +f（ 1） =1，即2a=1，得 a= ，故答案為：根據(jù)函數(shù)f （ x）的性質(zhì)，得到f （ x）關(guān)于點(diǎn)（， a

16、）成中心對(duì)稱，利用對(duì)稱性進(jìn)行求解即可本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵13. 【答案】 B【解析】解：因?yàn)榱私獾氖巧虾Ｊ忻窦彝ゴ鏁?，所以總體是上海市民家庭的存書量不是家庭數(shù)；樣本是2007位市民家庭的存書量不是市民；樣本的容量是2007故選： B要了解的是上海市民家庭存書量，因此總體是存書量，樣本也是存書量，樣本容量是2007本題考查了用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，屬基礎(chǔ)題14. 【答案】 C【解析】解： ， 均為單位向量，“|2-|=|+2 | ” ? 4+1-4=1+4+4?=0? “ ”“|2- |=|+2 | ”是“ ”的充要條件故選：C

17、， 均為單位向量，“ |2-|=|+2 | ” ? 4+1-4=1+4+4?=0? “ ”即可判斷出結(jié)論本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15【答案】C【解析】解：函數(shù)f （ x） =sin 2x+bcosx+c，=1-cos 2x+bcosx+c，所以函數(shù)的關(guān)系式，是以cosx 為自變量的二次函數(shù)，所以：函數(shù)的周期與b 無關(guān)，函數(shù)的值域與c 有關(guān)故選：C直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用，把函數(shù)的關(guān)系式變形成二次函數(shù)的形式，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期的影響變量和值域的影響變量本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，二次函數(shù)的形式的應(yīng)用，

18、主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型16【答案】C【解析】解： a1=，故f（1）=，a2=f（ 2）=f2（1）=，3a3=f（ 3） =f（ 1） f（ 2） =f3（ 1） = ，n N*時(shí)，an=，又 Sn=1-（） n< 1，故 Sn遞增，當(dāng)n=1 時(shí)，Sn取得最小值S1=a1= 故選：C計(jì)算 f（ n）的值，得出an的通項(xiàng)公式，從而可得Sn的通項(xiàng)公式，根據(jù)其通項(xiàng)公式進(jìn)行判斷本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，屬于中檔題17. 【答案】（1）證明：連結(jié)AC，AB=BC，ABC=90°，CAB= ACB=45°，取 AD中點(diǎn)G，連CG

19、，因?yàn)锽C AD，所以四邊形ABCG為正方形所以CG=GD，CGD=90°，DCG=45°，DCA=90°（ 4分）所以CD CA，又 VA平面ABCD，所以CD VA，CD平面VAC（6 分）2）解：法1：連 VGCG ADCG VAVC=2m； CG=m，CVG=30°? CG面VAD，CVG是 CV與平面VAD所成的角（11 分）第 17 頁，共 13 頁 CV與平面VAD所成角為30°（14分）法 2：以A為原點(diǎn)，射線AB， AD， AV所在直線為x， y， z 軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，與 夾角為 ，則平面VAD法向量=（ m，

20、0， 0），又則 cos =， = ， CV與平面VAD所成的角為【解析】（ 1） 證明連結(jié)AC，取AD中點(diǎn)G，連CG，證明四邊形ABCG為正方形推出CDCA，CDVA，即可證明CD平面VAC（ 2）連VG，說明CG面VAD，CVG是 CV與平面VAD所成的角，通過求解三角形得到CV與平面VAD所成角為30°法 2：以A為原點(diǎn)，射線AB， AD， AV所在直線為x， y， z 軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，平面VAD法向量 =（ m， 0， 0） ， 又， 利用空間向量的數(shù)量積求解即可本題考查直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求解，考查空間想象能力以及計(jì)算能力18. 【

21、答案】解法1：（1）函數(shù)的定義域是< 或 >，即> 的解集是< 或 >，（2 分）也即> 的解集是< 或 >，所以令，解得a=3；（6 分）（ 2）如果是奇函數(shù)，則定義域即> 的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得 a=1；（8分）當(dāng) a=1 時(shí)，所以是奇函數(shù)，關(guān)于 x 的不等式> ，即>，（10 分）即 > ，化為> ，解得x> 1；所以所求不等式的解集為 x! x> 1 （14分）解法2：（1）的定義域是< 或 >，當(dāng) 時(shí)，解得；檢驗(yàn)， a=3 時(shí)， y=lg （+3） =lg ，令 > 0

22、，解得x< 或 x> 1，所以函數(shù)y的定義域?yàn)閤| x<或 x> 1，所以a=3；（ 2）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即（2- a） 2- a2x2=1-x2，由，解得 a=1，檢驗(yàn) a=1 時(shí)，函數(shù)y 的定義域?yàn)椋? ， -1 ）（1， +），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足題意；又不等式化為lg > lg1 ，即 > 1，即 > 0，解得x> 1，所以所求不等式的解集為 x! x> 1【解析】解法1：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域得出不等式的解集，列出關(guān)于a的方程求得a的值；（ 2）根據(jù)函數(shù)y 是奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，列出關(guān)于a 的方程求得a 的值，再求對(duì)應(yīng)不

23、等式的解集解法2：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域求出a 的值，再檢驗(yàn)所求的a 是否滿足題意；（ 2）根據(jù)奇函數(shù)的定義列方程求得a 的值，并檢驗(yàn)所求的a 是否滿足題意，再求對(duì)應(yīng)不等式的解集本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用問題，是中檔題19. 【答案】解：（1）由題意知，生產(chǎn)成本為p=1000000+50x+ x2，（3分）= +502+50=250，（5 分）當(dāng)且僅當(dāng)= 時(shí)，即x2=100000000，解得x=10000；（6分）答：該公司生產(chǎn)1 萬套玩具時(shí)，使得每套平均所需成本費(fèi)用最少，且每套的成本費(fèi)用為250 元；（7 分）（ 2）利潤(rùn)qx- p=x（ a+ ） -

24、 （ 1000000+50x+ x2）=（-） x2+（ a-50） x-1000000；（10分）根據(jù)題意，有-< 0， a+=300，且-=15000，解得a=250， b=300（14分）【解析】（ 1）由題意寫出生產(chǎn)成本p，利用基本不等式計(jì)算的最小值，并且求出對(duì)應(yīng)的x 值；（ 2）利用利潤(rùn)函數(shù)qx-p ，結(jié)合題意列方程求得a、 b 的值本題考查了根據(jù)實(shí)際函數(shù)模型求成本與利潤(rùn)的應(yīng)用問題，是中檔題20. 【答案】解：（1）解法 1：由題意，根據(jù)拋物線的定義，有，解得p=2，所以拋物線C的方程為x2=4y；（4分）解法2：將T（ t ， 4）代入x2=2py 得，t2=8p，又點(diǎn)T（

25、t ， 4）到其焦點(diǎn)F 的距離為5，焦點(diǎn)坐標(biāo)為， ，所以，將 t 2=8p 代入整理得p2+16p-36=0，解得p=2，故拋物線C的方程為x2=4y；（4分）（ 2）依題意，直線l 的斜率存在，設(shè)l 的方程為y=kx +b，由得 x2-4kx-4b=0，（6 分）設(shè) A（ x1， y1），B（ x2， y2），則x1+x2=4k， x1x2=-4 b，所以=令 b2-4b=-4，得b=2，所以直線l 過定點(diǎn)（0， 2）（10 分）（ 3）依題意，直線m的斜率k 存在且k 0，設(shè)m的方程為y=k（ x-2），由消去 y，得x2-4 kx +8k=0，（12 分）由>0，即k2-2 k> 0，解得k< 0 或 k> 2設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=8k，且， 所以因?yàn)?lt; ，所以12k+1 < 0，解得<；所以，直線m的斜率的取值范圍是，（16 分）【解析】（ 1）解法1：根據(jù)拋物線的定義列方程，求得 p 的值，寫出拋物線方程；解法2：將T（ t， 4）代入x2=2py，再由點(diǎn)T到其焦點(diǎn)F的距離，列出方程組求得p 的值，再寫出拋物線方程；（ 2）可直線l 的方程為y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算? ，從而證明直線l 過定點(diǎn)（