必修五不等式專題復(fù)習(xí)

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔不等式專題復(fù)習(xí)知識(shí)回顧一.不等式的主要性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：傳遞性：加法法則：(同向可加)乘法法則：(同向同正可乘)(5)倒數(shù)法則：(6)乘方法則：開方法則：2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。鹤鞑罘?作差一一變形一一判斷符號(hào)一一結(jié)論)3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式二.解不等式221.一兀二次不等式 ax +bx +c > 0或ax + bx + c < 0(a = 0)的解集:2、簡單的一元高次不等式的解法：(穿根法)其步驟是：(1)分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫 曲線；

2、并注意奇穿過偶不過；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集,2_ 3_如：x 1 x-1 x-2 二 01是偶重根3、分式不等式的解法(轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式)f(x)f (x) c f (x)g(x) -00 = f (x)g(x) 0;0 =g(x)g(x)g(x) = 0注意：右邊不是零時(shí)，先移項(xiàng)再通分，化為上兩種情況再處理4、不等式的包成立問題：應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題若不等式f(x)>A在區(qū)間D上包成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min>A若不等式f(x)<B在區(qū)間D上包成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x；max<B三、線性規(guī)劃

3、1、用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域2、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法：定點(diǎn)法3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：(1)尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；(3)依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線 ax+by = 0,在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo) 函數(shù)的最優(yōu)解四.均值不等式1 .若a,bC R,則a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2 .如果a,b是正數(shù)，那么 言之十益(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"號(hào)).變形： a+b> 2

4、，ab ；Q + b 彳ab& ab I ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).1 2 J注：(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為 定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.(2)求最值的重要條件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：(1)，怔 之皇 之府 之不2(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；a b222(2) a、b、CWR, a + b + c * ab+ bc+ ca (當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c時(shí)，取等 號(hào))；(3)若abA0,mA0,則bcbm (糖水的濃度問題)。a a m典例剖析題型一：不等式的性質(zhì)若ac2 >

5、bc2,貝1Jab ;1.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題:若a > b,則ac2 > bc2;實(shí)用文案若a <b cQ則a2 > ab >b2 ;若a <b <0,則一> 一; a ba b右c>a >b:>Q則>c - a c - b其中正確的命題是11右a <b <0,則一< ;a b若a<b<0,則a > b ;一. 11-右ab, a,則 a>0,b<0。a b題型二：比較大?。ㄗ鞑罘?、函數(shù)單調(diào)性、中間量比較，基本不等式）2.a -2_2q=2,試比較p,q的大小

6、3.比較 1 + l0gx 3與 210gx 2(x a 0且x#1)的大小4 .若 a >b >1, P = v'lg a 1g b,Q =- (1g a + 1g b), R = 1g(-),則 P,Q, R的大小關(guān) 22系是.題型三：解不等式5 .解不等式 2/+7工+4>04?-4x+l>06 .解不等式(x-1)(x + 2)2 >07 .解不等式21< _1x -'2x -38 .不等式 ax2 +bx +12A 0 的解集為x|-1 < x< 2,貝U a =, b=9 .關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集為（1

7、,依），則關(guān)于x的不等式axtb > 0的解x - 2集為10 .解關(guān)于x的不等式ax2 (a +1)x +1 <0題型四：恒成立問題11 .關(guān)于x的不等式a x2+ a x+1>0 恒成立，則a的取值范圍是12 .若不等式x2-2mx+2m+1 > 0對(duì)0 M x M1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范 圍.一 1913 .已知x >0, y >0且一+=1 ,求使不等式x + y至m恒成立的頭數(shù)m的取值沱 x y圍。三.基本不等式題型五：求最值14 .(直接用注正數(shù))求下列函數(shù)的值域一、 -2. 1-1(D y=3x +彳 v= x+x15 .(配湊項(xiàng))(

8、1)已知x<勺，求函數(shù)y=4x-2+的最大值。44x -5(2)當(dāng)0，工<4時(shí)，求y = x(82x)的最大值。2x 7x 1016 . 求 y =(x > -1)的值域0x 1f (x) = x +的x注意：在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，若等號(hào)取不到，應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性。17 .求函數(shù)y=/=LL的值域。x2 418 .(條件不等式)(1) 若實(shí)數(shù)滿足a+b = 2,貝(3a + 3b的最小值是.19.(2) 已知x>0, y>0,且一+一 =1,求x + y的取小值。x y2(3) 已知x, y為正實(shí)數(shù)，且x 2+y2 =1,求R1 + y2的最大值.1(4) 已知

9、a, b為正頭數(shù)，2b+ab+ a= 30,求函數(shù)y=ab的最小值.題型六：利用基本不等式證明不等式19、已知a, b都是正數(shù)，并且a=b,求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b219 .正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+c=1,求證：(1 a)(1 b)(1 c)> 8abc1 21 2 2516. (12分)設(shè) a>0, b>0,且 a + b = 1,求證：(a+)+(b + )之一. ab 2200m2的三級(jí)污水處理池（平面圖 400元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)題型七：均值定理實(shí)際應(yīng)用問題：20.某工廠擬建一座平面圖形為矩

10、形且面積為 如圖），如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米 每米248元,池底建造單價(jià)為每平方米計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。四.線性規(guī)劃題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值2x y -3 三021.滿足不等式組7x + y-8<0,求目標(biāo)函數(shù)k=3x + y的最大值、x,y >022、已知實(shí)系數(shù)一元二次方程 x2+（1+a）x+a+b+1 = 0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，并且0 <x1 <2 , x2 A2 .則b的取值范圍是a -1x _03x 4y _42223、已知x，y滿足約束條件：1y2，則x +y+2x的最小值是x 2y-3<024、已知變量x, y滿足約束

11、條件x +3y-3之0.若目標(biāo)函數(shù)z = ax + y （其中a>0） J-10僅在點(diǎn)（3, 0）處取得最大值，則a的取值范圍為。y-i,25、已知實(shí)數(shù)x, y滿足<y E2x -1,如果目標(biāo)函數(shù)z = x-y的最小值為1,則實(shí)數(shù)m x y _ m.等于（）題型九：實(shí)際應(yīng)用22.某餅店制作的豆沙月餅每個(gè)成本35元，售價(jià)50元；鳳梨月餅每個(gè)成本 20元，售價(jià)30元?，F(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個(gè)數(shù)不超過10個(gè)，售價(jià)不超過 350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個(gè)，可使利潤最大？又利潤最大為多少？易錯(cuò)點(diǎn)剖析1、抓住兩邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化抓住兩邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是不等式應(yīng)用的重要一環(huán)，根據(jù)結(jié)論與

12、條件，要想促使結(jié)論與條件的“溝通”，必須仔細(xì)分析結(jié)構(gòu) 特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)牟坏仁交蜃兪?；?、正數(shù)a、b滿足a+b=1,%；,(a +1)(b + 1) 的最大值。分析(1)本題是求“積”的最大值，常規(guī)是向“和”或“平方和”轉(zhuǎn)化，并 根據(jù)“和”或“平方和”是否是定值，做出選擇。(2)要利用a+b=1,就必須去掉根號(hào)，因此要向“平方和”轉(zhuǎn)化，那么 應(yīng)用變式也就順理成章了。(a 1) (b 1)3解：V<(a +1)(b+1) <-=-,當(dāng)且僅當(dāng)22(a+1) = (b+1)a + b = 1一一 1 一 .即a=b=時(shí)取得“=”。2例2、已知正數(shù)a、b滿足3,：(a+1)(b+1)的最大

13、值是-a + b=1, 求(a+1)2+(b + 1)2最小值；分析：將條件與結(jié)論放在一起，可以看出，要想從條件式推出結(jié)論式，必須完 成從“和”向“平方和”的轉(zhuǎn)化；若從結(jié)論入手轉(zhuǎn)化，再利用條件，就必須完 成從“平方和”向“和”的轉(zhuǎn)化。顯然，不管是由條件推出結(jié)論還是由結(jié)論轉(zhuǎn) 化再利用條件，都離不開變式。解：: a +b« J2(a2 +b2),(a+1) +(b+1) <v,2(a+1)2 +(b + 1)2=3 W、，2(a +1)2 + (b +1)2 = (a+1)2+(b+1)2、,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取得“=，。（a+1）2+（b+1）2最小值是？22注：轉(zhuǎn)化中必要的“技

14、術(shù)處理”對(duì)均值不等式的應(yīng)用，除了要會(huì)從結(jié)構(gòu)入手分析外，必要的“技術(shù)處理”還必須掌握如：“配系數(shù)”（將“ x”寫成“ 1m2x”或“ 2x”）；22. ,x2 - 3x - 3 .1“拆項(xiàng)”（將 “ x 3x 3” 寫成 “（x+1）+，+1）；x 1x 1“加、減湊項(xiàng)"（將“x”寫成“（x+1）-1” ）；“升降幕" （aQa=（、值）2）等都是常用的“技術(shù)處理”方法。例3、 已知 a >0,b >0 ,求證：?之Ja+Jb.b . a分析：從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和字母的次數(shù)看與變式吻合，可從此式入手。2解：; 若 b>0,貝U a-22a b, b-a22ja Vb

15、b二至2新-Va(2由.a例4、已知a > b >0 求 a2 +的最小值。b（a -b）分析：本題求“和”的最小值，但“積”并不是定值，故需要進(jìn)行“拆項(xiàng)” 變形等“技術(shù)處理”，注意到b + （a-b） = a,容易找到解題的突破口22解：由 ab0= b（ab）W （a）-=,44，八一一b = ab于是a2 +盲a2+1=a2十二之16,當(dāng)且僅當(dāng),2 _ 64b（a -b）aa1a 一下4b(a -b)即a=2V2,b=M5時(shí)取“二”a2 + 16 的最小值是16。另外也可由a2b=b (a-b)2:4b（a -b） +16 之16來求得此最小值。b（a -b）使用均值定理的注

16、意事項(xiàng)（易錯(cuò)提醒）1、應(yīng)用均值不等式求最值方便、快捷，但必須注意條件“一正、二定、三相等”，即涉及的變量都是正數(shù)，其次是和（平方和）為定值或積為定值，然后必須注意等號(hào)可以成立。 如sin2 x +的最小值是5 ; 但 sin x使用均值不等式容易誤解為是4,因?yàn)閟in2 x =不成立（不能取“=”）。sin x2、在使用均值不等式時(shí)，要注意它們多次使用再相加相乘的時(shí)候，等號(hào)成 立的條件是否一致。如例4,要保證兩次均值不等式的取等條件相同 （同 時(shí)滿足）。3、在使用均值定理求最值的時(shí)候，如果等號(hào)成立的條件不具備，應(yīng)考慮用函數(shù)的單調(diào)性來解決。如求 sin2x+的最小值，可利用函數(shù)sin x4f （

17、x） = x +的單調(diào)性來解決。x應(yīng)用舉例：循序漸進(jìn)，學(xué)會(huì)變型（配套訓(xùn)練）1 .求y = x - 2x+2 ,x>1的最小值。x -12.求 y =x -1x2 -2x 2,x >1的最大值。3.求函數(shù)y=、2一的值域。（-1,1x x 13不等式專題檢測、選擇題:1 .若a, b,cWR,且a >b,則下列不等式一定成立的是2C2 一A. a+c 之 bc B. ac>bc C .>0 D. (a -b)c 之 0a。b2、若a <b <0 ,則下列不等關(guān)系中不能成立的是()1122A. 1>1 B.C. a*<b馬D. a* >

18、b%a ba-b a3 .若關(guān)于x的不等式x2 -4x之m對(duì)任意x0,1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. mW3B. m> -3C. -3<m<0 D. m W 3或 m>04.已知實(shí)數(shù) x,y 滿足 x2 + y2=1,則(1 xy)(1 + xy)有 ()A .最小值1和最大值1B.最小值2和最大值124C.最小值1和最大值-D,最小值1245 .設(shè) x>0, y>0, a = x + y , b =x 十y , a 與 b 的大小關(guān)系 1 x y 1 x 1 y( )A. a >bB. a <bC. a <b D. a >b6

19、.若關(guān)于x的不等式2x2 -8x-4-a >0在1<x<4內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是()A. a - B. a>-4C. a >-12D. a<-1217 .若xw(0,5)時(shí)總有l(wèi)oga2(1 -2x) >0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. |a|<1B. |a|<V2C. |a»V2D. 1 <| a |< V28 .甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度 m行走，另一半路程以速度 n行走，如果m#n,甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)()A.甲B.乙 C.甲乙同時(shí)到達(dá) D.無法判斷y mx9 .設(shè)變量x、y滿足約束條件<x + y±2 ,則目標(biāo)函數(shù)z = 2x + y的最小值為 、y 之 3x _ 6( )A. 2B, 3C. 4D , 910 .設(shè) f(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù) x、 y , 有 f(x +y) = f(x) + f (y),且當(dāng) x >0時(shí)，f (x) &l