18-19第2章階段復(fù)習(xí)課平面向量

1、第二課平面向量核心速填1.向量的運(yùn)算設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,y2).向量運(yùn)算法則(或幾何意義)坐標(biāo)運(yùn)算向量的線性運(yùn)算加法a二.謝晤底剛-平打?qū)叕庁绖ta+b=(X1+X2，y+y2)向量的線性運(yùn)算減法a三角形法則ab=(x1X2，y1y2)數(shù)乘(1) "KM|a|;(2) 當(dāng)>0時，尬的方向與a的方向相同；當(dāng):<0時，2a的方向與a的方向相反；當(dāng)20時，2=02=(入x，入y向量的數(shù)量積運(yùn)算ab=|a|b|cos&B為a與b的夾角)規(guī)定0a=0數(shù)量積的幾何意義是a的模與b在a方向上的射影的積ab=X1X2+y1y22兩個定理(1)平面向量基本定理 定理：

2、如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)入，力，使a=Jiei土直里. 基底：把不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)向量共線定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)入使b=a3.向量的平行與垂直a,b為非零向量，設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,肋,a/b有唯一實(shí)數(shù)入使得b=也工0)X1y2x?y1=0a丄bab=0X1X2+y1y2=0體系構(gòu)建題型探究l«"?L_一平面向量的線性運(yùn)算帀(1)已知向量a=(2,1),b=(3,4)，則2ab的結(jié)果是()A.(7,2)B.(1,2)C.

3、(1,3)D.(7,2)設(shè)DABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則BD=3CD，則()1441A.AD=§AB+§ACB.AD=3AB3ACd.Ad=-1Ab+|Ac(1)A(2)D(1)ta=(2,1),b=(3,4),a2ab=2(2,1)(3,4)=(4,2)(3,4)=(4+3,24)=(7，2),故選A.(2)vBD=3CD,AdAB=3(AdAc),31a2AD=3ACAB,aAD=§ACAB.規(guī)律方法向量線性運(yùn)算的基本原則和求解策略(1)基本原則：.向量的線性運(yùn)算的結(jié)向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算果仍是一個向量，因此，對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解

4、和運(yùn)用要注意向量的大小和方向兩個方面(2)求解策略： 向量是一個有形”的幾何量，因此在進(jìn)行向量線性運(yùn)算時，一定要結(jié)合圖形，這是研究平面向量的重要方法與技巧 字符表示下線性運(yùn)算的常用技巧：，首尾相接用加法的三角形法則，如AB+BC=AC;共起點(diǎn)兩個向量作差用減法的幾何意義，如OBOA=AB. 平行向量(共線向量)、相等向量與相反向量、單位向量等，理解向量的有關(guān)概念并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用 注意常見結(jié)論的應(yīng)用如ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則AB+AC=2AD.跟蹤訓(xùn)練1.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3,4)，設(shè)AB=a，BC=b，CAc.求3a+b3c；(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n.【導(dǎo)

5、學(xué)號：64012146】解(1)由已知得a=(5，5)，b=(6，3)，c=(1,8).(1)3a+b3c=3(5，5)+(6，3)3(1,8)=(1563，15324)二(6，42).(2)因?yàn)閙b+nc=(6m+n，3m+8n)，a=mb+nc，6m+n=5，m=1，所以，解得3m+8n=5n=1.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例(1)如圖2-1所示，在平面四邊形ABCD中，若AC=3,BD=2,則(AB+DC)(AC+BD)=;(2)在RtAABC中，CA=CB=2,M,N是斜邊AB上的兩個動點(diǎn)，且MN=慣，則CMCN的取值范圍是.圖2-1解析由于AB=AC+CB,DC=DB+BC,所以AB+DC

6、=AC+CB+DB+BC=ACBD.(AB+DC)(AC+BD)=(ACBD)(AC+BD)=|ACf-BD94=5.(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則C(0,0),A(2,0)，B(0,2),所以直線AB的方程為x+y2=0.設(shè)M(t,2t)，因?yàn)镸N=2，所以N(t+1,1t)(0<t<1)，所以CMCN=t(t+1)+(21)(1t)=2t22t+2fT23731=2t2/+2因?yàn)?Wt<1所以CMCN的取值范圍為22.答案(1)5(2)I，2規(guī)律方法向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法,(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可

7、利用定義法求解，即ab=|a|b|cosa,b>.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=X1X2+y1y2.,運(yùn)用兩向量的數(shù)量積解決長度、夾角、垂直等問題，解題時應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解跟蹤訓(xùn)練2.已知兩個單位向量e1,e2的夾角為3，若向量b1=e12e2,b2=3e+4e2,貝Ub1b2=.221解析b1b2=(e12e2)(3e1+4e2)=3ei2e1e28e2=32x1x1x?一8=-6.答案6|#S3|._向量的夾角及垂直問題探究問題1. 怎樣求兩個不共線向量的夾角？提示：對兩個不共線向量a，b,通過平移使它們的起點(diǎn)相同

8、，這兩個有公共起點(diǎn)的向量的夾角就是a與b的夾角.2. 兩向量所成的角與兩直線所成角的區(qū)別是什么？提示：兩向量所成的角，不一定是兩向量所在的直線所成的角，因?yàn)榍罢叩娜≈捣秶鸀?°180°，而后者的取值范圍為0°90°.這一點(diǎn)經(jīng)常容易混淆,一定要注意.3. 用數(shù)量積判斷兩向量夾角時應(yīng)注意什么?提示：當(dāng)0=0°時，有ab>0，此時a與b共線且同向，即ab>0，不能說向量的夾角一定為銳角，同理當(dāng)0=180°時，有ab<0，但ab<0，不能說向量的夾角一定為鈍角.已知三個點(diǎn)A(2,1),B(3,2)，D(1,4).(1)

9、 求證：AB丄AD;(2) 若四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值.【導(dǎo)學(xué)號：64012147】思路探究(1)利用ABAD=0即可;ACBD(2)利用夾角公式cos9=|AC|BD|求解.解證明：tA(2,1),B(3,2),D(-1,4),AB=(1,1),AD=(-3,3).VABbaD=1X(-3)+1X3=0,AB丄AD，即AB丄AD.(2)VAB丄AD,四邊形ABCD為矩形，AB=DC.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則DC=(x+1,y-4),x+1=1,ly-4=1.x=0,解得y=5.點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,5).從而AC=(-2,4),BD=(-4,2)

10、,且AC|=25,|BD|=25,ACBD=8+8=16,設(shè)AC與BD的夾角為9,則|cosq=|ACbD|=16=4AC|BD|205矩形ABCD的兩條對角線所夾銳角的余弦值為母題探究將例3中的條件變?yōu)镺A=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m),試求：(1)若A、B、C能構(gòu)成三角形，求m應(yīng)滿足的條件.(2)若厶ABC為直角三角形，且/A為直角，求實(shí)數(shù)m的值.解若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，vOA=(3,-4),OB=(6,-3),0C=(5m,(3+m),AB=(3,1),BC=(-m-1,m),TT一1而AB與BC不平行，即3mMm1,得m，1實(shí)數(shù)m

11、H2時滿足條件.(2)若厶ABC為直角三角形，且/A為直角，則aB丄AC，而aB=(3,1),AC=(2m,1m)，3(2m)+(1m)=0，解得m=規(guī)律方法1. 求夾角問題：求向量a，b夾角B的步驟：求|a|，|b|，ab;求cos結(jié)合B的范圍0，n確定B的大小.因此求向量的夾角先轉(zhuǎn)化為求向量夾角的余弦值，再結(jié)合夾角的范圍確定夾角的大小.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，X1X2+y1y2m向量的長度與距離問題設(shè)|a|=|b匸1,|3a2b匸3,求|3a+b|的值.【導(dǎo)學(xué)號：64012148】解法一：v|3a2b匸3,9a212ab+4b2=9.又v|a|=|b|=1,二ab=3.|

12、3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6ab+b2=9+6X3+1=12.a|3a+b|=23.法二：設(shè)a=(X1,y1),b=(x2,y2).2222v|a|=|b|=1,aX1+y1=x2+y2=1.v3a2b=(3x12x2,3y12y2),a|3a2b|=#(3x12x2(+(3y12y2)=3.aX1X2+屮y13.a|3a+b|=寸(3x1+X2(+(3y1+y2=9+1+6X3=23.規(guī)律方法向量的模不僅是研究向量的一個重要量，而且是利用向量的方法解決幾何問題的一個交匯點(diǎn).一般地，求向量的模主要利用公式|a|2=a2,將它轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行展開、合并，使問題得以解決，或利用公式|a|=r(x2+y2)，將它轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，使問題得以解