八年級數(shù)學(xué)勾股定理專題講義及強(qiáng)化練習(xí)

1、八年級數(shù)學(xué)勾股定理專題講義及強(qiáng)化練習(xí)新知學(xué)習(xí)1.勾股定理的內(nèi)容:222如果直角三角形的兩直角邊分別是a、b ,斜邊為c，那么a +b =c .即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。注：勾一一最短的邊、股較長的直角邊、弦 斜邊。2.勾股定理的證明:(1)方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形:221Se方形 ABCD = a b) cc 4 2ab(2)方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形:c22.1S正方形 efgh = c a -b 4 -ab2(3)方法三： 總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形:=(a b)("b)=2 1abic22

2、22a b =c .3 .勾股定理的逆定理:如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。即在ZABC中，如果AC2+BC2 =AB2,那么 MBC是直角三角形4 .勾股數(shù):2,22滿足a +b =c的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).常用勾股數(shù):3、 4、 5; 5、 12、 13; 7、 24、 25; 8、 15、 17。一/基礎(chǔ)演練一 勾股定理【例1】下列說法正確的是（）A.若a，b c是MBC的三邊，則a2+b2=c2B.若 a，b c是 RtAABC 的三邊，貝U a2+b2=c2C.若 a，b c是 R9ABe 的三邊，2A=9。;

3、 則 a2 +b2 =c2D.若 a，b，c 是 RtMBC 的三邊，/C=90：則 a2 +b2=c2【例2】一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為【練一練】在直角三角形中，一條直角邊為11cm,另兩邊是兩個連續(xù)自然數(shù)， 則此直角三角形的周長為 【例3】 在RtMBC中， /C =90 °,(1)如果 a =3bb =4,則c =;(2)如果 a =6，b =8 ,則 c =；(3)如果 a =5，b =12 ,則 c =;(4)如果 a =55b b =20 ,則 c =?！纠?】 等腰直角三角形的斜邊為 10,則腰長為 ,斜邊上的高為 .【例5 1已知直角三角形

4、兩邊x , V的長滿足x2 -4 +3 -5y +6 =0 ,則第三邊長為【例6】 如圖，ABC中，AB=AC=10, BD是AC邊上的高線，DC = 2,則BD等于 .222【例7】Rt ABC中，斜邊BC = 2,貝U AB +AC +BC的值為【例8】已知直角二角形的周長為 2 +品, 斜邊為2,則該三角形的面積是 -cm- cm【例9】已知RQABC斜邊AB的長為2，兩直角邊的差為2，求三角形的周長及斜邊上的高【例10如圖，已知RtABC的周長為2+喬,其中斜邊AB=2,求這個三角形的面積【例 11】在 RtA ABC , /C =90 :若 a +b =5，c=4 ,則 S必bc =

5、【例12】在三角形ABC中，已知AB=2V3, AC =2, BC邊上的高AD =庭,求邊BC的長【例13】已知MBC中，AB=20，AC =15，BC邊上的高為12,求MBC的面積.2.22a +b與c的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【例14】MBC中，BC=a, AC=b, AB=c,若NC=90:如圖1,根據(jù)勾股定理，則若MBC不是直角三角形，如圖 2和圖3,請你類比勾股定理，試猜想A）圖二勾股的實(shí)際應(yīng)用【例15如圖，止方形網(wǎng)格中，每個小止方形的邊長為數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2【例16】將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為邊的長度為hcm ,則h的取值范圍為【練一練】已知，如圖所示，折

6、疊長方形的一邊Ab d aaa|1圖2圖31,則網(wǎng)格上的三角形 ABC中，邊長為無理數(shù)的邊D. 3曰CB5cm ,圖為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外IAD ,使點(diǎn) D落在BC邊的點(diǎn)F處，？如果AB =8cm ,BC =0cm , EC 的長為【例17如圖，RSABC中，/C=90.8r c)°, / A= 30 °, BD 是/ ABC 的平分線，AD = 20,貝U BC 的長為.B【例18如圖，Rt ABC中，/C=90。，若AB = 15cm,則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為 【練一練】如圖，以一個直角三角形的三邊為邊長分別向外作三個正方形，如果兩

7、個較大正方形的面積分別是576和676,那么最小的正方形的面積為 【例19如圖，直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)B,點(diǎn)A、C到直線l的距離分別是1、2,則正方形的邊長【練一練】在直線上依次擺著7個正方形（如圖），已知傾斜放置的 3個正方形的面積分別為 1, 2, 3,水平放置的4個正方形的面積是S1, S2, S3, S4,則S+S2+S3+S4 =【例20如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB , CD , EF , GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A. CD, EF, GHB. AB, EF, GHC. AB, CD, GHD. AB, CD, EFC EB【例21

8、如圖，點(diǎn)P是/AOB的角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC/OA交OB于點(diǎn)C .若/AOB = 60,0c=4, 則點(diǎn)P到0A的距離PD等于.【例22】某片綠地的形狀如圖所示，其中NA=60 AB _LBC , AD 1CD , AB =200m , CD =100m ,求AD、BC的長（精確到1m,依4732）.【練一練】如圖， ABC中，/C=90°.（1）以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形（如圖），探究S1 + S2與S3的關(guān)系；（2）以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形（如圖），探究S1 + 與與S3的關(guān)系;以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓（如圖），探究S1 +

9、S2與S3的關(guān)系.圖圖圖【例23如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少需要多少米米，地毯每平方米 30元，那么這塊地毯需花多少元 ？?若樓才寬2【例24如圖，ON是垂直于地面OM的前面，AB是一根斜靠在墻面上長為 a的木條，當(dāng)木條端點(diǎn) A沿墻 面下滑時，B沿地面向右滑行(1)木條AB的中點(diǎn)為P ,試判斷木條滑行過程中，墻角處點(diǎn)。到P的距離怎樣變化？說明理由(2)木條在什么位置時，MBO的面積最大？最大面積為多少?AD折疊,【例25如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC =6cm , BC =8cm ,現(xiàn)將直角邊AC沿直線E使它落在斜邊 AB上，且與AE重合，那么CD

10、的長為多少?【例26如圖，兩個村莊 A、B在?CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為 AC= 1千米，BD = 3千米,20000CD=3千米.現(xiàn)要在河邊 CD上建造一水廠，向 A、B兩村送自來水.鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米W.元，請你在CD上選擇水廠位置。，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用【例27如圖，在4ABC中，AD是BC邊上的中線，且 AE _L BC于E ,若AB =12 , BC=10 , AC=8 ,求DE的長.【例 28如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD/ BC（ BC>AD）, /A=/B=90 AB = BC=12, E 是 AB 上一點(diǎn)，且 /dce

11、=45口，BE =4,求 DE 的長.【例29】如圖，在 MBC中，AB=AC=4, P是BC上異于B，C的一點(diǎn)，求AP2+BP*PC的值.【例30如圖，在 RtABC中，/C=90； D、E分別為BC和AC的中點(diǎn)，AD = 5, BE= 2'彳0求AB的長.CEA【例 31】如圖， ABC 中，ZA=90 °, AC =20, AB=10,延長 AB 至U D,使 CD+DB = AC+AB,求 BD的長.【例32如圖，將矩形 ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知 AB=3, AD = 9,求BE的長.【例33如圖，折疊矩形的一邊 AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知

12、AB=8cm, BC=10cm,求EC的長.【例34已知：如圖， ABC中，/C=90°, 證：ae2+bf2=ef2.【例35如圖，已知4ABC中，/ABC =90",且li J 臬之間的距離為2, 12 ,13之間的距離）"1CD為AB的中點(diǎn)，E、F分別在 AC、BC上，且DEDF.求ABAB=BC ,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線li兒3上，3 3,求AC的長是多少？一課后作業(yè)【題1】 如圖， ABC和 DCE都是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn) B、C、E在同一條直線上，連接BD的長為（B. 2瓶 C. 3庭D. 4j3C【題2】一個有45。角的三角板的直角頂點(diǎn)

13、放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30角，如圖，則三角板的最大邊的長為【題3】 小華將一條直角邊長為 1的一個等腰直角三角形紙片（如圖 1）,沿它的對稱軸折疊 1次后得到一個等腰直角三角形（如圖 2）,再將圖2的等腰直角三角形沿它的對稱軸折疊后得到一個等腰直角三角形（如圖3）,則圖3中的等腰直角三角形的一條腰長為 ;同上操作，若小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形（如圖n+1）的一條腰長為常濃折電困3茅必折說【題4】 如圖，如果以正方形 ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形 ACEF,再以對角線 A

14、E為邊作第三 個正方形AEGH ,如此下去，已知正方形 ABCD的面積S1為1 ,按上述方法所作的正方形的面積依 次為S2, S3,Sn（n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積 S8=，第n個正方形的面積 Sn=.【題5】 在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為 2米，求這里的水深是多少米 ？【題 6】 如圖所示，四邊形 ABCD 中，AB=3cm, AD=4cm , BC=13cm, CD=12cm, / A=90 ；求四邊形 ABCD的面積.【題7】 如圖，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，把ABD繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn) 600得至U CB

15、E ,若AD=4 , BD=3 , CD=5. (1)判斷 DEC的形狀，并說明理由；(2)求/ADB的度數(shù).【題8】 已知：如圖，ZA=60 ； BDXAC,垂足為D, CEXAB,垂足為E, BD和CE交于點(diǎn)H, HD=1cm,HE=2cm,求：BD, CE的長及 ABC的面積.DCE ,【題9】 如圖，以等腰直角三角形 ABC的斜邊AB與邊面內(nèi)作等邊 ABD ,連接DC ,以DC當(dāng)邊作等邊 B、E在C、D的同側(cè)，若AB=72求BE的長.【題10如圖，第個等腰直角三角形的直角邊長等于1,以它的斜邊長為腰長作第 個等腰直角三角形,再以第個等腰直角三角形的斜邊長為腰長作第個等腰直角三角形 .依

16、次得到一系列的等腰直角三角形，其序號依次為、.(1)分別求出第 、個等腰直角三角形的斜邊長;(2)歸納出第n個等腰直角三角形的斜邊長.(n為正整數(shù))【題11】解答下列各題:(1)等腰直角4ABC和等腰直角CDE的位置如圖所示，連接 BE,并延長交AD于F,試問AD與BE之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論；AD與BE之間的關(guān)(2)若保持其他條件不變，等腰直角 CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，位置如下圖所示，試問系還存在嗎？若存在，給予證明，若不存在，則說明理由.【題12】一位同學(xué)拿了兩塊 45的三角尺M(jìn)NK、 ACB做了一個探究活動：將 MNK的直角頂點(diǎn) M放在ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè) AC=BC=a.(1)如圖1,兩個三角尺的重疊部分為 4ACM ,則重疊部分的面積為(2)將圖1中的4MNK繞頂點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)45;得到圖2,此時重疊部分的面積為()，周長為().(3)如果將4MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1,圖2的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證.【題13】已知：三角形 ABC中，/A=90 ； AB=AC, D為BC的中點(diǎn)，(1)如圖，E, F分別是AB, AC上的點(diǎn)，且BE=AF,求證：4DEF為等腰直角三角形；(2)若 巳F分別為AB