線性代數(shù)復(fù)習(xí)題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性代數(shù)（理）綜合復(fù)習(xí)資料第一章 階行列式一、選擇填空題： 1、排列的逆序數(shù)為_。 2、行列式中，元素的代數(shù)余子式為 。 3、設(shè)行列式，則 。4、設(shè)行列式，則 。5、個(gè)方程、個(gè)未知量的齊次線性方程組有非零解的充要條件是 。6、設(shè)均為3階方陣，且，則 。7、設(shè)均為3階方陣，且，則 。8、已知多項(xiàng)式，則的最高次數(shù)是 。9、設(shè)為3階矩陣且行列式，則下列說法正確的是（ ）（1）矩陣中必有一列元素等于0；（2）矩陣中必有兩列元素對應(yīng)成比例；（3）矩陣中必有一列向量是其余列向量的線性組合；（4）矩陣中任一列向量是其余列向量的線性組合。10、下列說法錯(cuò)誤的是（ ）（1）若階線性方程

2、組的系數(shù)矩陣行列式，則該方程組存在唯一解；（2）若階線性方程組的系數(shù)矩陣行列式，則該方程組只有零解；（3）一個(gè)行列式交換兩列，行列式值不變；（4）若一個(gè)行列式的一列全為零，則該行列式的值為零。二、計(jì)算下列行列式 1、；2、 3、；4、； 5、； 6、；7、；8、；9、；10、；第二章 矩陣一、選擇填空題 1、設(shè)，則的秩 。 2、設(shè)，則的秩 。 3、設(shè)均為3階方陣，且，則 。4、設(shè)，則。5、設(shè)，則。6、設(shè)和皆為階方陣，則下面論斷錯(cuò)誤的是( )（1）； （2）；（3），其中為的伴隨矩陣；（4）如果，則或。7、設(shè)是階矩陣，是階可逆矩陣，矩陣的秩為，矩陣的秩為，則下列結(jié)論成立的是（ ）。（1）；（2）

3、；（3）；（4）與的關(guān)系不定。8、下面論斷錯(cuò)誤的是( )。（1）若干個(gè)初等陣的乘積必是可逆陣；（2）可逆陣之和未必是可逆陣；（3）兩個(gè)初等陣的乘積仍是初等陣； （4）可逆陣必是有限個(gè)初等陣的乘積。9、設(shè)階實(shí)方陣滿足關(guān)系式，其中為階單位矩陣，則下列關(guān)系式成立的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。10、設(shè)，則下列等式正確的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。二、計(jì)算證明題 1、設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式，且已知，求矩陣。 2、已知，其中，求矩陣。 3、設(shè)為3階矩陣，為3階單位矩陣，滿足關(guān)系式，且已知，求矩陣。4、設(shè)為階矩陣，滿足，（1）證明可逆；（2）若，求矩陣。5、設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨

4、矩陣，求矩陣。6、已知三階矩陣的逆矩陣為，試求伴隨矩陣的逆矩陣。7、已知且，其中是三階單位矩陣，求矩陣。8、設(shè)方陣滿足，證明及都可逆，并求及。9、已知可逆（其中為單位矩陣），試證也可逆，且有。第三章 向量組的線性相關(guān)性和秩一、選擇填空題 1、設(shè)向量組線性無關(guān)，則當(dāng)_ 時(shí)，向量組， 線性相關(guān)。 2、已知向量組，則該向量組的秩為 。 3、已知向量組，的秩為2，則 。4、關(guān)于最大無關(guān)組，下列說法正確的是（ ）（1）秩相同的向量組一定是等價(jià)向量組；（2）一個(gè)向量組的最大無關(guān)組是唯一的；（3）向量組與其最大無關(guān)組是等價(jià)的；（4）如果向量組所含向量的個(gè)數(shù)大于它的秩，則該向量組線性無關(guān)。5、設(shè)矩陣的秩為，則

5、下列說法錯(cuò)誤的是（ ）（1）矩陣存在一個(gè)階子式不等于零；（2）矩陣的所有階子式全等于零；（3）矩陣存在個(gè)列向量線性無關(guān)；（4）矩陣存在個(gè)行向量線性無關(guān)。6、對于線性相關(guān)和線性無關(guān)，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）（1）所含向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組一定線性相關(guān)；（2）如果一個(gè)向量組線性無關(guān)，則該向量組中一定不包含零向量；（3）如果一個(gè)向量組線性相關(guān)，則至少存在一個(gè)向量可以由其它向量線性表示； （4）如果階方陣的行列式為零，則該矩陣的列向量組一定線性無關(guān)。7、維向量組線性無關(guān)的充要條件是（ ）（1）存在一組不全為零的數(shù)，使得；（2）中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表示；（3）中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)

6、；（4）中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示。8、向量組線性無關(guān)的充分條件是（ ）（1）均不為零向量；（2）中任意兩個(gè)向量的分量不成比例；（3）中任意一個(gè)向量都不能用其余個(gè)向量線性表示；（4）中有一部分向量線性無關(guān)。9、已知向量組線性無關(guān)，則下列說法正確的是( )（1）線性無關(guān)；（2）線性無關(guān)；（3）線性無關(guān)；（4）線性無關(guān)。10、下列說法錯(cuò)誤的是（ ）（1）矩陣的秩等于該矩陣的行向量組的秩；（2）矩陣的秩等于該矩陣的列向量組的秩；（3）一個(gè)階方陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；（4）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。二、計(jì)算證明題 1、已知向量組，求該向量組的秩和一個(gè)最大

7、無關(guān)組，并將剩余向量用該最大無關(guān)組線性表示。 2、已知向量組（）；（）；（），如果各向量組的秩分別為，證明：線性無關(guān)。 3、已知向量組，的秩為2，試求的值。4、已知向量組，求該向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組，并將剩余向量用該最大無關(guān)組線性表示。5、設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：線性無關(guān)。6、設(shè)向量組線性無關(guān)，記，證明：也線性無關(guān)。7、已知向量組，線性相關(guān)，試求的值。8、已知向量組，問：（1），是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？為什么？（2）求，的一個(gè)極大無關(guān)組。9、設(shè)向量組線性無關(guān)，記，證明：也線性無關(guān)。10、設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：線性無關(guān)。第四章 線性方程組一、選擇填空題 1、線性方程組有解的充要條件是 。2

8、、線性方程組有解的充要條件是 。3、設(shè)是階矩陣，是非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（ ）（1）若僅有零解，則有唯一解；（2）若有非零解，則有無窮多個(gè)解；（3）若有無窮多個(gè)解，則僅有零解；（4）若有無窮多個(gè)解，則有非零解。4、已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，是對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，是任意常數(shù)，則方程組的通解必是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。5、設(shè)是階矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件是（ ）（1）的列向量線性無關(guān)；（2）的列向量線性相關(guān)；（3）的行向量線性無關(guān)；（4）的行向量線性相關(guān)。二、計(jì)算題1、設(shè)有線性方程組 ，問為何值時(shí)，方程組有唯一解？

9、 無解？有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求通解（用基礎(chǔ)解系表示）。2、為何值時(shí)，非齊次線性方程組 有唯一解？無解？有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求通解（用基礎(chǔ)解系表示）。3、為何值時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解、無解、無窮多解？在有無窮多解時(shí)求通解（用基礎(chǔ)解系表示）。4、問為何值時(shí)，非齊次線性方程組有解？并求出解的一般形式。5、問為何值時(shí)，非齊次線性方程組 有唯一解？無解？有無窮多解？6、設(shè)有線性方程組 ，問為何值時(shí)，方程組有唯一解？ 無解？有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求通解（用基礎(chǔ)解系表示）。第五章 相似矩陣及二次型一、選擇填空題1、二次型的矩陣為。2、二次型的矩陣為。3、若的特征值為，則的特征值為 。4

10、、已知矩陣和相似，且的特征值為，則的特征值為 。5、設(shè)與都是矩陣，則與等價(jià)的充要條件是 。6、已知三階矩陣的3個(gè)特征值為，則 。7、設(shè)階實(shí)方陣滿足關(guān)系式，其中為階單位矩陣，則下列關(guān)系式成立的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。8、設(shè)和皆為階方陣，則下面論斷錯(cuò)誤的是( )（1）與等價(jià)的充要條件是；（2）若與等價(jià)，則；（3）與等價(jià)的充要條件是存在可逆陣，使；（4）可逆的充要條件是等價(jià)于。9、設(shè)和皆為階實(shí)方陣，則下面論斷錯(cuò)誤的是( )（1）與相似的充要條件是存在可逆陣，使得；（2）若是反對稱矩陣，則；（3）若可逆，則可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；（4）若是正交矩陣，則。10、對階實(shí)矩陣和非零常

11、數(shù)，下列等式中正確的是（ ）（1）（2）（3）（4）。二、計(jì)算題1、求一正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。2、已知矩陣求一正交矩陣，使得為對角矩陣。3、求一正交變換，將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。4、已知矩陣求一正交矩陣，使得為對角矩陣。5、求一正交變換使化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形。6、求一正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形式。第六章 線性空間與線性變換一、選擇填空題1、設(shè)中的線性變換把基變?yōu)榛?，則在基下的矩陣為 。2、設(shè)中的線性變換：，則在基，下的矩陣為 。3、下列關(guān)于線性空間的說法不正確的是（ ）（1）次數(shù)為的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線性空間；（2）階矩陣的集合對于矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線

12、性空間；（3）維向量的集合對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線性空間；（4）齊次線性方程組所有解的集合對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線性空間。4、設(shè)是線性空間中的線性變換，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）（1）；（2）；（3）設(shè)向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)； （4）設(shè)向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)。5、下列變換不是線性變換的是（ ）（1）在中，；（2），其中為階矩陣；（3），其中為不超過次的多項(xiàng)式；（4）。二、計(jì)算題1、在線性空間中，已知兩個(gè)基：，求由基到基的過渡矩陣。2、設(shè)中的線性變換在基，下的矩陣為，另取基，求在該基下的矩陣。參考答案和提示：第一章一1、9；2、-64；3、18；4、24；5、；

13、6、33；7、-36；8、3；9、（4）；10、（3）。二1、提示：利用初等行變換，簡化行列式即得。2、提示：利用初等行變換，簡化行列式，再利用行列式的性質(zhì)即得。3、提示：利用初等列變換（第1列乘以-1加到其它各列，再對后3列類似處理）。4、提示：利用初等列變換（第1行乘以-1分別加到第2至n行）即得。5、提示：利用初等變換（第2行乘以-1加到后面各行，然后將第2列乘以-1加到后面各列，再利用行列式展開定理即得），6、提示：第1行乘以-1加到第2行，第2行再乘以-1加到第3行，以此類推即得。7、提示：將第n-1列乘以-1加到第n列，再將第n-2列乘以-1加到第n-1列，以此類推；然后將第1行乘

14、以（-1）依次加到第2至n行，再利用行列式展開定理即得。8、提示：將第2至n行依次加到第1行，再提出第1行的公因子，然后利用初等行變換化簡行列式即得。9、提示：將第1行乘以（-1）依次加到第2至n行，然后再將第2行乘以（-1）依次加到第3-n行，重復(fù)上述過程n-1步即得。10、利用行列式展開定理，將行列式按照第1列展開即得。第二章一1、2；2、2；3、48；4、；5、；6、（4）；7、（3）；8、（3）；9、（4）；10、（2）。二、解：1、，所以可逆。由條件知，。2、由得，其中為3階單位矩陣，所以。3、由條件知，且可逆，所以。4、（1）由，利用逆矩陣的定義知，可逆，且；（2）由（1）知，且，

15、所以。5、，根據(jù)，得，移項(xiàng)得。6、已知，首先計(jì)算矩陣，利用求逆方法得 根據(jù)，則。7、 。8、，所以及均可逆，；，所以可逆，。9、利用逆矩陣的定義驗(yàn)證即可。第三章一1、-1；2、2；3、3；4、（2）；5、（4）；6、（4）；7、（4）；8、（3）；9、（1）；10、（3）。二1、解：將給定的向量按行排列成矩陣，利用初等行變換將其化為階梯形矩陣即可：所以該向量組的秩為3，是一個(gè)最大無關(guān)組，且。2、證明：由題意知，向量組（）和（）的秩都是 3，則必線性無關(guān)，線性相關(guān)，故可由線性表示，記為；而（）的秩為4，則必線性無關(guān)。設(shè)，代入得，整理得，由線性無關(guān)知，所以，即線性無關(guān)。3、解：提示：利用秩的定義和

16、初等行變換將向量按行排成的矩陣化為階梯形矩陣即得因?yàn)樵撓蛄拷M的秩為2，則非零行數(shù)為2，所以。4、將給定的向量按行排列成矩陣，利用初等行變換將其化為階梯形矩陣即可：所以該向量組的秩為2，是一個(gè)最大無關(guān)組，且有。5、證明：設(shè)，即，因?yàn)榫€性無關(guān)，則有，系數(shù)行列式為，所以只有零解，線性無關(guān)。6、證明：設(shè)，即，所以也線性無關(guān)。7、解：設(shè)，即，因?yàn)榫€性相關(guān)，則不全為零，由方程組知，故均不為零，得。8、將給定的向量按行排列成矩陣，利用初等行變換將其化為階梯形矩陣即可： （1）由可知：，線性相關(guān)；（2），的一個(gè)最大線性無關(guān)組為，。9、證明：設(shè)，即，所以也線性無關(guān)。10、證明：設(shè)，即，因?yàn)榫€性無關(guān)，則有系數(shù)行列

17、式為，所以只有零解，線性無關(guān)。第四章一1、2；2、；3、（4）；4、（2）；5、（1）。二解：1、對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，根據(jù)方程組的解與系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩之間的關(guān)系即得當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解（系數(shù)行列式非零）；當(dāng)且時(shí)，方程組無解（）；當(dāng)且時(shí)，方程組有無窮多解（）；此時(shí)齊線性方程組的基礎(chǔ)解系為，非齊線性方程組的特解為，通解為。2、，（1）當(dāng)且時(shí)，有唯一解； （2）時(shí)， 所以方程組有無窮多解；齊線性方程組的基礎(chǔ)解系為，非齊線性方程組的特解為，通解為（3）時(shí)， 所以方程組無解。3、解法同上題。（1）當(dāng)且時(shí)，有唯一解； （2）時(shí)， 所以無解；（3）時(shí)， 所以有無窮多解； 基礎(chǔ)解系為，

18、 特解為，通解為 。4、提示：對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，根據(jù)方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等即得當(dāng)時(shí)，方程組有解；相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為：，非齊次方程組的一個(gè)特解為，故此時(shí)方程組的解的一般形式為（為任意實(shí)數(shù)）。5、提示：對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，根據(jù)方程組有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式不等于零，有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等即得系數(shù)矩陣的行列式為，當(dāng)時(shí)方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)方程組無解；當(dāng)時(shí)方程組有無窮組解；當(dāng)時(shí)方程組無解。6、對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，根據(jù)方程組的解與系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩之間的關(guān)系即得當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解（系數(shù)行列式非零）；當(dāng)且時(shí)，方程組無解（）；當(dāng)且時(shí)