教案3級第五講二元一次方程組

1、 黃岡七級思維數(shù)學(xué)(第三級)第六講二元一次方程教學(xué)內(nèi)容：二元一次方程教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生正確掌握二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義，并會(huì)檢驗(yàn)一對數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解；2、通過練習(xí)和討論，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析問題的能力；3、使學(xué)生正確掌握用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組；4、理解代入消元法和加減消元法的基本思想體現(xiàn)了“化未知為已知”，“變陌生為熟悉”的化歸思想方法；5、使學(xué)生了解三元一次方程組的概念，會(huì)用消元法解簡單的三元一次方程組；6、使學(xué)生正確掌握布列二元一次方程組解應(yīng)用題；7、通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)

2、： 1、用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組； 2、用代入法解未知數(shù)系數(shù)的絕對值不為1的二元一次方程組； 3.、運(yùn)用消元法解三元一次方程組； 4.、根據(jù)已知量與未知量間的等量關(guān)系布列方程組。教學(xué)難點(diǎn)： 1、明確用加減法解二元一次方程組的關(guān)鍵是必須使兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等 2.、進(jìn)一步理解在用代入消元法和加減消元法解方程組時(shí)所體現(xiàn)的化歸意識 3、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄏ夥匠探M4.、如何正確分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系教學(xué)方法：講授法、自主合作探究法.教學(xué)過程：第一課時(shí)一、創(chuàng)設(shè)情境問題：1我們在初一時(shí)學(xué)習(xí)了一元一次方程的有關(guān)概念及其解法，誰能寫出一個(gè)元一次方程，并指出它的解是多少？2為

3、什么它(是指學(xué)生回答問題(1)時(shí)例舉的方程)叫一元一次方程？3方程中“元”是指什么？“次”是指什么？4.一個(gè)農(nóng)民有若干只雞和兔子，它們共有50個(gè)頭和140只腳，問雞和兔子各多少只？教師提出：這是一個(gè)非常有意思的問題，它曾在好幾個(gè)世紀(jì)里引起過人們的興趣，我想這個(gè)問題也一定會(huì)使在坐的每一名同學(xué)感興趣那么，現(xiàn)在我們怎樣來解答這個(gè)問題呢？(先讓學(xué)生思考一下，然后自己做出解答，教師巡視最后，在學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)給出各種解法)解法一：在分析時(shí)，可提出如下問題：150只動(dòng)物都是雞，對嗎？(不對，因?yàn)?0只雞有100只腳，腳數(shù)少了)250只動(dòng)物都是兔子對嗎？(不對，因?yàn)?0只兔子共有200只腳，腳

4、數(shù)多了)3一半是雞，一半是兔子對嗎？(不對，因?yàn)?5只雞，25只兔共有150只腳，多10只腳)怎么辦？(在學(xué)生思考后，教師指出：我們可采取逐步調(diào)整，驗(yàn)算的方法來加以解決)4若增加一只雞，減少一只兔，那么動(dòng)物總只數(shù)，腳數(shù)分別怎樣變化？(當(dāng)增加一只雞，減少一只兔時(shí)，動(dòng)物的總只數(shù)不變，腳數(shù)比原來少兩只)5現(xiàn)在你是否知道有幾只雞、幾只兔？(若學(xué)生回答還是感到困難，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一半是雞，一半是兔時(shí)多10只腳，做出5次如問題4所述的方法進(jìn)行調(diào)整，即增加5只雞，減少5只兔，則多出的10只腳就沒有了，故答案是30只雞、20只兔)此時(shí)，教師指出：這個(gè)問題是解決了，但它在很大程度上依賴于數(shù)字，50和140比

5、較小，比較簡單，若它們相當(dāng)大且又很復(fù)雜，那么像上述方法這樣一次次的試算就很麻煩了然后提出問題：是否可有其它的方法來解決這個(gè)問題呢？(若學(xué)生在思考后，還很茫然，則教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試可否用一元一次方程來解由一名學(xué)生板演，其余學(xué)生自行完成)解法二：設(shè)有x只雞，則有(50-x)只兔根據(jù)題意，得2x4(50-x)=140(解方程略)追問：對于上面的問題用一元一次方程可解，是否還有其它方法可解？(若學(xué)生想不到，教師可引導(dǎo)學(xué)生注意，要求的是兩個(gè)未知數(shù)，能否設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列方程求解呢？讓學(xué)生自己設(shè)未知數(shù)，列方程然后請一名學(xué)生板演解所列的方程)解法三：設(shè)有x只雞，y只兔，依題意得xy=50，2x+4y=140二、探

6、索新知 1.二元一次方程的定義 針對學(xué)生列出的這兩個(gè)方程，提出如下問題：1結(jié)合前面的復(fù)習(xí)提問，這兩個(gè)方程應(yīng)該叫幾元幾次方程呢？2為什么叫二元一次方程呢？3什么樣的方程叫二元一次方程呢？結(jié)合學(xué)生的回答，教師板書二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)次數(shù)是1的方程，叫做二元一次方程從解法一我們還知道，x=30，y=20，使方程組中每一個(gè)方程成立所以我們把（板書：使二元一次方程組的兩個(gè)方程左、右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解)將上述問題的三種解法進(jìn)行優(yōu)劣對比，你有哪些想法呢？(若學(xué)生回答得不全面，不確切，教師可補(bǔ)充歸納如下：當(dāng)我們運(yùn)用代數(shù)知識將問題翻譯成代數(shù)語言列方程時(shí)

7、，就可以借助代數(shù)運(yùn)算來求解，從上面的問題可以看到，列二元一次方程組比列一元一次方程容易)精例精析例1、（1）已知方程是二元一次方程，求，的值。分析：根據(jù)二元一次方程的概念可知，所給的方程必須含有兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)是，另一個(gè)是，這就要求，另外，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，即，。解：由題意得 所以 所以（2）已知是方程的解，求值。分析：把代入方程即可求得值。解： 把代入方程，即【小結(jié)】能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解。（3）設(shè)，為正整數(shù)，求的所有解。分析：分別以，2，3，4代入方程即可求解。解：分別以，2，3，4代入方程，得出相應(yīng)的值，當(dāng) 取比4大的值時(shí)，相應(yīng)的值都不是“正整數(shù)”。所以原方程

8、的正整數(shù)解是： 【小結(jié)】二元一次方程雖有無窮多個(gè)解，但是未知數(shù)有某些限制條件時(shí)，二元一次方程的解有有限個(gè)，找解時(shí)，由系數(shù)較大者先決定的較方便。練習(xí)：P53:初試身手12.二元一次方程組的解法（1）用代入消元法解二元一次方程組。代入消元法： 在二元一次方程組中，由二元一次方程組中的一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫代入消元法，簡稱代入法。精例精析： 例2、解方程組： 分析：方程的特點(diǎn)是用含x的代數(shù)式表示，索引可以直接把代入即可消去。解：把代入，得，解x=4把x=4代入,得y=5所以原方程組的解為【小結(jié)】用

9、代入消元法解二元一次方程組，關(guān)鍵是靈活“變形”和“代入”，達(dá)到消元的最終目的。練習(xí)：P54:初試身手2（2）用加減消元法解二元一次方程組。加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反（或相等）時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加（或相減）。就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。精例精析：例3、解方程組：分析：方程組中未知數(shù)x的系數(shù)相等，y的系數(shù)互為相反數(shù)，選用加法可消去y，選用減法可消去x解：由+得6x=18，所以x=3由-得4y=2，所以所以原方程的解為【小結(jié)】當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，可直接用加減法消元；當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，可將其中一

10、個(gè)方程的兩邊同乘一個(gè)數(shù)，使其系數(shù)相等或互為相反數(shù)，再進(jìn)行加減消元；當(dāng)以上條件都不具備時(shí)，可以考慮兩個(gè)方程同時(shí)變形。練習(xí)：P54:初試身手33.三元一次方程組的解法三元一次方程組的定義：有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且共有三個(gè)方程。三元一次方程組的解法：對于三元一次方程組，解題思想是采用化復(fù)雜問題為簡單問題的“化歸”的數(shù)學(xué)思想，通過各種“消元”方法將三元一次方程組“化歸”為二元一次方程組來解。精例精析：例4、解方程組： 分析：因?yàn)橹械膟是用含其他未知數(shù)的代數(shù)式表示的，中不含有y，所以把代入即可消去y，把方程組化為二元一次方程組。解：把代入得：，即，把組成方程組：解方程組：，解得所

11、以 把代入得：，所以原方程組的解為： 【小結(jié)】把其中一個(gè)方程轉(zhuǎn)化為其中的一個(gè)未知數(shù)用其他的未知數(shù)來表示，再代入另外的一個(gè)或兩個(gè)方程，化三元為二元來解方程組，然后再代入原方程組中的一個(gè)方程求出第三個(gè)未知數(shù)的值，得到方程組的解。練習(xí)：P55:初試身手4例6、已知方程組 的解適合方程，求的值。分析：方法1：把方程組中的看成是已知數(shù)，先用的代數(shù)式把方程組的解表示出來，再代入，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可求出值。方法2：由方程組中的兩個(gè)方程消去，得到關(guān)于的二元一次方程，與組成新方程組求解，代入方程組中求得。解：方法1：×2，得 ，×3，得 ，得，把代入，得，解得，再把代入，得，

12、所以。方法2：把代入，得，即 。把方程與方程組成方程組，得，把代入得。再把代入得所以?！拘〗Y(jié)】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，而發(fā)散思維的培養(yǎng)首先要學(xué)生從多個(gè)方面、多個(gè)角度去思考問題，其次要為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維創(chuàng)設(shè)內(nèi)（外）部環(huán)境。P57:初試身手6三、歸納小結(jié)1、二元一次方程（組）和它的解的有關(guān)概念。2、熟練代入消元法、加減消元法解二元一次方程組和三元一次方程組。3、進(jìn)一步理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想和整體代入的思想。4、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力。四、作業(yè)：請你試一試：選擇題：第2題填空題：第3、4、5、6、7、題解答題：第13、14、15、16 題五、

13、教學(xué)反思（各位老師授課后撰寫好教學(xué)反思。）第二課時(shí)教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景問題：我們學(xué)習(xí)了運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題請看下例，小華買了10分與20分的郵票共16枚，花了2元5角求10分與20分的郵票各買了多少枚？問：怎樣求解這個(gè)問題呢？引導(dǎo)學(xué)生分析，提問：題目中的已知量是什么？未知量是什么？已知量與未知量的相等關(guān)系是什么？(結(jié)合學(xué)生的回答，教師將分析依次寫在黑板上)分析：已知量 未知量10分與20分郵票共16枚 10分郵票買多少枚這兩種郵票共花了2元5角 20分郵票買多少枚相等關(guān)系(1)10分郵票的枚數(shù)+20分郵票的枚數(shù)=總枚數(shù)；(2)10分郵票的總價(jià)+20分郵票的總價(jià)=全部郵票的總價(jià)(請學(xué)生在

14、筆記本上設(shè)未知數(shù)，并布列方程，教師請一名學(xué)生板演)解：設(shè)10分郵票買了x枚，則20分郵票買了(16-x)枚依題意，得 10x+20(16-x)=250(解方程略)二、探索新知引言：結(jié)合上題解答過程，教師指出，對于此題，是否可以用其他方法求解？解：設(shè)10分的郵票買了x枚，20分的郵票買了y枚，根據(jù)題意得，答：（略）師生共同歸納列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟：l 審題l 設(shè)未知數(shù)l 找等量關(guān)系l 解方程l 檢驗(yàn)l 寫出答案簡記為：審，設(shè)，列，解，簡，答。精例精析：二元一次方程組的綜合運(yùn)用 列方程組解應(yīng)用題的基本思想：列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)化成“已知”的重要方法，它關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)

15、系起來，找出題目中的相等關(guān)系。例5、如圖，在長方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，且的面積比的面積大5cm²，求DF的長。分析：本題是數(shù)形結(jié)合題，未知數(shù)只有一個(gè)，若直接設(shè)DF的長為，不易找出等量關(guān)系，可分步來解，如設(shè)的面積為，的面積為梯形ABED的面積為，則有 從中求出的面積，再求DF就容易了。 解：設(shè)的面積為cm ²，的面積為cm ²，梯形ABED的面積為cm ²，依題意，得 -，得，即的面積為43cm²，DF長為：。答：DF長為cm?！拘〗Y(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，涉及到的知識有三角形的面積、長方形的面積、看圖識圖、列方程等。本題解方程組有

16、一定的技巧，要求整體求解。解題思路超出常規(guī)，要求我們認(rèn)真理解題意，努力探索解題方法。初試身手5例7、某球迷協(xié)會(huì)組織36名球迷擬租乘汽車赴比賽場地，為中國國家男子足球隊(duì)吶喊助威，現(xiàn)有的汽車有兩種：一種每輛車可乘8人，另一種每輛車可乘4人，要求租用的車不留空座也不超載。（1）請你給出三種不同的方案。（2）若8個(gè)座位的車租金是300元/天，4個(gè)座位的車的租金是200元/天，請你設(shè)計(jì)費(fèi)用最小的租車方案，并簡述你的理由。分析：本題是應(yīng)用方程知識解決有實(shí)際情境的應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)是求二元一次方程組的非負(fù)整數(shù)解，一要掌握數(shù)的整除性質(zhì)，二要結(jié)合實(shí)際問題考慮實(shí)際意義，三要善于分析，找到合理租車方案。解：（1）設(shè)8個(gè)座

17、位的車租x輛，4個(gè)座位的車租y輛，則，即，x，y為非負(fù)整數(shù)，x可取0，1，2，3，4等值。則租車方案有：8座車4輛，4座車1輛；8座車3輛，4座車3輛；8座車2輛，4座車5輛等。 （2）因?yàn)?座車座位多相對日租金較少，所以要使費(fèi)用最小，必須盡量多租8座車，符合要求的租車方案：8座車4輛，4座車1輛，此時(shí)費(fèi)用為：4×3001×200=1400(元/天)【小結(jié)】一般情況二元一次方程有無數(shù)多個(gè)解，但在一定范圍限制下，有的二元一次方程是能夠?qū)⒔庹页鰜淼?，本題具有開放性，是考查的熱點(diǎn)。初試身手72.例題變招例8、某商場計(jì)劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)，已知該廠家生產(chǎn)三種不同的電視

18、機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元，（1）若商場同時(shí)購進(jìn)其中兩種不同型號的電視機(jī)共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場進(jìn)貨方案；（2）若商場銷售一臺甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺丙種電視機(jī)250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號的電視機(jī)方案中，為使銷售的利益最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？分析：本題沒有已知進(jìn)哪種型號的電視機(jī)，故可從三種型號的電視機(jī)中任選兩種，共有三種情況。解：設(shè)兩種機(jī)型分別購進(jìn)x臺，y臺。 方案一當(dāng)購進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)時(shí)有 解得 此時(shí)的銷售利潤為：P=25150+25200=8750（元）；方案二 當(dāng)購進(jìn)甲、丙

19、兩種電視機(jī)時(shí)有 解得 此時(shí)的銷售利潤為：P=35150+15250=9000（元）；方案三當(dāng)購進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)時(shí)有 ，無正解，舍去。 答：為使銷售的利潤最多，應(yīng)該選擇方案二?！拘〗Y(jié)】本題集中各種條件，分散討論不同條件可能產(chǎn)生的結(jié)論，進(jìn)行綜合，歸納，比較，選擇最佳解決問題的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想。3.中考直通車?yán)?、某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價(jià)和銷售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（1）該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件？（2）商場第二次以原價(jià)購進(jìn)A、B兩種商品，購進(jìn)B種商品的件數(shù)不變，而購進(jìn)A種商品的件數(shù)是第

20、一次的2倍，A種商品按原售價(jià)出售，而B商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢要使第二次經(jīng)營活動(dòng)獲利不少于81600元，B種商品最低價(jià)銷售為每件多少元？分析：找出題中等量關(guān)系，即總進(jìn)價(jià)為36萬和總利潤為6萬元然根據(jù)題意列方程。解：（1）設(shè)購進(jìn)A種商品x；購進(jìn)B種商品y件。 解得 即購進(jìn)A商品200件，購進(jìn)B商品120件。 （2）（81600-180×200×2）÷120+1000=1080（元）答：B種商品最低價(jià)銷售為每件1080元?！拘〗Y(jié)】1、列方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是通過審題理解題意，把握各種已知量、未知量的相互關(guān)系，列出方程組。2、用表格、圖形的形式顯示數(shù)據(jù)，是近幾年

21、中考應(yīng)用題的新特點(diǎn)，處理這類問題的關(guān)鍵是：（1）讀懂圖形、表格，理解題意，尋找數(shù)據(jù)；（2）尋找隱含的數(shù)量關(guān)系，從而處理數(shù)據(jù)；（3）還可以進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)據(jù)，這類問題仍然存在用方程或方程組處理數(shù)據(jù)時(shí)設(shè)元的技巧等相關(guān)問題 4、競賽我能行例10、某次數(shù)學(xué)競賽前60名獲獎(jiǎng)，原定一等獎(jiǎng)5人，二等獎(jiǎng)15人，三等獎(jiǎng)40人；現(xiàn)調(diào)為一等獎(jiǎng)10人，二等獎(jiǎng)20人，三等獎(jiǎng)30人，調(diào)整后一等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低3分，二等獎(jiǎng)平均分降低2分，三等獎(jiǎng)平均分降低1分，如果原來二等獎(jiǎng)比三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多7分，求調(diào)整后一等獎(jiǎng)比二等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多幾分？分析：整理數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，從整體上尋求解題的關(guān)鍵，數(shù)據(jù)整理如下表：調(diào)整前獎(jiǎng)級人數(shù)平均分總分一等獎(jiǎng)5x+35（x+3）二