人教版八年級數(shù)學(xué)上冊13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)

1、AB 學(xué)習(xí)目標：學(xué)習(xí)目標：1理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定2能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問 題題3會用尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，會用尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線， 了解作圖的道理了解作圖的道理 學(xué)習(xí)重點：學(xué)習(xí)重點： 線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì) 課件說明課件說明知識回顧 線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？ 什么叫線段的垂直平分線？你能用不同的方法驗證你能用不同的方法驗證這一結(jié)論嗎這一結(jié)論嗎？知識點一：知識點一：線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì)探究：如圖，直線探究：

2、如圖，直線l 垂直平分線段垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是是l 上的點，請猜想點上的點，請猜想點P1，P2，P3， 到點到點A 與點與點B 的的距距離之間的數(shù)量關(guān)系離之間的數(shù)量關(guān)系相相等等 ABlP1P2P3已知：已知：如圖，直線如圖，直線lAB，垂足為，垂足為C，AC = =CB，點，點P 在在l 上上求證：求證：PA = =PB命題：命題：“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等離相等”ABPCl用符號語言表示為：用符號語言表示為： CA = =CB，lAB， 直線直線l是線段AB的垂直平分線PA = =PBABPCl證明證明：lAB， PCA

3、 =PCB= 90 在在APC與與BPC中中 PC=PC（公共邊）（公共邊） PCA=PCB（已證）（已證） AC=BC（已知）（已知） PCA PCB（SAS） PA = =PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)邊相等)已知：已知：如圖，直線如圖，直線lAB，垂足為，垂足為C，AC = =CB，點，點P 在在l 上上求證：求證：PA = =PB線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的性質(zhì)： 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等端點的距離相等提示提示: : 這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等兩條線段相等的的根據(jù)之一根據(jù)之一

4、. .用符號語言表示為：用符號語言表示為： CA = =CB，lAB， 直線直線l是線段AB的垂直平分線PA = =PB小結(jié)：線段垂直平分線的性質(zhì)：小結(jié)：線段垂直平分線的性質(zhì)：2、線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等點的距離相等1、垂直線段，平分線段。、垂直線段，平分線段。8課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)1如圖，如圖，在在ABC 中中，BC = =8，AB 的中垂線的中垂線 交交BC于于D，AC 的中垂線交的中垂線交BC 與與E，則則ADE 的周長等的周長等 于于_A B C D E PAB C 已知：如圖，已知：如圖，PA = =PB求證：點求證：點

5、P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上證明：證明：如圖如圖作作PCPCAB于點于點C 則則PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中， RtPCA RtPCB（HL） AC = =BC又又 PCAB， 點點P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上PA = =PB， PC = =PC，反過來，如果反過來，如果PA = =PB，那么點，那么點P 是否在線段是否在線段AB 的垂直的垂直平分線上呢？平分線上呢？點點P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上 知識點二：知識點二：線段垂直平分線的判定線段垂直平分線的判定用幾何語言表示為用幾何語言表

6、示為：PAB C 線段垂直平分線的判定線段垂直平分線的判定PA = =PB，點點P 在在AB 的垂直平分線上的垂直平分線上這些點能組成什么幾何圖形？這些點能組成什么幾何圖形？ 你能再找一些到線段你能再找一些到線段AB 兩端點的距離相等的點嗎？兩端點的距離相等的點嗎？ 能找到多少個到線段能找到多少個到線段AB 兩端點距離相等的點？兩端點距離相等的點？ 在線段在線段AB 的垂直平分線的垂直平分線l 上的上的點與點與A，B 的距離都相等；反過來，的距離都相等；反過來，與與A，B 的距離相等的點都在直線的距離相等的點都在直線l上，所以上，所以直線直線l 可以看成與兩點可以看成與兩點A、B 的距離相等的

7、所有點的集合的距離相等的所有點的集合PAB C 小結(jié)：小結(jié)：線段垂直平分線的判定方法：線段垂直平分線的判定方法： 1、定義法定義法 2、解：解：ADBC，BD = =DC， AD 是是BC 的垂直平分線，的垂直平分線， AB = =AC 點點C 在在AE 的垂直平的垂直平 分線上，分線上， AC = =CE課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)3如圖，如圖，ADBC，BD = =DC，點點C 在在AE 的的垂直平分線上，垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關(guān)系？的長度有什么關(guān)系？AB+ +BD與與DE 有什么關(guān)系有什么關(guān)系？A B C D E AB = =AC = =CE AB = =CE，BD =

8、 =DC， AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 解：解：AB = =AC，點點A 在在BC 的垂直平分線的垂直平分線MB = =MC，點點M 在在BC 的垂直平分線上的垂直平分線上直線直線AM 是線段是線段BC 的垂直的垂直 平分線平分線 練習(xí)練習(xí)4如圖，如圖，AB = =AC，MB = =MC直線直線AM 是線段是線段BC 的垂直平分線嗎的垂直平分線嗎？A B C D M 練習(xí)練習(xí)5 5、如圖、如圖PA=PBPA=PB，則直線則直線MNMN是線段是線段ABAB的的垂直平分線。垂直平分線。（1）任意取一點）任意取一點K ，使點使點K與點與點C 在直線在直

9、線ABAB兩旁兩旁. .尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線。經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線。（2）以點）以點C C為圓心，為圓心，CKCK為半徑作弧為半徑作弧，交，交ABAB于點于點D D和點和點E.E. （4）作直線）作直線CFCF，直線，直線CF 就是所求作的垂線。就是所求作的垂線。CABKFDE已知：直線已知：直線ABAB和和ABAB外一點外一點C C 求作：求作：ABAB的垂線，的垂線，使它經(jīng)過點使它經(jīng)過點C.C.做法：做法：12DE（3）分別以點）分別以點D D和點和點E E為圓心，大為圓心，大于于 的長為半徑作弧，兩弧相交的長為半徑作弧，兩弧相交于點于點F.F.

10、 如果兩個圖形成軸如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸是任何對稱，其對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線因此，垂直平分線因此，只只要找到任意一組對應(yīng)點，要找到任意一組對應(yīng)點，作出對應(yīng)點所連線段的作出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸圖形的對稱軸如果兩個圖形成軸對稱，怎樣作出圖形的對軸？如果兩個圖形成軸對稱，怎樣作出圖形的對軸？這種作法的依據(jù)是什么？這種作法的依據(jù)是什么？知識點三：作線段的垂直平分線知識點三：作線段的垂直平分線ABCD作法：作法：12（1）分別以點）分別以點A，B 為圓心，以大于為圓心，以大于 AB的長為半徑的長為半徑 作弧，

11、兩弧相交于作弧，兩弧相交于C，D 兩點；兩點；（2）作直線）作直線CD CD 就是所求作的直線就是所求作的直線 這種作圖方法還有哪些作用？這種作圖方法還有哪些作用？確定線段的中確定線段的中點作已知線段的垂線。點作已知線段的垂線。 線段垂直平分線的判定線段垂直平分線的判定 如圖，如圖，已知線段已知線段ABAB，用直尺和圓規(guī)作，用直尺和圓規(guī)作AB AB 的垂直平分線的垂直平分線. .AB分別以點分別以點A、B為圓心，以大為圓心，以大于于 AB的長為半徑作弧，兩弧的長為半徑作弧，兩弧相交于相交于C、D兩點；兩點； 作直線作直線CD . CD即為所求的直線即為所求的直線.21再一次鞏固尺規(guī)作圖再一次鞏

12、固尺規(guī)作圖結(jié)論：結(jié)論：對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點，作出對對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點，作出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸. .1.1.下圖中的五角星有幾條對稱軸？作出下圖中的五角星有幾條對稱軸？作出這些對稱軸這些對稱軸 A AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一對）找出五角星的一對對應(yīng)點對應(yīng)點A A和和B B，連接，連接ABAB（2 2）作出線段）作出線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線n n則則n n就是這個五角星的一條對稱軸就是這個五角星的一條對稱軸 n n用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角

13、星有用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角星有五五條條對稱軸對稱軸 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)1作出下列圖形的一條對稱軸，和同學(xué)比較作出下列圖形的一條對稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對稱軸一樣嗎一下，你們作出的對稱軸一樣嗎？課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)2如圖，角是軸對稱圖形嗎如圖，角是軸對稱圖形嗎？如果是，它的？如果是，它的對稱軸是什么？對稱軸是什么？課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)3如圖，與圖形如圖，與圖形A 成軸對稱的是哪個圖形？成軸對稱的是哪個圖形？畫出它的對稱軸畫出它的對稱軸ABCD性質(zhì)：在線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離都相等。判定：與線段兩個端點距離相等的點都在線

14、段的垂直平分線上。線段垂直平分線的集合定義： 線段垂直平分線可以看作是線段垂直平分線可以看作是與與線段兩個端點距離相等線段兩個端點距離相等的所有點的的所有點的集合。集合。課堂小結(jié)課堂小結(jié)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理的區(qū)別線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理的區(qū)別 二者是互逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的二者是互逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的已知條已知條件是線段垂直平分線件是線段垂直平分線，結(jié)論是垂直平分線上的點與這條結(jié)論是垂直平分線上的點與這條線段兩端點的距離相等線段兩端點的距離相等 線段垂直平分線的判定定理的線段垂直平分線的判定定理的已知條件是一個點與一線已知條件是一個點與一線段兩端點的距

15、離相等段兩端點的距離相等，結(jié)論是這個點在線段的垂直平分結(jié)論是這個點在線段的垂直平分線上線上 線段垂直平分線的線段垂直平分線的性質(zhì)是解決線段相等問題的一種重要性質(zhì)是解決線段相等問題的一種重要方法；方法；線段垂直平分線的判定可用來證明兩線的位置關(guān)線段垂直平分線的判定可用來證明兩線的位置關(guān)系（垂直平分）系（垂直平分） 3 3、如圖，、如圖， ABMND已知：已知： ABCABC中，邊中，邊ABAB、 BC BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于點點P P。求證：。求證：PA=PB=PC.PA=PB=PC.PABC如圖，如圖，A A，B B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個是路邊兩個新建小區(qū)，要在公

16、路邊增設(shè)一個公共汽車站公共汽車站. .使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？車站應(yīng)建在什么地方？BA【提示提示】連接連接ABAB，作，作ABAB的垂直平分線，則與公路的的垂直平分線，則與公路的交點就是要建的公共汽車站交點就是要建的公共汽車站. .有有A A，B B，C C三個村莊，現(xiàn)準備要建一所學(xué)校，要求學(xué)校三個村莊，現(xiàn)準備要建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個村莊的距離相等，請你確定學(xué)校的位置到三個村莊的距離相等，請你確定學(xué)校的位置. .A AB BC C【提示提示】學(xué)校在連接任意兩學(xué)校在連接任意兩點的兩條線段的垂直平分線點的兩條線段的垂直平分線的交點處的交點處. . 如圖，八（如圖，八（5）班