用二元一次方程組解決問(wèn)題例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用二元一次方程組解決問(wèn)題例題目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1能夠借助二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，再次體會(huì)二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用2進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性3體會(huì)列方程組比列一元一次方程容易4進(jìn)一步培養(yǎng)化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力5掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；重點(diǎn)： 1經(jīng)歷和體驗(yàn)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。2進(jìn)一步體會(huì)方程（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。難點(diǎn)：正確找出問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重

2、要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系. 一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類(lèi)量；(2)同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問(wèn)題：(1)追擊問(wèn)題：追擊問(wèn)題是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類(lèi)問(wèn)題比較直觀，畫(huà)線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開(kāi)始時(shí)兩者相距的路程；(2)相遇問(wèn)題:相遇問(wèn)題也是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類(lèi)問(wèn)題也比較直觀，因而也畫(huà)線段圖幫助理解與分析。這類(lèi)問(wèn)題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路

3、程。(3)航行問(wèn)題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 船的順?biāo)俣却哪嫠俣?水速。注意：飛機(jī)航行問(wèn)題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行?wèn)題類(lèi)似。2工程問(wèn)題：工作效率工作時(shí)間=工作量.3商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題：(1)利潤(rùn)售價(jià)成本(進(jìn)價(jià))；(2)；(3)利潤(rùn)成本（進(jìn)價(jià)）利潤(rùn)率；(4) 標(biāo)價(jià)成本(進(jìn)價(jià))(1利潤(rùn)率)；(5)實(shí)際售價(jià)標(biāo)價(jià)打折率；注意：“商品利潤(rùn)售價(jià)成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷(xiāo)售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲(chǔ)蓄問(wèn)題：(1)基本概念 本金

4、：顧客存入銀行的錢(qián)叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。 利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：利息的稅款叫做利息稅。 (2)基本關(guān)系式 利息本金利率期數(shù) 本息和本金利息本金本金利率期數(shù)本金 (1利率期數(shù)) 利息稅利息利息稅率本金利率期數(shù)利息稅率。 稅后利息利息 (1利息稅率) 年利率月利率12 。注意：免稅利息=利息 5配套問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長(zhǎng)率問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：原量(1增長(zhǎng)率)增長(zhǎng)后的量；原量(1減少率)減少后的量.7

5、和差倍分問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)倍量.8數(shù)字問(wèn)題：解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字9濃度問(wèn)題：溶液質(zhì)量濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10幾何問(wèn)題：解決這類(lèi)問(wèn)題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式11年齡問(wèn)題：解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì)變的12優(yōu)化方案問(wèn)題：在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社

6、購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、設(shè)、找、列、解、檢、答”七步.即：（1） 審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)；（2） 設(shè)：根據(jù)題意設(shè)元（3）找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；（4）列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（5）解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（6）檢：檢查所求的解是否符合實(shí)際問(wèn)題;（7）答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出答案

7、.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組. 解答步驟簡(jiǎn)記為：?jiǎn)栴}方程組解答(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題 弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系； 審題時(shí)，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息； 注意用方程組解應(yīng)用題的過(guò)程中單位的書(shū)寫(xiě)，設(shè)未知數(shù)和寫(xiě)答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時(shí)，不要帶單位；正確書(shū)寫(xiě)速度單位，避免與路程單位混淆； 在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。

8、經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：列二元一次方程組解決行程問(wèn)題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車(chē)和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車(chē)在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭原速返回，在汽車(chē)再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī). 這時(shí)，汽車(chē)、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 思路點(diǎn)撥：畫(huà)直線型示意圖理解題意： (1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：汽車(chē)的行程；拖拉機(jī)的行程. (2)有兩個(gè)等量關(guān)系： 相向而行：汽車(chē)行駛小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程160千米; 同向而行：汽車(chē)行駛小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程.解：設(shè)汽車(chē)的速度為每小時(shí)行千米，拖拉機(jī)的速度為每小時(shí)千米.根據(jù)題意，列方程組 解這個(gè)方程組

9、，得:.答：汽車(chē)行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問(wèn)題的常用的解決策略。2在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車(chē)沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車(chē)接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車(chē)堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車(chē)追趕上問(wèn)巡邏車(chē)和犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度各是多少？【分析】設(shè)巡邏車(chē)

10、、犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度分別為x、y千米/時(shí)，則()， 整理得，解得，因此，巡邏車(chē)的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度是40千米/時(shí) 點(diǎn)評(píng)：“相向而遇”和“同向追及”是行程問(wèn)題中最常見(jiàn)的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個(gè)相等關(guān)系，這個(gè)關(guān)系涉及到兩者的速度、原來(lái)的距離以及行走的時(shí)間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時(shí)，兩者所走的路程之和等于它們?cè)瓉?lái)的距離； “同向追及”時(shí)，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們?cè)瓉?lái)的距離舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走

11、多少千米？解：設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別行走千米、千米。根據(jù)題意可得：解得：答：甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走3.6千米?！咀兪?】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度靜水中的速度水速船逆流速度靜水中的速度水速 解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，水速為y千米/時(shí)，則 ，解得：答：船在靜水中的速度為17千米/時(shí)，水速3千米/時(shí)。 跟蹤訓(xùn)練1、 甲、乙兩人在東西方向的公路上行走，甲在乙的西邊300米，若甲、乙兩人同時(shí)向東走30分鐘后，甲正好追上乙；若甲、乙兩人同時(shí)相向而行，2分鐘后相遇，問(wèn)甲、乙兩人的速度是多少？甲乙兩人以

12、不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行每隔兩分鐘相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分鐘跑多少圈？類(lèi)型二：列二元一次方程組解決工程問(wèn)題1一批機(jī)器零件共840個(gè)，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問(wèn)兩人每天各做多少個(gè)機(jī)器零件？分析：由題意得甲做12天，乙做8天能夠完成任務(wù)；而甲做9天，乙做13天也能完成任務(wù)，由此關(guān)系我們可列方程組求解設(shè)甲每天做x個(gè)機(jī)器零件，乙每天做y個(gè)機(jī)器零件，根據(jù)題意，得 解得： 答：甲每天做50個(gè)機(jī)器零件，乙每天做30個(gè)機(jī)器零件2某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完

13、成，按照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天， 依題意，得 ， 解得點(diǎn)評(píng)：工程問(wèn)題與行程問(wèn)題相類(lèi)似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時(shí)間工作效率”以及它們的變式“工作時(shí)間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時(shí)間”其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無(wú)關(guān)時(shí)，通常用“1”表示總工作量舉一反三：【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套

14、新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢(qián)5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周完成，需工錢(qián)4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由. 解：設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：， 解得：所以甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要10周、15周。設(shè)需要付甲、乙每周的工錢(qián)分別是萬(wàn)元，萬(wàn)元，根據(jù)題意得：，解得：故甲公司單獨(dú)完成需工錢(qián)：（萬(wàn)元）；乙公司單獨(dú)完成需工錢(qián)：（萬(wàn)元）。 答：甲公司單獨(dú)完成需6萬(wàn)元，乙公司單獨(dú)完成需4萬(wàn)元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成. 跟蹤訓(xùn)練1、 一千零一夜中有這樣一段文字：有一

15、群鴿子，其中一部分在樹(shù)上歡歌，另一部分在地上覓食，樹(shù)上的一只鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō)：“若從你們中飛上來(lái)一只，則樹(shù)下的鴿子就是整個(gè)鴿群的1/3，若從樹(shù)上飛下去一只，則樹(shù)上、樹(shù)下的鴿子就一樣多了。”你知道樹(shù)上、樹(shù)下各有多少只鴿子嗎？類(lèi)型三：列二元一次方程組解決商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題1一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問(wèn)此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤(rùn)涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣(mài)出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，則打九折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得

16、方程0.8x-y=10. 解方程組， 解得， 因此，此商品定價(jià)為200元總結(jié)：利潤(rùn)率是相對(duì)于進(jìn)價(jià)而言的，利潤(rùn)的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率特別注意“利潤(rùn)”和“利潤(rùn)率”是不同的兩個(gè)概念2有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？ 思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤(rùn)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率解：甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙商品的進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600元和400元。舉一反三：【變式1】（2011湖南衡陽(yáng)）李大叔

17、去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：，解得答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷(xiāo)售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利 = 售價(jià) 進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件；解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得：化簡(jiǎn)得： 解得：答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品分別為200件和120

18、件。跟蹤訓(xùn)練1、 打折前，買(mǎi)60件A商品和30件B商品用了1080元，買(mǎi)50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，買(mǎi)50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花多少錢(qián)？2、有甲、乙兩種債券，年利率分別是10與12，現(xiàn)有400元債券，一年后獲利45元，問(wèn)兩種債券各有多少？類(lèi)型四：列二元一次方程組解決銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢(qián)，一種是年利率為2.25的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢(qián)？（利息所得稅利息金額20%，教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅）思路點(diǎn)撥：

19、 設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格： 解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢(qián)為x元，存一年定期存款的錢(qián)為y元，則列方程：，解得：答：存教育儲(chǔ)蓄的錢(qián)為1500元，存一年定期的錢(qián)為500元. 總結(jié)升華: 我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐?、收入、支出、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問(wèn)題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來(lái).舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得

20、稅=利息金額20%） 思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金年利率(1-20%)年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=利息 金額 20%）.不扣稅時(shí)：利息=本金年利率年數(shù). 解：設(shè)第一種儲(chǔ)蓄的年利率為x，第二種儲(chǔ)蓄的年利率為y，根據(jù)題意得: ，解得:答：第一種儲(chǔ)蓄的年利率為2.25%，第二種儲(chǔ)蓄的年利率為0.99%. 【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢(qián).第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元(不計(jì)利息稅)，問(wèn)小敏的爸爸兩

21、種存款各存入了多少元？解：設(shè)第一種存款數(shù)為X元，則第二種存款數(shù)為y元，根據(jù)題意得：，解得： 答：第一種存款數(shù)為1500元，第二種存款數(shù)為2500元。類(lèi)型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問(wèn)題1某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只. 現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫(xiě)反了).解：設(shè)用米布料做衣身，

22、用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得： 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問(wèn)題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，從而得到方程組，使問(wèn)題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套，只須

23、生產(chǎn)出來(lái)的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)1因此，設(shè)安排人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)，螺母20個(gè)，依題意，得，解之，得故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母總結(jié)：解決配套問(wèn)題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見(jiàn)的配套問(wèn)題的等量關(guān)系是：“二合一”問(wèn)題：如果件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品配成一套，那么一套中甲乙的數(shù)量比為a:b，要想生產(chǎn)出來(lái)的所有產(chǎn)品配套，就得滿足甲乙的總數(shù)量之比也為a:b.舉一反三：【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問(wèn)用

24、多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 思路點(diǎn)撥：兩個(gè)未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個(gè)相等關(guān)系是：制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；制盒身個(gè)數(shù)的2倍=制盒底個(gè)數(shù). 解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子. 【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。解：由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有 x人，生產(chǎn)螺母的有y人，則：，解得：答：生產(chǎn)螺栓的有25人

25、，生產(chǎn)螺母的有35人?！咀兪?】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個(gè)，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少?gòu)埛阶?？解：設(shè)用 x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：， 解得：可做503150張方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。類(lèi)型六：列二元一次方程組解決數(shù)字問(wèn)題8. 兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫(xiě)較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)

26、四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問(wèn)題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為：100xy問(wèn)題2：在較大數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為： 100yx解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：，解得：答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45，23.舉一反三：【變式1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個(gè)兩位數(shù)是多少？解：設(shè)十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，則：，解得：答：這兩位數(shù)為56 【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上

27、的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y， 根據(jù)題意得：，解得：答：這個(gè)兩位數(shù)為72.【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個(gè)位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為 x，個(gè)位數(shù)字為y，由題意得：， 答：所求三位數(shù)是504。跟蹤訓(xùn)練1、一個(gè)兩位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大5，如果把這兩數(shù)字的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)2、甲乙兩盒中各有一些小球，如果從甲盒中拿出10個(gè)放入乙盒，則乙盒球就是

28、甲盒球數(shù)的6倍，若從乙盒中拿出10個(gè)放入甲盒，乙盒球數(shù)就是甲盒球數(shù)的3倍多10個(gè)，求甲乙兩盒原來(lái)的球數(shù)各是多少？類(lèi)型七：列二元一次方程組解決增長(zhǎng)率問(wèn)題6. 某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？ 思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，則有總產(chǎn)值（萬(wàn)元）總支出（萬(wàn)元）利潤(rùn)（萬(wàn)元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤(rùn)和今年的利潤(rùn)，由利潤(rùn)=總產(chǎn)值總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個(gè)等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，根

29、據(jù)題意得：，解之得：答：去年的總產(chǎn)值為2000萬(wàn)元，總支出為1800萬(wàn)元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。舉一反三：【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，由題意得：，解得：答：今年的總產(chǎn)值為2000萬(wàn)元，總支出為1800萬(wàn)元思考：本問(wèn)題還有沒(méi)有其它的設(shè)法？【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點(diǎn)撥：由題意得兩個(gè)等式關(guān)系，兩個(gè)相等關(guān)系為：（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬(wàn)；（2）城鎮(zhèn)人口(1+0.8%)+農(nóng)村

30、人口（1+1.1%）=42（1+1%）解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為x萬(wàn)，農(nóng)村人口為y萬(wàn)，由題意得：解得答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口14萬(wàn)人，農(nóng)村人口為28萬(wàn)人類(lèi)型八：列二元一次方程組解決年齡問(wèn)題1今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個(gè)字的含義，即6年后父子倆都長(zhǎng)了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：， 答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲?？偨Y(jié)升華：解決年齡問(wèn)題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減?。┝耍渌艘惨粯釉龃蠡驕p小

31、，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）。舉一反三：【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.思路點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來(lái)，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。解：設(shè)今年小李的年齡為x歲，則爺爺?shù)哪挲g為y歲。根據(jù)題意得：，解得：答：今年小李的年齡為12歲。類(lèi)型九：列二元一次方程組解決和差倍分問(wèn)題1.（2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂

32、，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來(lái)的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)計(jì)劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組。解：設(shè)原計(jì)劃“愛(ài)心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛(ài)心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 舉一

33、反三：【變式1】 (2011年北京門(mén)頭溝區(qū)中考一模試題) “地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六20時(shí)30分21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過(guò)一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問(wèn)中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)解：設(shè)中國(guó)內(nèi)地去年有x個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有y個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)依題意得 ， 解得： 答：去年有33個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有86個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)【變式2】 游泳池中有

34、一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時(shí) 只看到別人的，沒(méi)看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個(gè)等式，列等式要看到重點(diǎn)語(yǔ)句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。解：設(shè)男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：，解得：答：男孩4人和女孩有3人。類(lèi)型十：列二元一次方程組解決幾何問(wèn)題10如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別

35、是多少？ 思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒(méi)有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長(zhǎng)相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。解：設(shè)長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)xcm,寬ycm，由題意得：， 答：每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為45cm、寬為15cm?？偨Y(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個(gè)可用的等

36、量關(guān)系，其一長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為鐵絲的長(zhǎng)48厘米，第二個(gè)等量關(guān)系是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)剪掉3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長(zhǎng)邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：， 所以正方形的邊長(zhǎng)為：9+3=12厘米正方形的面積為：=144厘米長(zhǎng)方形的面積為：159=135厘米答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個(gè)等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問(wèn)題就復(fù)雜了。設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，本題就簡(jiǎn)單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵?！咀兪?】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m，它的周長(zhǎng)是132m，則長(zhǎng)和寬分別為多少？解：設(shè)草坪的長(zhǎng)為y m 寬為x m，依題意得：，解得：答：草坪的長(zhǎng)為m,寬為m類(lèi)型十一：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問(wèn)題： 12某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)為1000元；經(jīng)粗加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)漲至7500元. 當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸. 但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行. 受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷(xiāo)售或加工完畢，為此公司研制了