數(shù)列知識(shí)點(diǎn)常用結(jié)論

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論-、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列的基本公式通項(xiàng)公式：an =a1 +（n-1）d （從第1項(xiàng)a1開始為等差）an=am+（nm）d（從第m項(xiàng)am開始為等差）an -am = ndan =am+（n m）d=an-am d =1 . n-m前n項(xiàng)和公式：SnN+anLnai十nd2 2（2）證明等差數(shù)列的法方定義法：對(duì)任意的n,都有an書-an=d （d為常數(shù)）=an為等差數(shù)列> 一一 * _ _ 等差中項(xiàng)法：2an=an+an±（n=N ） u an為等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：an =pn+q （p, q為常數(shù)且p為）u an為等差數(shù)列即：通項(xiàng)公式位n的一次函數(shù)，公差

2、d = p ,首項(xiàng)a1 = p + q2刖n項(xiàng)和公式法：Sn = pn +qn （p, q為常數(shù)）=an為等差數(shù)列即：關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)（3）常用結(jié)論若數(shù)列an, bn為等差數(shù)列，則數(shù)列an+k, klan, an±bn, kan+b（k, b為非零常數(shù)）均為等差數(shù)列.*右 m+n=p+q （m , n, p, q= N ），貝U an + am= ap + aq.特別的，當(dāng)n+m=2k時(shí)，得an +am = 2ak 一- - 、 , 一 * . 在等差數(shù)列an中，每隔k（k= N ）項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為（k+1）d（例如：ai,

3、a4，a7,而仍為公差為3d的等差數(shù)列)若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記Sk=a1+a2 + +ak,S2k Sk= ak+ +ak +a2k,2S3k S2k =a2kJ1+a2k J2 +a3k ,則 Sk , S2k 0 , Sk -Sk仍成等差數(shù)列，且公差為 k d Sc 若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也為等差數(shù)列.n S,(n=1)an =此性質(zhì)對(duì)任何一種數(shù)列都適用S -S1i.(n.2)求Sn最值的方法:、. ak _0 一. , 一I：若a1>0,公差d<0,則當(dāng)k時(shí)，則Sn有最大值，且Sk最大；ak i 三 0ak _ 0若為<0,公差d>0,則當(dāng)k時(shí)

4、，則Sn有最小值，且Sk最?。籥- 一02II：求刖n項(xiàng)和Sn = pn +qn的對(duì)稱軸，再求出距離對(duì)稱軸最近的正整數(shù)k ,當(dāng)n = k時(shí)，Sk為最值，是最大或最小，通過Sn的開口來判斷。二、等比數(shù)列(1)等比數(shù)列的基本公式通項(xiàng)公式：an =aiqn(從第1項(xiàng)a1開始為等比)an =amqnR(從第 m項(xiàng)am開始為等差)前 n 項(xiàng)和公式：Sn =亙(1q,(q#1), Sn=na1,(q=1)1 -q(2)證明等比數(shù)列的法方定義法：對(duì)任意的n,都有an4r =qan(an # 0) u -ani = q (q 0) u an為等比數(shù)列2等比中項(xiàng)法：an =an41ao（2口封口#0） w an

5、為等比數(shù)列通項(xiàng)公式法：an =aqn（a,q是不為0的常數(shù)）=烝為等比數(shù)列（3）常用結(jié)論若數(shù)列an, bn為等比數(shù)列，則數(shù)列1,kLan,an2,a2n，anbnananbn（k為非零常數(shù)）均為等比數(shù)列.若 m+n=p+q （m , n, p, q = N ），貝U aj_am= ap|_aq.特別的，當(dāng)n+m=2k時(shí)，得an|_am = ak2_ 一 - - 、 . . * . 在等比數(shù)列an中，每隔k（kW N ）項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為 qk* （例如：a1, a4, a7, a10 仍為公比q3的等比數(shù)列）若數(shù)列烝為等差數(shù)列，則記Sk =3| +a

6、2+'''' +ak , S2k _& ="+ak 出+ a2k , S3k Sk =a2k+a2k 七 +a3k ,則Sk , S2k -Sk , S3k S2k仍成等比數(shù)列，且公差為 qk三、求任意數(shù)列通項(xiàng)公式 an的方法(1)累加法：若an滿足an+1=an+f(n)利用累加法求：anan 二ai （a2 一4）. a a2） a3）'（an an）例題：若ai =1,且 an4i =an+2n ,求：an練習(xí)題：若數(shù)列an滿足an.-an-2n*=0,且ai=0(2)累乘法：若an滿足an+ = f (n) Wn利用累乘法求：a

7、nan二Mla3)，一一(')ala2 a3an1 n 1例題：在數(shù)列an中，a= 一,an噌=an,求：an.2 n練習(xí)題：在數(shù)列an中，a =1且an = nan書，求：an（提示：1M2父3父n = n!）(3)遞推公式中既有& ,又有an ,用逐差法an =SSn - Sn jn=1n _2特別注意：該公式對(duì)一切數(shù)列都成立。(4)若an滿足an書=pan +q,( p =q),則兩邊加：x =q,在提公因式P,構(gòu)P-1造出一個(gè)等比數(shù)列，再出求：an例題：已知數(shù)列 ,滿足：an4=2an+1,且a1 =1 ,求：an習(xí)題1 :已知數(shù)列an滿足：an書-3an =1且闞=1

8、 ,求：an習(xí)題2:已知數(shù)列an滿足：a1 =2,且Sn +an = n，求：an(5)若為滿足an+ = pan +pn",則兩邊同時(shí)除以：pnZ構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列,再求出：an例題：已知an滿足：21=10=2烝+22,求：an解:an*=2an+2n'彘噴+；,既有:a所以：Sat I是首項(xiàng)為:.2n1 ，一d =一的等差數(shù)列2n nn J所以：an2 n 22習(xí)題1 :已知an平-3an =3n*且& =1 ,求：ann 1.習(xí)題2 ：已知an書=2an+3 2 且a1=1,求：an(六)待定系數(shù)法：若4滿足以下關(guān)系：an = kan + f ( n)都可用待

9、定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個(gè)等比數(shù)列來：溫馨提示：提k,對(duì)f(n)待定系數(shù)例題1:已知數(shù)列an滿足an+=2an+3乂5, &=6,求數(shù)列1小的通項(xiàng)公式.解：an書+x'5n* =2(an+x 6)= an書=2an3x 5n ,與原式對(duì)應(yīng)得，x = 1f-n 1ani -5n 1 =2(an -5n)= an 1 一 =2an -5所以：an -5n是首項(xiàng)a1 -51 =1 ,公比q =2的等比數(shù)列既有：an -5n =2n= an = 5n 2nJ例題2:已知數(shù)列滿足an* = 3an +5 M 2n+4, a1=1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 解：an書 +x '2n* +y

10、=3(an +x '2n +y)= an+ = 3an +x 2n + 2y ,與原式對(duì)應(yīng)得：x = 5, y = 2an 5 212an 1 5 2n 12 =凰5n 22 an 1 5 22所以：an+5 ,2n+2是首項(xiàng)為：為十5,21+2=13,公比4=3的等比數(shù)列既有：an - 5 2n 既=13 3n- : an =13 3n- -5 2n -2（七）顛倒法：若an滿足：an«nC,用顛倒法;an Can 11a1c a c 11= I - I *1C a C naC na CnaJ-是以首項(xiàng)為:an，111所以：二,所以:an 1 an C1 一 1,一,公差d

11、 =的等差數(shù)列a1C例題1 :已知an書=2_a_，且ai =2 ,求：an an 2例題2 :已知an書Wn =3an 3an中，且ai =1,求：anA a一（八）倒數(shù)換兀法：若數(shù)列匕滿足：3己，則顛倒變成1an 1B an C C 1 B =+ -TA anA anAq1然后再用兩邊加： 一q或者待定系數(shù)法既可求出 « ,再顛倒就可得到：anP -1an, 2a.例題：右數(shù)列 an 滿足：an4 =，且a1 =1 ,求：anan 32a一1311解：an上a=，= 3，+1，兩邊加：1得:an 3 an 12 an 2an 113十 一an2an 13 13( 1)2 an所以

12、:既有:an 1彳an一十仆是首項(xiàng)為:=2 ,公比:an3q = 的等比數(shù)歹U；211:2 an/3、n J(2)=13n' -2ann -2 an 二2n 23n 12 n 2若用待定系數(shù)法:_ 2anan 1 'an 3an 1211 十 _3an2-an 113131311.一+x=22+3x= +1x與原式子對(duì)應(yīng)得 x = 1 ,然后的方an 12 an 2an 1 2 an 2法同上；習(xí)題：已知 3an噂 an =2an41第且 a1 =1 ,求：an四、求前n項(xiàng)和Sn的方法（1）錯(cuò)位相減求和主要適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的數(shù)列的前 n項(xiàng)和；或者是等差與等比的商的前

13、n項(xiàng)和；（是商的時(shí)候，適當(dāng)轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式）。既：設(shè)anaa為等差數(shù)列，必為等比數(shù)列，求：an 0或的前n項(xiàng)和常用此方法（an都轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔e bnbn形式）例題1 :已知數(shù)列an =2n,數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Sn = n2十2n ,求數(shù)歹1an bn的前n項(xiàng)和T3n 1例題2:求數(shù)列an =n的an *的刖n項(xiàng)和Sn習(xí)題 1 :求：Sn =1父2+4父22+7父23+ (3n-2)M2n(2n 1)習(xí)題2：設(shè)數(shù)列an =( n用,求an的前n項(xiàng)和Sn3n(2)裂項(xiàng)相消求和1,1111適用于an =的形式，變形為：an =-(-)n (n k)n (n k) k n n k, 1 一、. 一一例題：求數(shù)歹U an =的刖n項(xiàng)和Snn(n 1)一1習(xí)題1 :求數(shù)列an =的刖n項(xiàng)和Snn(n 2)習(xí)題2:求數(shù)列1. 2 ' . 2. 3 ' ' . n % n 1 '的前n項(xiàng)和.(3)、分組法求和：有些數(shù)列是和可以分成幾部分分開求，在進(jìn)行加減;例題：求an =3n +2n +1的前n和Sn ?習(xí)題1 ：已知an是一個(gè)遞增的等差數(shù)列且 a2 ®4 =45,a +a