命題的四種形式

1、1.3.2命題的四種形式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解四種命題的概念，會寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.認(rèn)識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系(重點)3.會利用命題的等價性解決問題(難點、易混點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1四種命題欄目內(nèi)容名稱定義表示形式互逆命題對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這樣的兩個命題叫作互逆命題其中一個命題叫原命題，另一個叫作原命題的逆命題原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”互否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定這樣的兩個命題叫作互否命題如果把其中的一個命題叫

2、作原命題，那么另一個叫作原命題的否命題原命題為“若p，則q”；否命題為“若p，則q”互為逆否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定這樣的兩個命題叫作互為逆否命題如果把其中的一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的逆否命題原命題為“若p，則q”；逆否命題為“若q，則p”思考1：任何一個命題都有逆命題、否命題和逆否命題嗎？提示因為任何一個命題都包含條件和結(jié)論兩部分，通過條件和結(jié)論的不同變換都可以得到這個命題的逆命題、否命題和逆否命題因此任何一個命題都有逆命題、否命題和逆否命題2四種命題間的相互關(guān)系(1)形式關(guān)系(2)真假關(guān)系：互為逆否的兩個命題是等價的

3、，它們有相同的真假性互逆或互否的兩個命題是不等價的，它們的真假性沒有關(guān)系思考2：若兩個命題為互否命題，則它們的真假性肯定不相同，這種說法正確嗎？提示互否命題的真假性沒有關(guān)系，但也可能相同，故此說法錯誤基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)若一個命題是真命題，則其逆否命題是真命題()(2)若一個命題是假命題，則其逆命題有可能是真命題()(3)命題“若x2y2，則xy”的否命題是“若xy，則x2y2”()提示(1)(2)(3)ד若p，則q”的否命題為“若p，則q”故“若x2y2，則xy”的否命題為“若x2y2，則xy”2命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的()

4、A逆命題B否命題C逆否命題D無關(guān)命題A兩個命題條件與結(jié)論互換，故互為逆命題3命題“若a5，則a225”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，假命題是 ()【導(dǎo)學(xué)號：73122060】A原命題、否命題 B原命題、逆命題C原命題、逆否命題D逆命題、否命題D原命題為真，逆命題為假，逆否命題為真，否命題為假4命題“已知不共線向量e1，e2，若e1e20，則0”的否命題為_，是_命題(填“真”或“假”)已知不共線向量e1，e2，若e1e20，則0或0真否命題即把原命題的條件和結(jié)論都否定合 作 探 究·攻 重 難四種命題之間的轉(zhuǎn)換寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題【導(dǎo)學(xué)號：7312206

5、1】(1)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于平面；(2)如果x10，那么x>0；(3)當(dāng)x2時，x2x60.解(1)逆命題：如果一條直線垂直于平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；否命題：如果直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線不垂直于平面；逆否命題：如果一條直線不垂直于平面，那么這條直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(2)逆命題：如果x0，那么x10；否命題：如果x10，那么x0；逆否命題：如果x0，那么x10.(3)逆命題：如果x2x60，那么x2；否命題：如果x2，那么x2x60；逆否命題：如果x2x60，那么x2.規(guī)律方法寫命題的四種形式時

6、，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題.提醒：在寫命題時，為了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)奶砑右恍┰~語，但不能改變條件和結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1命題：“若a·b0，則a，b都不為零”的逆否命題是_若a，b至少有一個為零，則a·b0由“若p，則q”的逆否命題為“若q，則p”可得2寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題(1)當(dāng)c>0時，若a>b，則acbc；(2)正數(shù)m的平方大于0.解(1)逆命題：當(dāng)c>0時，若acbc，則ab；否命題：當(dāng)c>0時，若ab，則acbc；逆否命題：當(dāng)c>0時，若acb

7、c，則ab.(2)逆命題：若m2>0，則m>0；否命題：若m0，則m20；逆否命題：若m20，則m0.四種命題間的關(guān)系及真假判斷寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假(1)垂直于同一個平面的兩直線平行(2)若m·n<0，則方程mx2xn0有實數(shù)根(3)若ab0，則a0或b0.思路探究解(1)逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一個平面，假命題否命題：如果兩條直線不垂直于同一平面，那么這兩條直線不平行，假命題逆否命題：如果兩條直線不平行，那么這兩條直線不垂直于同一平面，真命題(2)逆命題：若方程mx2xn0有實數(shù)根，則m·n&l

8、t;0，假命題否命題：若m·n0，則方程mx2xn0沒有實數(shù)根，假命題逆否命題：若方程mx2xn0沒有實數(shù)根，則m·n0，真命題(3)逆命題：若a0或b0，則ab0，真命題否命題：若ab0，則a0且b0，真命題逆否命題：若a0且b0，則ab0，真命題規(guī)律方法要判斷四種命題的真假：首先，要熟練四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識判斷真假時，一定要對有關(guān)知識熟練掌握.跟蹤訓(xùn)練3下列命題：“如果xy1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題；“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；“如果ac2>bc2，則a>b”的逆命題其中

9、真命題是_. 【導(dǎo)學(xué)號：73122062】“如果xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“如果x，y互為倒數(shù)，則xy1”，是真命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；“梯形不是平行四邊形”本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；“如果ac2>bc2，則a>b”的逆命題是“如果a>b，則ac2bc2”，是假命題所以真命題是.4寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假(1)在ABC中，若a>b，則A>B；(2)相等的兩個角的正弦值相等；(3)若x22x30，則x3；(4)若xA，則xAB.解(1)逆命題：在

10、ABC中，若A>B，則a>b.真命題；否命題：在ABC中，若ab，則AB.真命題；逆否命題：在ABC中，若AB，則ab.真命題(2)逆命題：若兩個角的正弦值相等，則這兩個角相等假命題；否命題：若兩個角不相等，則這兩個角的正弦值也不相等假命題； 逆否命題：若兩個角的正弦值不相等，則這兩個角不相等真命題(3)逆命題：若x3，則x22x30.真命題；否命題：若x22x30，則x3.真命題；逆否命題：若x3，則x22x30.假命題(4)逆命題：若xAB，則xA.真命題；否命題：若A，則xAB.真命題；逆否命題：若xAB，則xA.假命題.等價命題的應(yīng)用探究問題1直接證明原命題有困難時，應(yīng)如何

11、證明？提示由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明一個命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真來間接證明原命題為真，即正難則反的思想2四種命題之間有怎樣的相互關(guān)系？提示(1)四種命題中原命題具有相對性，任意確定一個為原命題，其逆命題、否命題、逆否命題就確定了，所以“互逆”“互否”“互為逆否”具有對稱性(2)在原命題、逆命題、否命題與逆否命題這四種命題中，有兩對互逆命題，兩對互否命題，兩對互為逆否命題它們分別為：兩對互逆命題：原命題與逆命題，否命題與逆否命題兩對互否命題：原命題與否命題，逆命題與逆否命題兩對互逆否命題：原命題與逆否命題，逆命題與否命題(3)由于原命題與其逆否命題的

12、真假性相同，所以原命題與其逆否命題是等價命題，因此當(dāng)直接證明或判斷原命題困難時，可以轉(zhuǎn)化成證明其逆否命題判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，則a1”的逆否命題的真假. 【導(dǎo)學(xué)號：73122063】思路探究可以先寫出逆否命題，直接判斷其真假，也可以利用原命題與逆否命題的真假性相同去判斷原命題的真假問題中涉及不等式的解集，還可以利用集合的包含、相等關(guān)系求解解法一：逆否命題為：已知a，x為實數(shù)，若a<1，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集拋物線yx2(2a1)xa22開口向上，對應(yīng)方程的判別式(2a1)24(a22)4a7.因為a&

13、lt;1，所以4a7<0，即拋物線與x軸無交點，所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集故逆否命題為真法二：先判斷原命題的真假因為a，x為實數(shù)，關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a.因為a>1，所以原命題為真又因為原命題與其逆否命題的真假性相同，所以逆否命題為真法三：命題p：關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220有非空解集，命題q：a1.所以命題p：Aa|關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220有實數(shù)解a|(2a1)24(a22)0.命題q：Ba|a1因為AB，所以“若p，則q”為真，所以“若p，則q”的逆

14、否命題“若q，則p”為真，即原命題的逆否命題為真母題探究：1.(改變問法)本例中判斷命題“已知a，x為實數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集，則a2”的逆命題的真假解逆命題為：已知a，x為實數(shù)，若a2，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集拋物線yx2(2a1)xa22開口向上，對應(yīng)方程的判別式4a7，因為a2時，4a71所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不一定為空集故逆命題為假命題2(變換條件)本例1中判斷命題“已知a，x為實數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa22>0的解集是R，則a<”的逆否命題的真假解先判斷原命題的真假如

15、下：因為a，x為實數(shù)，關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa22>0的解集為R，且拋物線yx2(2a1)xa22的開口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以a<.所以原命題是真命題因為互為逆否命題的兩個命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真命題規(guī)律方法(1)當(dāng)原命題的真假不易判斷，而逆否命題較容易判斷真假時，可通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假.(2)在證明某一個命題的真假性有困難時，可以證明它的逆否命題為真(假)命題，來間接地證明原命題為真(假)命題.(3)四種命題中，原命題與其逆否命題是等價的，有相同的真假性，否命題與其逆命題也是互為逆否命題，解題時不要忽視.當(dāng) 堂

16、 達 標(biāo)·固 雙 基1命題“若m10，則m2100”與其逆命題，否命題，逆否命題這四個命題中，真命題是()A原命題、否命題B原命題、逆命題C原命題、逆否命題D逆命題、否命題C由原命題為真命題，所以逆否命題也是真命題2命題：“若x2<1，則1<x<1”的逆否命題是 ()【導(dǎo)學(xué)號：73122064】A若x21，則x1，或x1B若1<x<1，則x2<1C若x>1，或x<1，則x2>1D若x1，或x1，則x21答案D3命題“若a2b2，則ab”的否命題是()A若a2b2，則abB若a2b2，則abC若ab，則a2b2D若ab，則a2b2答案B4命題“若x3，y5，則xy8”的逆命題是_；否命題是_；逆否命題是_答案逆命題：若xy8，則x3，y5；否命題：若x3，或y5，則xy8；逆否命題：若xy8，