2016年春季微積分基礎(chǔ)形成性考核冊答案

1、2016年春季微積分初步形成性考核作業(yè)(一)函數(shù)，極限和連續(xù)、填空題(每小題2分，共20分)1.函數(shù)f(x)1ln(x的定義域是2)2.函數(shù)f(x)所以函數(shù)f(x)1、的定義域是(2,3)(3,ln(x2)解：51.5x的定義域是1所以函數(shù)f(x)的定義域是(，5).5xln(x2)ln(x2)0x1解：x20,x24x202x24.函數(shù)f(x1)x22x7,則1:?43.函數(shù)f(x)所以函數(shù)f(x)f(x)解：f(x1)2x72x2x2x的定義域是x2的定義域是(2,1)(1,25.函數(shù)f(x)2xxe2x16(x1)2所以f(x)x266.函數(shù)f(x1)解：f(x1)x22x7.函數(shù)y解：

2、因?yàn)楫?dāng)8.limx則f(0)解:f(0)0222x,則f(x)x22x11(x1)22x3的間斷點(diǎn)是x11時函數(shù)無意義f(x)所以函數(shù)2x3的間斷點(diǎn)是xx11xsinx解：limx1xsinxlimx.1sin-x19.若limsin4x2,則kx0sinkx解:sin4x因?yàn)閘imx0sinkxsin4x44x4o了-2kx0sinkxkkx所以k210.解:sin3xo右lim2,x0kxsim3x3rsim3x3。因?yàn)閘imlim2x0kxkx03xk一3所以k32二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共24分)1.設(shè)函數(shù)XXe，則該函數(shù)是()2A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù).既奇又偶函數(shù)解

3、：因?yàn)閥(e(x)exx)所以函數(shù)yXXee是偶函數(shù)。故應(yīng)選B22.設(shè)函數(shù)y2XSinX，則該函數(shù)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù).既奇又偶函數(shù)解：因?yàn)閥(x)(x)2sin(x)x2sinx所以函數(shù)yx2sinx是奇函數(shù)。故應(yīng)選a3.函數(shù)f(x)2X2xx的圖形是關(guān)于(對稱.A.yB.C.y軸D.坐標(biāo)原點(diǎn)解：因?yàn)閒(X)(X)2x2(x)2x2Xx2f(x)所以函數(shù)f(x)2X2xx是奇函數(shù)4.A.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是().xsinxB.lnxC.ln(x,1x2)解:5.應(yīng)選C函數(shù)y1.,一、一ln(x5)的正義域?yàn)?).A.x5x4BX4CX5且X0D解:x40x4l小x5,，

4、所以應(yīng)選D0x5從而函數(shù)D,2X2x“，一一皿f(x)x的圖形是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的2因此應(yīng)選D6.函數(shù)f(x)1,_的定義域是ln(x1)A.(1,)B.(0,1)(1,)C.(0,2)(2,)D(1,2)(2,).ln(xx1)1函數(shù)f(x)1ln(x一的定義域是(1,2)(2,)，故應(yīng)選D1)7.設(shè)f(x1)1,則f(x)A.x(x1)C.x(x2)(x2)(x1)解：f(x1)(x1)(x1)(x1)(x1)2f(x)x(x2)，故應(yīng)選C8.下列各函數(shù)對中,)中的兩個函數(shù)相等.Af(x)(Vx)2,g(x).x2,g(x)2C.f(x)lnx,g(x)2lnxD.f(x)3lnx,g(x

5、)3lnx解：兩個函數(shù)相等必須滿足定義域相同函數(shù)表達(dá)式相同，所以應(yīng)選D9.當(dāng)x0時，下列變量中為無窮小量的是(sinxB.C.ln(1x)解：因?yàn)橹輓(110.當(dāng)kA.0B.1解：因?yàn)閤)0,時，函數(shù)limf(x)x0所以當(dāng)f(x)lim(x2x01)若函數(shù)f(x)x21,11.當(dāng)k時，函數(shù)f(x)A.0B.解：kx0時,ln(1x)為無窮小量，所以應(yīng)選C1,1,k,f(0)ex2,k,在x0處連續(xù).。處連續(xù)，則f(0)limf(x)lim(ex2)3，所以應(yīng)選D12.函數(shù)f(x)x3x23x的間斷點(diǎn)是(2f(0)limf(x)，因此k1。故應(yīng)選B0處連續(xù).A.x1,x2B.x3C.x1,x2

6、,x3D.無間斷點(diǎn)解：當(dāng)X三、解答題L計(jì)算極限解：limx21,x2時分母為零，因此x1,x2是間斷點(diǎn),（每小題7分，共56分）limx2x23x22x故應(yīng)選Ax23x2x2.計(jì)算極限解:3.解:lim-77x3x2xm35x-2xlim(x1)(x2)x2(x2)(x2)limx2x25x6忡1(x1)(x6)(x1)(x1)limNx1x12x2x3(x3)(x3)limx3(x1)(x3)limJx3x12.計(jì)算極限lim與x4x5x46x82x解：lim-7x4x26x85x4lim(x2)(x4)x4(x1)(x4)limNx4x15.計(jì)算極限6.計(jì)算極限22x5x6x8limx25

7、x61x16x8xx62x2解：limx-(x2)(x4)(x2)(x3)x0x4limx2x.1x1B：lim1x1(1x1)(1x1)1)fx(1x7.計(jì)算極限limx0x(1x1)1x1新1x1解：limx0sin4xlim(vC1)*f1)x0sin4x(、1x1)limx0sin4x(.1xx1)11lim4x0sin4x(1x1)4x8.計(jì)算極限0sin4x,x42B：limsin4xlimsin4x(x4胃一(x1)，即：x2y30x0.x42x0(、x42)(Jx42)limsin4x(x42)4肺婪(，x42)16x0xx04x微積分初步形成性考核作業(yè)(二)導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用、

8、填空題(每小題2分，共20分)1.曲線f(x)jx1在(1,2)點(diǎn)的斜率是解：f(x)2、x'斜率k2.曲線f(x)ex在(0,1)點(diǎn)的切線方程是解：f(x)ex，斜率kf(0)e01所以曲線f(x)ex在(0,1)點(diǎn)的切線方程是：yx113.曲線yx2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是解：y1 515x，斜率ky1-xx1211所以曲線yx2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是：y1x14.(2、x)解：(2x)1ln22.x2aln22x5.若y=x(x-1)(x-2)(x-3)，貝Uy(0)=y(0)(1)(2)(3)已知f(x)X3X，則f(3)=.解：f(x)3x23xln3,f(3)27

9、27ln311已知f(x)Inx，貝Uf(x)=.解：f(x)-,f(x)xx6. 若f(x)xex,貝Uf(0).解：f(x)exxex,f(x)ex(exxex)2exxex,f(0)29 .函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.解：y6(x1)0,x1,所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是1,)解:f(x)2ax0,而x0,所以a0二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共24分)1.函數(shù)y2»、一一一(x1)在區(qū)間(2,2)是(D)A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.先增后減D.先減后增2.滿足方程f(x)0的點(diǎn)一定是函數(shù)yf(x)的(C).A.極值點(diǎn)B.最值點(diǎn)C.駐點(diǎn)D.間斷點(diǎn)3.若f(x)xecosx，貝uf(0)=(

10、C).A.:2B.1C.-1D.-24.設(shè)，貝U(B).A.B.C.D.設(shè)yf(x)是可微函數(shù)，貝Udf(cos2x)(D).10 5.函數(shù)f(x)ax21在區(qū)間(0,)單調(diào)增加，貝Ua應(yīng)滿足.A.2f(cos2x)dxB.f(cos2x)sin2xd2xC.2f(cos2x)sin2xdxD.f(cos2x)sin2xd2x2x6.曲線ye1在x2處切線的斜率是(C).424AeB.eC.2eD.27. 若f(x)xcosx，貝Uf(x)(C).A.cosxxsinxB.cosxxsinxC.2sinxxcosxD.2sinxxcosx8. 若f(x)sinxa3,其中a是常數(shù)，貝Uf(x)

11、(C).2A.cosx3aB.sinx6aCsinxcosx9.卜列結(jié)論中B)不正確.A.f(x)在XX0處連續(xù)，則一定在X0處可微.B.f(x)在XX0處不連續(xù)，則一定在X0處不可導(dǎo).C.可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上D.若f(x)在a,b恒有f(x)0,則在a,b函數(shù)是單調(diào)下降的.10.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，貝U(.函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0處有定義limf(x)A,但Af(0XX0.函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處連續(xù).函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0處可微11.下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是(B)12.下列結(jié)論正確的有(A).X0是f(X)的極值點(diǎn)，且f(X。)存在,則必有f(X0)=0B.X0是f

12、(x)的極值點(diǎn)，貝UX0必是f(x)的駐點(diǎn)C.若f(X0)=0,則X0必是f(X)的極值點(diǎn).使f(x)不存在的點(diǎn)X0,一定是f(X)的極值點(diǎn)三、解答題(每小題7分，共56分)x2eX,求解：y2xeXx2eX(1)X2xeXex(2x1)ex2.設(shè)y.,3sin4xcosX,求解：y2-4cos4x3cosxsinx3.設(shè)y解：y2、x1eEJ4.設(shè)yIncosx，求y.解：ysinx3xcosx2tanx5.設(shè)yy(x)是由方程x2xy4確定的隱函數(shù)，求dy.解：兩邊微分:2xdx2ydy(ydxxdy)02ydyxdyydx2xdxy2x.dydx2yx6.設(shè)yy(x)是由方程x2y22x

13、y1確定的隱函數(shù)，求dy.解：兩邊對x2y22xy1求導(dǎo)，得：2x2yy2(yxy)0xyyyxy0,(xy)y(xy)，y1dyydxdx7.設(shè)yy(x)是由方程exxeyx24確定的隱函數(shù)，求dy.解：兩邊微分，得：exdxeydxxeydy2xdx0y.xyjexey2xxeydy(eey2x)dx,dyydxxe8.設(shè)cos(xy)ey1,求dy.解：兩邊對cos(xy)ey1求導(dǎo)，得：(1y)sin(xy)yey0sin(xy)ysin(xy)yey0eysin(xy)ysin(xy)sin(xy)yeysin(xy),sin(xy).dyydxdxesin(xy)微積分初步形成性考

14、核作業(yè)(三)不定積分，極值應(yīng)用問題1. 一、填空題(每小題2分，共20分)若f(x)的一個原函數(shù)為lnx2，則f(x)xlnx22xc。2. 若f(x)的一個原函數(shù)為xe2x，則f(x)4e2x。3. 若f(x)dxxexc,貝Uf(x)1xex4.f(x)dxsin2xc,貝Uf(x)2cos2x5.f(x)dxxlnxc,貝Uf(x)6.f(x)dxcos2xc,貝Uf(x)4cos2x7.exdx2e*dx8.(sinx)dxsinxc9.若f(x)dxF(x)3)dxiF2x10.若f(x)dxF(x)c,則xf(1x2)dx1F122分，共16分）二、單項(xiàng)選擇題（每小題1.下列等式成

15、立的是（）A.解:df(x)dxf(x)dx應(yīng)選ABf(x)dxf(x)C.df(x)dxf(x)D.df(x)f(x)2.若f(x)dxx2e2xc，則f(x)A.2xe2x(1x)B.2x2e2xC.2xe2xD.2xxe解:兩邊同時求導(dǎo)，得:f(x)2xe2x22x2xe2xe2x(1x）,所以應(yīng)選A.x.xcB.x2xcC.x2-x22cD.頊222x23c解:應(yīng)選A以下計(jì)算正確的是（)A.3、dx業(yè)ln3B.-1dx2xd(1x2)CdxCVxd-：xD.Inxdxd(-)x解：應(yīng)選A5.xf(x)dx()A.xf(x)f(x)cB.xf(x)cC.1-x22f(x)cD.(x1)f

16、(x)c解：xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxf(x)f(x)c,所以應(yīng)選A6.da2xdx=().A.a2xB2a2xlnadxC.a2xdxD2x.a2xdxc解：應(yīng)選C0),則f(x)dx4.3.若f(x)xx(x7.1如果等式f(x)exdx則f(x)A.B.C.D.xxxx解:兩辿求導(dǎo)，得：111十1，.f(x)exex&,所以f（x）r，故應(yīng)選Bxx三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1.3、一x3xsinxdxx解:3x3xsinx,dx31dx.xdxsinxdxx3lnx2x2xcosxc2232.(2x1)10dx解:(2x1)10dx2(2x1)10

17、d(2x110-(2x1)101c13.解:(2x22.1sindxx.1sin-Tdxx1)1111sind(-)xx1cosx4.xsin2xdx解:xsin2xdx1-xcos2x21xdcos2x21osin2xc41(xcos2x2cos2xdx)5.xexdx解:xexdxxdex(xexexdx)xe（每小題12分，共24分）設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)矩形的一邊長為x厘米，則另一邊長為60x厘米，以60x厘米的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體，則體積V為：四、極值應(yīng)用題1.Vx2(60x),即：V6

18、0x2x3詈120x3x2,令業(yè)0,得:dxx0（不合題意，舍去），x40，這時60x20由于根據(jù)實(shí)際問題，有最大體積，故當(dāng)矩形的一邊長為40厘米、另一邊長為60厘米時，才能使圓柱體的體積最大。2.欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？解：設(shè)矩形的長為x米，則矩形的寬為216米，從而所用建筑材料為:xL2x2163，即:xL2x648dLdx648人dLK令瓦0得：x18（取正值），由于根據(jù)實(shí)際問題，確實(shí)有最小值，故當(dāng)矩形的長為216這時榮12x18米，寬為12米時，才能使所用建筑材料最省五、證明題

19、（本題5分）函數(shù)f（x）xex在（，0）是單調(diào)增加的.證明：因?yàn)閒（x）1ex，當(dāng)x,0)時，f(x)1ex0所以函數(shù)f（x）xex在（，0）是單調(diào)增加的.微積分初步形成性考核作業(yè)（四）定積分及應(yīng)用、微分方程解:2.填空題（每小題1（sinxcos2x11(sinxcos2x解:2分,共x2)dxx2)dx2(x54xcosx)dx225_(x24xcosx)dx20分)1sinxcos2xdx1"(x54x)dx3.已知曲線yf（x）在任意點(diǎn)x處切線的斜率為解：由.xdx23*2x2c得所求的曲線方程由3因?yàn)榍€過(4,5),所以5342c，解得:/dx2cosxdx2c確定cos

20、xdx2sinx0（4,5）,則該曲線的方程是_1解：(5x33x2)dx1c111(5x3x)dx砰40dx5.由定積分的幾何意義知,a22.axdx=0.解:由定積分的幾何意義知,a2在第i象限的面積，即6.解:7.解:圓x2y2de2ln(x2dx1de2ln(x2dx102x,edx=2a面積的1)dx1)dx002x02x,edxlimedxbb8.微分方程yy,y(0)解：由yy得業(yè)dx因?yàn)閥（0）從而Iny9.微分方程解：y3y，因此va2x2dx401lim2b02xbe2xd(2x)1的特解為blim2x1lim(12b2b、1ydx,兩邊同時積分，得y1,所以ln10c,所

21、以cx,因此微分方程yy,y（0）3y0的通解為0,也dx3y0,dy3dxlny1的特解為y0,Iny3xC1Inyc13x,ci3xe，cie3xe所以微分方程y3y0的通解為3xyce10.微分方程（y）34xy(4)y7sinx的階數(shù)為解：微分方程（y）34xy(4)y7sinx的階數(shù)為4階、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1,4）的曲線為A.y=x2+3B.y=x2+4Cx212.若；(2xk)dx=2,則k=(a).5.6.8.3.下列定積分中積分值為0的是（A.4.設(shè)A.xx1eeedx12x1eB.12f（x）是連續(xù)的奇函數(shù),02af(x)dxsinxdx2A.0B卜列無窮積分收斂的是A.7.A.則定積分B.0f(x)dx-a2).xdxaf(x)dx-af(x)dx(x3cosx)dxD.D.(x2sinx)dX0e、dxB.exdxC.1dxxD.-dxx卜列無窮積分收斂的是0sinxdx卜列微分方程中,B.2x,dx1dxxD.1dx'、x）是線性微分方程.A.yxlnyyyy2xyxyeysinxyexylnx9.微分方程y0的通解為（10.下列微分方程中為可分離變量方程的是（A.dydyB.xydx(每小題7分，共56分)C.dydxxysinx;D.曳dxx(yx)三、計(jì)算題ln