一般曲面的方程和圖形

1、一、曲面方程的概念二、柱面方程與圖形三、旋轉(zhuǎn)曲面方程與圖形四、錐面方程與圖形在空間解析幾何中在空間解析幾何中,任何任何曲面都看作點(diǎn)的幾何軌跡曲面都看作點(diǎn)的幾何軌跡.:),( 有有下下述述關(guān)關(guān)系系與與三三元元方方程程如如果果曲曲面面0 zyxFS; )(方程方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足曲面曲面 S1, )(方程方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足不在曲面不在曲面 S2. , ,程程的的圖圖形形就就叫叫做做方方曲曲面面的的方方程程方方程程就就叫叫做做曲曲面面那那么么SSxyzoS0),( zyxF. ,2222Rzyx 方方程程為為球球心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)特特別別地地. ,

2、 ),( ),( 0000滿滿足足的的曲曲面面方方程程求求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)為為定定長長的的距距離離到到定定點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)MRzyxMzyxM, 0RMM 根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,202020Rzzyyxx 即即 .2202020Rzzyyxx 所所求求方方程程為為. ),( 0000的的球球面面方方程程半半徑徑為為球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)RzyxM例例1解解.)5, 2, 1(的的球球面面方方程程切切且且和和三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面都都相相求求過過點(diǎn)點(diǎn) .于第七卦限于第七卦限根據(jù)題意可知該球面位根據(jù)題意可知該球面位222222225)5()5()5( 3)3()3()3( yyxyyx或或球面方程為球面方程

3、為, 0158 ,)5, 2, 1(2 aa經(jīng)經(jīng)整整理理得得代代入入球球面面方方程程后后將將點(diǎn)點(diǎn). 53 aa或或可可解解得得例例2解解.a設(shè)球面半徑為設(shè)球面半徑為).,(aaa 則則球球心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為2222)()()(aazayax 球球面面方方程程為為?042222表表示示怎怎樣樣的的曲曲面面方方程程 yxzyx通過配方通過配方, 原方程可以改寫成原方程可以改寫成. 5)2()1(222 zyx.5),0 , 2 , 1(0的球面的球面半徑為半徑為原方程表示球心在點(diǎn)原方程表示球心在點(diǎn) RM例例3解解.),4 , 1, 2()3 , 2 , 1(直直平平分分面面的的方方程程的的垂垂求求線

4、線段段和和設(shè)設(shè)有有點(diǎn)點(diǎn)ABBA .,的點(diǎn)的幾何軌跡的點(diǎn)的幾何軌跡等距離等距離和和所求的平面就是與所求的平面就是與由題意可知由題意可知BA由于由于為所求平面上的任一點(diǎn)為所求平面上的任一點(diǎn)設(shè)設(shè),),(zyx,BMAM 222)3()2()1( zyx所以所以,)4()1()2(222 zyx. 07262 zyx化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)可可得得例例4解解例例 方程方程 表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？222Ryx解解 方程方程 在在xOy面上表示圓心在原點(diǎn)面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為半徑為R的圓的圓. .222Ryx.222Ryx 在空間直角坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，此方程不含系中，此方程不含z，僅含僅含x、y，故

5、此方程：，故此方程：.222Ryx表示母線平行于表示母線平行于z z軸軸的圓柱面，它的準(zhǔn)線的圓柱面，它的準(zhǔn)線是是xOy平面上的圓：平面上的圓：. 所形成的曲面叫做柱面所形成的曲面叫做柱面移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線定曲線定曲線沿沿平行于定直線并平行于定直線并LC, 叫做柱面的準(zhǔn)線叫做柱面的準(zhǔn)線定曲線定曲線C. 叫做柱面的母線叫做柱面的母線動(dòng)直線動(dòng)直線 LCL.),(, , 0 yxFxOyCz其方程為其方程為條曲線條曲線面上的一面上的一是是準(zhǔn)線準(zhǔn)線軸軸的母線平行于的母線平行于設(shè)柱面設(shè)柱面 . , ),( , ),( ,),( ),( 上上在在柱柱面面即即的的母母線線上上在在過過是是點(diǎn)點(diǎn)于于上上在在準(zhǔn)準(zhǔn)

6、線線則則點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足方方程程和和縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)如如果果其其橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)對(duì)對(duì)空空間間中中的的點(diǎn)點(diǎn) MMzyxMCyxMyxFyxzyxM1100 .),( , ),( ),( ,001 yxFyxMCyxMxOyzyxM滿足方程滿足方程和縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)故點(diǎn)故點(diǎn)上上在準(zhǔn)線在準(zhǔn)線面上的垂足面上的垂足它在它在上的任一點(diǎn)上的任一點(diǎn)對(duì)柱面對(duì)柱面反之反之 xyzOC),(zyxM)0 ,(1yxM.),( 0 yxF的的方方程程是是柱柱面面 .),(: , ),( ,00 yxFCxOyzyxFzyx面面上上的的曲曲線線其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線是是軸軸的的柱柱面面行行于于角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線

7、線平平在在空空間間直直的的方方程程而而缺缺、只只含含一一般般地地. ),( ,軸軸的的柱柱面面母母線線平平行行于于表表示示的的方方程程而而缺缺、只只含含類類似似地地yzxGyzx0 . ),( 軸軸的的柱柱面面行行于于表表示示母母線線平平的的方方程程而而缺缺、只只含含xzyHxzy0 xyzOC),(zyxM)0 ,(1yxM12222 byax橢橢圓圓柱柱面面-2-1012-202-202-2-1012-202. 1 2222 byaxxoyz面上的橢圓面上的橢圓線為線為軸，準(zhǔn)軸，準(zhǔn)母線平行于母線平行于拋物柱面方程y=2px2稱為母線平行于z軸的拋物柱面.雙曲柱面方程 稱為母線平行于z軸的雙

8、曲柱面.12222axby. 0 yx平平面面. , 0 yxxOyz面上的直線面上的直線準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是軸軸母線平行于母線平行于. 0 zx平面平面. , 0 zxxOzy面上的直線面上的直線準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是軸軸母線平行于母線平行于xyzO0 yxxyzO0 zx一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線,定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.,),( , 0 zyfCyOz它的方程是它的方程是曲線曲線坐標(biāo)面上有一已知坐標(biāo)面上有一已知設(shè)在設(shè)在. , 軸為軸的

9、旋轉(zhuǎn)曲面軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面得到一個(gè)以得到一個(gè)以軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周把該曲線繞把該曲線繞zzxyzOC.),( , ),( 0011111 zyfCzyM那那么么有有一一點(diǎn)點(diǎn)上上任任為為曲曲線線設(shè)設(shè), 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)繞繞當(dāng)曲線當(dāng)曲線zCxyzOC), 0(111zyMM),( 1zyxMzM軸轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)軸轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)繞繞點(diǎn)點(diǎn), 1保保持持不不變變這這時(shí)時(shí)zz . 122yyxdzM 軸軸的的距距離離到到且且點(diǎn)點(diǎn)有有代代入入將將,),( , 0112211 zyfyxyzz.),(022 zyxf此即所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程此即所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.: 0),(: 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲

10、線zzyfC : 0),(: 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線yzyfC : 0),(: 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞曲曲線線xyxfC : 0),(: 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線zzxfC 其余依此類推其余依此類推. 0),(22 zyxf. 0),(22 zxyf. 0),(22 zyxf. 0),(22 zyxf.2)1(2軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞面上的拋物線面上的拋物線zpzyyOz ,不不變變z22yxy pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面例例6解解.1)2(2222軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞面面上上的的橢橢圓圓ybzayyOz ,不變不變y22zxz 1222

11、22 bzxay解解旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面.1)3(2222軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞面上的雙曲線面上的雙曲線zbzaxzOx ,不不變變z22yxx 122222 bzayx解解單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面.1)4(2222軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞面面上上的的雙雙曲曲線線xbzaxzOx 22zyz 122222 bzyax解解雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面面,不不變變x 把把xOz面上的拋物線面上的拋物線 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)，所得曲面叫軸旋轉(zhuǎn)，所得曲面叫做做旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面 . 22zax. , 旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面所得所得相交的直線旋轉(zhuǎn)一周相交的直線旋轉(zhuǎn)一周繞另一條與繞另一條與直線直線LL. 的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)圓錐面圓錐面兩直線的交點(diǎn)叫做兩直線的交點(diǎn)叫做.)20( 叫叫做做圓圓錐錐面面的的半半頂頂角角兩兩直直線線的的夾夾角角 . , , 半頂角為半頂角為軸軸旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為