模態(tài)空間—時(shí)域,頻域與模態(tài)空間之間的聯(lián)系

1、模態(tài)空間 時(shí)域，頻域與模態(tài)空間之間的聯(lián)系這是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題。但這個(gè)問(wèn)題會(huì)涉及到很多不同的方面，因此我們先從一個(gè)簡(jiǎn)單的示意圖入手，并且盡量避免涉及到過(guò)多的數(shù)學(xué)知識(shí)。我們通過(guò)這幅圖來(lái)討論時(shí)域、頻域、模態(tài)空間和物理空間所有這些不同的方面。示意圖中要討論的內(nèi)容有很多，所以我們先將他們分開(kāi)逐一討論，最后再將其整合到一起。你應(yīng) 該還記得我們先前的討論，你問(wèn)我模態(tài)分析是怎么一回事（“模態(tài)分析的簡(jiǎn)要解釋”），這對(duì)下面的討論 很有幫助。首先， 我們考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的懸臂梁，并假定對(duì)梁的端部施加一個(gè)單位脈沖激勵(lì)。梁端部的響應(yīng)是系統(tǒng)所有階模態(tài)響應(yīng)的疊加顯示（如黑色時(shí)域曲線所示）；可以注意到結(jié)構(gòu)在幾個(gè)不同頻率上都有響應(yīng)。

2、通過(guò)對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換，可以將梁端部的時(shí)域響應(yīng)變換到頻域。這個(gè)過(guò)程伴隨有相當(dāng)多的數(shù)學(xué)知識(shí)，但它對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是一個(gè)常見(jiàn)的變換。通常我們將這個(gè)由時(shí)域信號(hào)變換過(guò)來(lái)的頻域曲線稱為頻響函數(shù)，簡(jiǎn)稱為FRF（如黑色頻域曲線所示）；注意這條曲線上的多個(gè)峰，其對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的多階固有頻率。在進(jìn)一步討論時(shí)域和頻域之前，讓我們先討論一下圖中左上部的物理模型。我們知道懸臂梁具有多個(gè)振動(dòng)固有頻率。在每個(gè)固有頻率上，結(jié)構(gòu)具有特定的變形形式，我們稱之為模態(tài)振型。對(duì)于該懸臂梁，我們看到，第一階彎曲模態(tài)如藍(lán)色所示，第二階彎曲模態(tài)如紅色所示，第三階彎曲模態(tài)如綠色所示。當(dāng)然，還有其他更高階模態(tài)沒(méi)有顯示出來(lái)，并且此處我們只討論前三

3、階模態(tài)，但這也很容易適用到更高階模態(tài)。我們也可以利用圖中右上部的解析集中質(zhì)量模型或者有限元模型（黑色所示）來(lái)計(jì)算這個(gè)實(shí)物梁。 此模型通常用方程組來(lái)表示，方程組中的各點(diǎn)或自由度（ DOF） 之間相互影響或者耦合。這意味著，如果你上拉模型的某一個(gè)自由度，其他自由度也會(huì)受到影響并產(chǎn)生位移。這種耦合意味著，如果想確定系統(tǒng)響應(yīng)，方程組會(huì)非常復(fù)雜。當(dāng)描述系統(tǒng)的方程數(shù)目越來(lái)越多時(shí)，方程組會(huì)更加復(fù)雜。我們通常用矩陣將所有的運(yùn)動(dòng)方程組合在一起，以描述系統(tǒng)響應(yīng)，如下所示：其中 M 、 C 、 K 分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，對(duì)應(yīng)的還有加速度、速度和位移以及施加于系統(tǒng)上的激振力。通常質(zhì)量矩陣為對(duì)角陣；阻尼矩陣和剛度

4、矩陣為對(duì)稱陣，具有非對(duì)角元素，以描述系統(tǒng)的不同方程或自由度之間的耦合程度。矩陣的大小依賴于我們用以描述系統(tǒng)的方程數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，我們求得所謂的特征值，并利用模態(tài)變換方程，將這些耦合的方程組轉(zhuǎn)換為一組解耦的單自由度系統(tǒng)，在新坐標(biāo)系統(tǒng)中，它由模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度等對(duì)角矩陣來(lái)描述，這個(gè)新坐標(biāo)系統(tǒng)稱為模態(tài)空間，表示下：因此我們可以看出，利用模態(tài)變換方程，從物理空間到模態(tài)空間的變換是一個(gè)將復(fù)雜的耦合物理方程組轉(zhuǎn)換為一組簡(jiǎn)單的解耦的單自由度系統(tǒng)的過(guò)程。并且，在圖中我們看到，這個(gè)解析模型可以分解為一組單自由度系統(tǒng)，其中描述第一階模態(tài)的單自由度如藍(lán)色所示，第二階模態(tài)如紅色所示，第三階模態(tài)如綠色所示。模

5、態(tài)空間允許我們方便地利用簡(jiǎn)單的單自由度系統(tǒng)來(lái)描述系統(tǒng)?，F(xiàn)在我們回過(guò)頭來(lái)討論時(shí)域和頻域響應(yīng)，如黑色曲線所示。我們知道，系統(tǒng)的響應(yīng)可以由各階模態(tài)對(duì)其的貢獻(xiàn)得到。黑色所示的總響應(yīng)是由各模型響應(yīng)結(jié)果求和得到的，各模型如藍(lán)色第一階，紅色第二階，和綠色第三階模態(tài)所示。不論我是在時(shí)域還是在頻域來(lái)描述系統(tǒng)，這都是正確的。各域是等同的，只是數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的視角不同而已。這與貨幣非常相似當(dāng)我從一個(gè)國(guó)家到另一個(gè)國(guó)家時(shí)，每個(gè)國(guó)家的貨幣看起來(lái)都不一樣，但其實(shí)都是一回事。所以，我們可以看出，時(shí)域總響應(yīng)是由各階模態(tài)時(shí)域響應(yīng)即藍(lán)色第一階、紅色第二階和綠色第三階模態(tài)的時(shí)域響應(yīng)的貢獻(xiàn)而來(lái)。我們也可以看出，總頻響是由各階模態(tài)頻響即藍(lán)色第

6、一階、紅色第二階和綠色第三階模態(tài)的頻響貢獻(xiàn)而來(lái)。（此處只顯示了頻響函數(shù)的幅值部分；這個(gè)函數(shù)實(shí)際上是復(fù)數(shù)形式，需要用頻響的幅值和相位或者實(shí)部和虛部?jī)刹糠謥?lái)正確表示）。我們可以將解析模型分解為一組單自由度系統(tǒng)，從而能夠確定每個(gè)單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)，如藍(lán)色第一階、紅色第二階、和綠色第三階模態(tài)所示。也能夠確定每個(gè)單自由度系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，對(duì)于脈沖輸入引起的單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)，可通過(guò)閉式解求得或者對(duì)每個(gè)單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的傅立葉逆變換得到。也能夠測(cè)量單位脈沖輸入引起的梁端部響應(yīng)，并且對(duì)系統(tǒng)每階模態(tài)的響應(yīng)進(jìn)行濾波，這樣我們可以觀察系統(tǒng)每階模態(tài)的響應(yīng)，如藍(lán)色第一階、紅色第二階、和綠色第三階模態(tài)示

7、。（當(dāng)然，這里我對(duì)很多理論進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，使得我們能夠理解這些概念。）至此我們已經(jīng)將示意圖中的各個(gè)部分進(jìn)行了單獨(dú)分析，我認(rèn)為我們應(yīng)該已經(jīng)很清楚地認(rèn)識(shí)到時(shí)域、頻域、模態(tài)空間和物理空間之間真的沒(méi)有區(qū)別。每個(gè)域僅僅是為了呈現(xiàn)或觀測(cè)數(shù)據(jù)的一種方便的手段。但是有時(shí)，在一個(gè)域中比另一個(gè)域更容易看清事物。例如，時(shí)域總響應(yīng)不能清楚地表明有多少階模態(tài)對(duì)梁的響應(yīng)有貢獻(xiàn)。然而頻域中的總頻響函數(shù)卻能很清楚地表明有多少階模態(tài)被激發(fā)，以及各階模態(tài)的頻率。所以我們經(jīng)常從一個(gè)域變換到另外一個(gè)域，只不過(guò)是因?yàn)閿?shù)據(jù)更易于解釋。雖然介紹的內(nèi)容并不多，但我希望這個(gè)簡(jiǎn)圖及解釋能幫助你有更深入的理解。好好思考一下。如果您有關(guān)于模態(tài)分析的

8、任何其它問(wèn)題，歡迎垂詢。模態(tài)空間系列（一）你能為我解釋模態(tài)分析嗎？嗯 說(shuō)來(lái)有點(diǎn)話長(zhǎng)，但下面的解釋人人都可理解請(qǐng)我用簡(jiǎn)單的概念來(lái)解釋模態(tài)分析，以便任何人都可以理解它，你不是第一個(gè)人。簡(jiǎn)言之， 模態(tài)分析是一種方法，籍此，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的頻率、阻尼和振型等固有屬性-其動(dòng)態(tài)特性-來(lái)描述結(jié)構(gòu)。這真夠拗口的，那我們來(lái)解釋這是什么意思。不鉆技術(shù)牛角尖，我經(jīng)常用一個(gè)簡(jiǎn)單平板的振動(dòng)模態(tài)來(lái)解釋模態(tài)分析。 對(duì)于剛接觸振動(dòng)及模態(tài)分析的工程師們來(lái)講，這種解釋向來(lái)有益。考慮一個(gè)自由支撐平板，施加常力于平板一角。我們通常從靜態(tài)的意義上來(lái)看待一個(gè)力， 它在平板內(nèi)引起某種靜態(tài)變形。但這里我要做的是施加一個(gè)按正弦方式變化的力，振蕩

9、頻率固定的常力。我們將改變振蕩頻率，但不改變力的峰值-僅是力的振蕩頻率改變。另在平板一角安裝一加速度計(jì)來(lái)測(cè)量激勵(lì)引起的平板應(yīng)。如果現(xiàn)在測(cè)量平板響應(yīng)，注意到當(dāng)改變輸入力的振蕩頻率時(shí)，響應(yīng)幅值也發(fā)生變化。頻率升高過(guò)程中，不同時(shí)刻點(diǎn)上，幅值有增也有減。這好像很奇怪，因?yàn)槲覀兪┘映Ａτ谙到y(tǒng)，響應(yīng)幅值卻隨輸入力的振蕩速率而變化。但這確確實(shí)實(shí)發(fā)生了 當(dāng)施加的力的振蕩速率越來(lái)越接近于系統(tǒng)固有頻率（或共振頻率）時(shí)，響應(yīng)增大，當(dāng)振蕩速率為系統(tǒng)固有頻率時(shí)，響應(yīng)達(dá)到最大值。想想看，這真令人驚奇，因?yàn)槲颐繒r(shí)每刻都施加了相同幅值的力-僅是振蕩速率改變而已！這個(gè)時(shí)域數(shù)據(jù)提供了非常有用的信息。但是 如果采集到時(shí)域數(shù)據(jù)，并利

10、用快速傅立葉變換將它變換到頻域，則可以求得所謂的頻響函數(shù)。 現(xiàn)在有幾點(diǎn)要關(guān)注：系統(tǒng)共振頻率處，這個(gè)函數(shù)上有峰值。輸入激勵(lì)的振蕩速率等于峰值頻率的位置，觀察到了時(shí)域最大響應(yīng)?，F(xiàn)在如果將時(shí)域波形跟頻響圖形疊加在一起，會(huì)注意到時(shí)域波形達(dá)到最大值時(shí)的振蕩頻率與頻響函數(shù)最大峰處的頻率相一致。所以， 既可以利用時(shí)域波形來(lái)確定幅值達(dá)到最大值處的頻率，也可以用頻響函數(shù)來(lái)確定固有頻率何處發(fā)生。顯然，用頻響函數(shù)更容易求。結(jié)構(gòu)為何具有這些固有屬性，你感到大為驚奇。對(duì)了，在這些固有頻率處，變形形式也大為不同，依賴于激振力用哪個(gè)頻率。好了，我們來(lái)看一看，在每個(gè)固有頻率處，結(jié)構(gòu)上的變形形式是怎樣的。在平板上均布 45 個(gè)

11、加速度計(jì)，測(cè)量不同激振頻率的平板響應(yīng)幅值。如果在每個(gè)頻率處駐留-每次一個(gè)固有頻率-可以觀察結(jié)構(gòu)上的變形形式。圖中顯示了按某一階系統(tǒng)固有頻率激勵(lì)時(shí)，得到的變形形式。在第一階固有頻率駐留時(shí)，平板具有第一階彎曲變形形式，如藍(lán)色所示。在第二階固有頻率駐留時(shí)，平板具有第一階扭轉(zhuǎn)變形形式，如紅色所示。在第三、四階固有頻率駐留時(shí)，第二階彎曲和第二階扭轉(zhuǎn)變形形式如綠色和紫紅色所示。這些變形形式稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。（ 從純粹數(shù)學(xué)角度講，這不完全正確。但事實(shí)上，此處簡(jiǎn)單討論起見(jiàn)，這些變形形式非常接近于模態(tài)振型）們?cè)O(shè)計(jì)的所有結(jié)構(gòu)都具有這些固有頻率和模態(tài)振型。從本質(zhì)上講，這些特性依賴于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度，它決定了固有頻

12、率和模態(tài)振型何處存在。 作為設(shè)計(jì)工程師，需要確定這些頻率，并且需要知道當(dāng)力激勵(lì)結(jié)構(gòu)時(shí)，它們是如何影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的。理解模態(tài)振型和受激結(jié)構(gòu)如何振動(dòng)，將有助于設(shè)計(jì)工程師設(shè)計(jì)出更優(yōu)的結(jié)構(gòu)。然而模態(tài)分析的內(nèi)容很多，這只是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的解釋?，F(xiàn)在我們能夠更好地理解模態(tài)分析是什么 它研究結(jié)構(gòu)的固有特性。利用固有頻率和模態(tài)振型（依賴于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布）幫助設(shè)計(jì)噪聲和振動(dòng)方面應(yīng)用的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。我們利用模態(tài)分析來(lái)幫助設(shè)計(jì)所有類型的結(jié)構(gòu)，包括汽車、飛機(jī)、航天器、計(jì)算機(jī)、網(wǎng)球拍、高爾夫球桿 等等。我希望這個(gè)非常簡(jiǎn)明的介紹有助于解釋模態(tài)分析是什么。我曾經(jīng)利用上面的例子向我的媽媽解釋模態(tài)分析，并且我認(rèn)為她第一次真正了解我是從事什么工作的了。 自此以后，聽(tīng)到媽媽給她的朋友們解釋模態(tài)分析，使用了不少非常接近于模態(tài)分析的詞，其中最接近的一次是她稱之為面條分析（ noodle analysis ） 好了，有點(diǎn)扯遠(yuǎn)了!UMASCQ/OOXS LA£QSOHY-加配僦硒必獨(dú)加 M 3器酈平板前四階模態(tài)的振型動(dòng)畫(huà)：見(jiàn)凝SR 稱以-MOW用加密必遇d CONTitDlS血絢到-舞切切獻(xiàn)&o«d加2其