直線方程及圓、橢圓、雙曲線、拋物線定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上直線方程及圓、橢圓、雙曲線、拋物線定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程 歸納整理：杜響1.斜率公式 （、）. 2.直線的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線過點(diǎn)，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式 ()(、 ().(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時為0).3.兩條直線的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；4.夾角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直線l1與l2的夾角是.5. 到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直線l1到l2的角是.6四種常用直線系方程 (1

2、)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中是待定的系數(shù)(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程與直線平行的直線系方程是()，是參變量(4)垂直直線系方程：與直線 (A0，B0)垂直的直線系方程是,是參變量83.點(diǎn)到直線的距離 (點(diǎn),直線：).7. 或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當(dāng)與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當(dāng)與同號時，表示直線的右方的區(qū)域

3、；當(dāng)與異號時，表示直線的左方的區(qū)域. 簡言之,同號在右,異號在左.8. 或所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線（），則或所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 9. 圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .（2）圓的一般方程 (0).（3）圓的參數(shù)方程 .（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、).10. 圓系方程(1)過點(diǎn),的圓系方程是,其中是直線的方程,是待定的系數(shù)(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù)(3) 過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù)11.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).12.直線與圓的位置關(guān)系

4、直線與圓的位置關(guān)系有三種:;.其中.13.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;.14.圓的切線方程(1)已知圓若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當(dāng)圓外時, 表示過兩個切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓過圓上的點(diǎn)的切線方程為;斜率為的圓的切線方程為.1. 橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動

5、點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于常數(shù)，則動點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)叫做橢圓的離心率。說明：若常數(shù)等于，則動點(diǎn)軌跡是線段。若常數(shù)小于，則動點(diǎn)軌跡不存在。2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上圖形范圍頂點(diǎn)對稱軸軸、軸；長軸長，短軸長；焦點(diǎn)在長軸上軸、軸；長軸長，短軸長；焦點(diǎn)在長軸上焦點(diǎn)焦距離心率準(zhǔn)線參數(shù)方程與普通方程的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為3. 焦半徑公式：橢圓上的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)連結(jié)的線段長稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，則，。推導(dǎo)過程：由第二定義得（

6、為點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離），則；同理得。簡記為：左“”右“”。由此可見，過焦點(diǎn)的弦的弦長是一個僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。；若焦點(diǎn)在軸上，則為。有時為了運(yùn)算方便，設(shè)。雙曲線的定義、方程和性質(zhì)1 定義（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于定長2a（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。說明：|PF1|-|PF2|=2a（2a<|F1F2|）是雙曲線；若2a=|F1F2|，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的射線；2a>|F1F2|時無軌跡。設(shè)M是雙曲線上任意一點(diǎn)，若M點(diǎn)在雙曲線右邊一支上，則|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則

7、|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，這是與橢圓不同的地方。（2）第二定義：平面內(nèi)動點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線L的距離之比是常數(shù)e（e>1）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。2 雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形焦 點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）頂 點(diǎn)A1（a，0），A2（-a，0） A1（0，a），A2（0，-a）對稱軸實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在x軸上，c2=a2+b2實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在y軸上，c2=a2+b2離心率準(zhǔn)線方程 準(zhǔn)線間距離為準(zhǔn)線間距離為漸近

8、線方程3 幾個概念（1） 等軸雙曲線：實(shí)、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為。（2） 共軸雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是。 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點(diǎn)在同一個圓周上。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為拋物線的準(zhǔn)線。注： 定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點(diǎn)設(shè)為；一定點(diǎn)（即焦點(diǎn)）；一定直線（即準(zhǔn)線）；一定值1（即動點(diǎn)到

9、定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比1） 定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時，表示橢圓；當(dāng)時，表示雙曲線；當(dāng)時，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（稱焦半徑）與動點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點(diǎn)：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡單，便

10、于應(yīng)用。2四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：，其中： 參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項(xiàng)變量就是， 若的一次項(xiàng)前符號為正，則開口向右，若的一次項(xiàng)前符號為負(fù)，則開口向左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項(xiàng)變量就是， 當(dāng)?shù)囊淮雾?xiàng)前符號為正，則開口向上，若

11、的一次項(xiàng)前符號為負(fù)，則開口向下。 三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 待定系數(shù)法：因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù)，因此要做到“先定位，再定值”。注：當(dāng)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時，若不知開口方向，可設(shè)為或，這樣可避免討論。 拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線性質(zhì)焦點(diǎn)范圍對稱性頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線通徑關(guān)于軸對稱原點(diǎn)注： 焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)

12、系數(shù)的； 對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識拋物線及其性質(zhì)。五、直線與拋物線有關(guān)問題1直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去或化得形如（*）的式子： 當(dāng)時，（*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，此時直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合； 當(dāng)時，若0（*）式方程有兩組不同的實(shí)數(shù)解 直線與拋物線相交； 若=0 （*）式方程有兩組相同的實(shí)數(shù)解 直線與拋物線相切； 若0（*）式方程無實(shí)數(shù)解 直線與拋物線相離.2直線與拋物線相交的弦長問題 弦長公式：設(shè)直線交拋物線于，則或. 若直線與拋物線相交所得弦為焦點(diǎn)弦時,借助于焦半徑公式處理：拋物線上一點(diǎn)的焦半徑長是，拋物線上一點(diǎn)的焦半徑長是六、拋物線焦點(diǎn)弦的幾個常用結(jié)論設(shè)為過拋物線焦點(diǎn)的弦，設(shè)，直線的傾斜角為，則 ； ；以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切； 弦兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)所成三角形的面積； ； 焦點(diǎn)對、在準(zhǔn)線