變化的快慢與變化率

1、§1變化的快慢與變化率1.了解函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的定義，會求簡單函數(shù)的平均變化率.(重點)2.知道用平均變化率“逼近”瞬時變化率，知道變化率是描述函數(shù)變化快慢的量.(重點、難點)基礎(chǔ)·初探教材整理1函數(shù)的平均變化率閱讀教材P25P27“練習(xí)1”以上部分，完成下列問題.1.定義：對一般的函數(shù)yf(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為.通常我們把自變量的變化x2x1稱作自變量的改變量，記作x，函數(shù)值的變化f(x2)f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作y.這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之

2、比，即.2.作用：平均變化率用來刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢.判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)由xx2x1，知x可以為0.()(2)yf(x2)f(x1)是xx2x1相應(yīng)的改變量，y的值可正，可負，也可為零，因此平均變化率可正，可負，可為零.()(3)對山坡的上、下兩點A，B中，可以近似刻畫彎曲山路的陡峭程度.()【答案】(1)×(2)(3)教材整理2函數(shù)瞬時變化率閱讀教材P27“練習(xí)1”以下至P30“練習(xí)2”以上部分，完成下列問題.1.定義：對于一般的函數(shù)yf(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)xx1x0，yf(x1)f(x0), 則函數(shù)的平

3、均變化率是.當(dāng)x趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.2.作用：瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在一點處變化的快慢.一質(zhì)點運動規(guī)律是st23(s的單位為m，t的單位為s)，則在t1 s時的瞬時速度估計是_m/s.【解析】ss(1t)s(1)(1t)23(123)2t(t)2，2t，當(dāng)t趨于0時，趨于2.【答案】2質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：小組合作型求函數(shù)的平均變化率(1)已知函數(shù)yf(x)x21，則在x2，x0.1時，y的值為()B.0.41C.0.43D.0.44(2)已知函數(shù)f(x)x，分別計算f(x)在自變

4、量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.【精彩點撥】(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得.(2)【自主解答】(1)yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.【答案】B(2)自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x)的平均變化率為；自變量x從3變到5時，函數(shù)f(x)的平均變化率為.因為<，所以函數(shù)f(x)x在自變量x從3變到5時函數(shù)值變化得較快.1.求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步，求自變量的增量xx2x1.第二步，求函數(shù)值的增量yf(x2)f(x1).第三步，求平均變化率.2.求平均變化率的一個關(guān)注點求點x0附近的平均變

5、化率，可用的形式.再練一題1.函數(shù)yx21在1，1x上的平均變化率是() 【導(dǎo)學(xué)號：94210031】A.2B.2xC.2xD.2(x)2【解析】y(1x)21(121)2xx2，2x，故選C.【答案】C平均變化率的實際應(yīng)用甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關(guān)系如圖2­1­1所示，試比較兩人的速度哪個快？圖2­1­1【精彩點撥】比較相同的時間t內(nèi)，兩人走過的路程的平均變化率的大小即可得出結(jié)果.【自主解答】在t0處，s1(t0)s2(t0)，但s1(t0t)>s2(t0t)，故<.所以在相同時間內(nèi)乙的速度比甲的速度快，因此，在

6、如題圖所示的整個運動過程中乙的速度比甲的速度快.1.本題中比較兩人的速度，其實就是比較兩人走過的路程對時間的平均變化率，通過比較平均變化率的大小關(guān)系得出結(jié)論.2.平均變化率的絕對值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化越快；平均變化率的絕對值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化越慢.再練一題2.某手機配件生產(chǎn)流水線共有甲、乙兩條，產(chǎn)量s(單位：個)與時間t(單位：天)的關(guān)系如圖2­1­2所示，則接近t0天時，下列結(jié)論中正確的是()圖2­1­2A.甲的日生產(chǎn)量大于乙的日生產(chǎn)量B.甲的日生產(chǎn)量小于乙的日生產(chǎn)量C.甲的日生產(chǎn)量等于乙的日

7、生產(chǎn)量D.無法判定甲的日生產(chǎn)量與乙的日生產(chǎn)量的大小【解析】由平均變化率的幾何意義可知，當(dāng)接近于t0時，曲線乙割線的斜率大于曲線甲割線的斜率，故乙的日產(chǎn)量大于甲的日產(chǎn)量.【答案】B探究共研型瞬時變化率探究1高臺跳水運動員相對于水面的高度h與起跳時間t的函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10，求運動員在時間內(nèi)的平均速度為多少？【提示】易知hh(0)，0.探究2物體的平均速度能否精確反映物體的運動狀態(tài)？【提示】不能.如高臺跳水運動員從起跳高度到最高點后回到起跳高度的過程中，平均速度為0，而運動員一直處于運動狀態(tài).探究3如何描述物體在某一時刻的運動狀態(tài)？【提示】可以使用瞬時速度精確描述物體在某一時刻的

8、運動狀態(tài).要求物體在t0時刻的瞬時速度，設(shè)運動方程為ss(t)，可先求物體在(t0，t0t)內(nèi)的平均速度，然后t趨于0，得到物體在t0時刻的瞬時速度.一輛汽車按規(guī)律s3t21做直線運動，估計汽車在t3 s時的瞬時速度.(時間單位：s；位移單位：m)【精彩點撥】先求時間從3到3t時的平均速度，再由t趨于0求得瞬時速度.【自主解答】當(dāng)時間從3變到3t時，3t18，當(dāng)t趨于0時，趨于常數(shù)18.這輛汽車在t3 s時的瞬時速度為18 m/s.求函數(shù)f(x)在點xx0處的瞬時變化率的步驟：(1)求yf(x0x)f(x0)；(2)計算，并化簡，直到當(dāng)x0時有意義為止；(3)將x0代入化簡后的即得瞬時變化率.

9、再練一題3.求函數(shù)yf(x)3x2x在點x1處的瞬時變化率. 【導(dǎo)學(xué)號：94210032】【解】yf(1x)f(1)3(1x)2(1x)(31)7x3(x)2.73x.當(dāng)x趨于0時，73x趨于73×07.函數(shù)y3x2x在點x1處的瞬時變化率為7.構(gòu)建·體系1.在曲線yx21的圖像上取一點(1，2)及附近一點(1x，2y)，則為()A.x2B.x2C.x2D.2x【解析】2x，故選C.【答案】C2.一質(zhì)點運動的方程為s53t2，則在一段時間1，1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A.3t6B.3t6C.3t6D.3t6【解析】63t.【答案】D3.已知函數(shù)y，當(dāng)x由2變?yōu)?.5時，函數(shù)的改變量y_. 【導(dǎo)學(xué)號：94210033】【解析】y.【答案】4.設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(x)1 100，其中x為產(chǎn)量數(shù)，生產(chǎn)900個單位到1 000個單位時總成本的平均變化率為_.【解析】.【答案】5.在F1賽車中，賽車位移s與比賽時間t存在函數(shù)關(guān)系s10t5t2(s的單位為m，t的單位為s)，求：(1)t20，t0.1時s與；(2)t20時的瞬時速度.【解】(1)ss(2