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1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論-、等差數(shù)列(1)等差數(shù)列的基本公式通項(xiàng)公式:an =a1 +(n-1)d (從第1項(xiàng)a1開始為等差)an=am+(nm)d(從第m項(xiàng)am開始為等差)an -am = ndan =am+(n m)d=an-am d =1 . n-m前n項(xiàng)和公式:SnN+anLnai十nd2 2(2)證明等差數(shù)列的法方定義法:對(duì)任意的n,都有an書-an=d (d為常數(shù))=an為等差數(shù)列> 一一 * _ _ 等差中項(xiàng)法:2an=an+an±(n=N ) u an為等差數(shù)列通項(xiàng)公式法:an =pn+q (p, q為常數(shù)且p為)u an為等差數(shù)列即:通項(xiàng)公式位n的一次函數(shù),公差

2、d = p ,首項(xiàng)a1 = p + q2刖n項(xiàng)和公式法:Sn = pn +qn (p, q為常數(shù))=an為等差數(shù)列即:關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)(3)常用結(jié)論若數(shù)列an, bn為等差數(shù)列,則數(shù)列an+k, klan, an±bn, kan+b(k, b為非零常數(shù))均為等差數(shù)列.*右 m+n=p+q (m , n, p, q= N ),貝U an + am= ap + aq.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得an +am = 2ak 一- - 、 , 一 * . 在等差數(shù)列an中,每隔k(k= N )項(xiàng)取出一項(xiàng),按原來的順序排列,所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列,且公差為(k+1)d(例如:ai,

3、a4,a7,而仍為公差為3d的等差數(shù)列)若數(shù)列an為等差數(shù)列,則記Sk=a1+a2 + +ak,S2k Sk= ak+ +ak +a2k,2S3k S2k =a2kJ1+a2k J2 +a3k ,則 Sk , S2k 0 , Sk -Sk仍成等差數(shù)列,且公差為 k d Sc 若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則數(shù)列也為等差數(shù)列.n S,(n=1)an =此性質(zhì)對(duì)任何一種數(shù)列都適用S -S1i.(n.2)求Sn最值的方法:、. ak _0 一. , 一I:若a1>0,公差d<0,則當(dāng)k時(shí),則Sn有最大值,且Sk最大;ak i 三 0ak _ 0若為<0,公差d>0,則當(dāng)k時(shí)

4、,則Sn有最小值,且Sk最?。籥- 一02II:求刖n項(xiàng)和Sn = pn +qn的對(duì)稱軸,再求出距離對(duì)稱軸最近的正整數(shù)k ,當(dāng)n = k時(shí),Sk為最值,是最大或最小,通過Sn的開口來判斷。二、等比數(shù)列(1)等比數(shù)列的基本公式通項(xiàng)公式:an =aiqn(從第1項(xiàng)a1開始為等比)an =amqnR(從第 m項(xiàng)am開始為等差)前 n 項(xiàng)和公式:Sn =亙(1q,(q#1), Sn=na1,(q=1)1 -q(2)證明等比數(shù)列的法方定義法:對(duì)任意的n,都有an4r =qan(an # 0) u -ani = q (q 0) u an為等比數(shù)列2等比中項(xiàng)法:an =an41ao(2口封口#0) w an

5、為等比數(shù)列通項(xiàng)公式法:an =aqn(a,q是不為0的常數(shù))=烝為等比數(shù)列(3)常用結(jié)論若數(shù)列an, bn為等比數(shù)列,則數(shù)列1,kLan,an2,a2n,anbnananbn(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列.若 m+n=p+q (m , n, p, q = N ),貝U aj_am= ap|_aq.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得an|_am = ak2_ 一 - - 、 . . * . 在等比數(shù)列an中,每隔k(kW N )項(xiàng)取出一項(xiàng),按原來的順序排列,所得的數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為 qk* (例如:a1, a4, a7, a10 仍為公比q3的等比數(shù)列)若數(shù)列烝為等差數(shù)列,則記Sk =3| +a

6、2+'''' +ak , S2k _& ="+ak 出+ a2k , S3k Sk =a2k+a2k 七 +a3k ,則Sk , S2k -Sk , S3k S2k仍成等比數(shù)列,且公差為 qk三、求任意數(shù)列通項(xiàng)公式 an的方法(1)累加法:若an滿足an+1=an+f(n)利用累加法求:anan 二ai (a2 一4). a a2) a3)'(an an)例題:若ai =1,且 an4i =an+2n ,求:an練習(xí)題:若數(shù)列an滿足an.-an-2n*=0,且ai=0(2)累乘法:若an滿足an+ = f (n) Wn利用累乘法求:a

7、nan二Mla3),一一(')ala2 a3an1 n 1例題:在數(shù)列an中,a= 一,an噌=an,求:an.2 n練習(xí)題:在數(shù)列an中,a =1且an = nan書,求:an(提示:1M2父3父n = n!)(3)遞推公式中既有& ,又有an ,用逐差法an =SSn - Sn jn=1n _2特別注意:該公式對(duì)一切數(shù)列都成立。(4)若an滿足an書=pan +q,( p =q),則兩邊加:x =q,在提公因式P,構(gòu)P-1造出一個(gè)等比數(shù)列,再出求:an例題:已知數(shù)列 ,滿足:an4=2an+1,且a1 =1 ,求:an習(xí)題1 :已知數(shù)列an滿足:an書-3an =1且闞=1

8、 ,求:an習(xí)題2:已知數(shù)列an滿足:a1 =2,且Sn +an = n,求:an(5)若為滿足an+ = pan +pn",則兩邊同時(shí)除以:pnZ構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列,再求出:an例題:已知an滿足:21=10=2烝+22,求:an解:an*=2an+2n'彘噴+;,既有:a所以:Sat I是首項(xiàng)為:.2n1 ,一d =一的等差數(shù)列2n nn J所以:an2 n 22習(xí)題1 :已知an平-3an =3n*且& =1 ,求:ann 1.習(xí)題2 :已知an書=2an+3 2 且a1=1,求:an(六)待定系數(shù)法:若4滿足以下關(guān)系:an = kan + f ( n)都可用待

9、定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個(gè)等比數(shù)列來:溫馨提示:提k,對(duì)f(n)待定系數(shù)例題1:已知數(shù)列an滿足an+=2an+3乂5, &=6,求數(shù)列1小的通項(xiàng)公式.解:an書+x'5n* =2(an+x 6)= an書=2an3x 5n ,與原式對(duì)應(yīng)得,x = 1f-n 1ani -5n 1 =2(an -5n)= an 1 一 =2an -5所以:an -5n是首項(xiàng)a1 -51 =1 ,公比q =2的等比數(shù)列既有:an -5n =2n= an = 5n 2nJ例題2:已知數(shù)列滿足an* = 3an +5 M 2n+4, a1=1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 解:an書 +x '2n* +y

10、=3(an +x '2n +y)= an+ = 3an +x 2n + 2y ,與原式對(duì)應(yīng)得:x = 5, y = 2an 5 212an 1 5 2n 12 =凰5n 22 an 1 5 22所以:an+5 ,2n+2是首項(xiàng)為:為十5,21+2=13,公比4=3的等比數(shù)列既有:an - 5 2n 既=13 3n- : an =13 3n- -5 2n -2(七)顛倒法:若an滿足:an«nC,用顛倒法;an Can 11a1c a c 11= I - I *1C a C naC na CnaJ-是以首項(xiàng)為:an,111所以:二,所以:an 1 an C1 一 1,一,公差d

11、 =的等差數(shù)列a1C例題1 :已知an書=2_a_,且ai =2 ,求:an an 2例題2 :已知an書Wn =3an 3an中,且ai =1,求:anA a一(八)倒數(shù)換兀法:若數(shù)列匕滿足:3己,則顛倒變成1an 1B an C C 1 B =+ -TA anA anAq1然后再用兩邊加: 一q或者待定系數(shù)法既可求出 « ,再顛倒就可得到:anP -1an, 2a.例題:右數(shù)列 an 滿足:an4 =,且a1 =1 ,求:anan 32a一1311解:an上a=,= 3,+1,兩邊加:1得:an 3 an 12 an 2an 113十 一an2an 13 13( 1)2 an所以

12、:既有:an 1彳an一十仆是首項(xiàng)為:=2 ,公比:an3q = 的等比數(shù)歹U;211:2 an/3、n J(2)=13n' -2ann -2 an 二2n 23n 12 n 2若用待定系數(shù)法:_ 2anan 1 'an 3an 1211 十 _3an2-an 113131311.一+x=22+3x= +1x與原式子對(duì)應(yīng)得 x = 1 ,然后的方an 12 an 2an 1 2 an 2法同上;習(xí)題:已知 3an噂 an =2an41第且 a1 =1 ,求:an四、求前n項(xiàng)和Sn的方法(1)錯(cuò)位相減求和主要適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的數(shù)列的前 n項(xiàng)和;或者是等差與等比的商的前

13、n項(xiàng)和;(是商的時(shí)候,適當(dāng)轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式)。既:設(shè)anaa為等差數(shù)列,必為等比數(shù)列,求:an 0或的前n項(xiàng)和常用此方法(an都轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔e bnbn形式)例題1 :已知數(shù)列an =2n,數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Sn = n2十2n ,求數(shù)歹1an bn的前n項(xiàng)和T3n 1例題2:求數(shù)列an =n的an *的刖n項(xiàng)和Sn習(xí)題 1 :求:Sn =1父2+4父22+7父23+ (3n-2)M2n(2n 1)習(xí)題2:設(shè)數(shù)列an =( n用,求an的前n項(xiàng)和Sn3n(2)裂項(xiàng)相消求和1,1111適用于an =的形式,變形為:an =-(-)n (n k)n (n k) k n n k, 1 一、. 一一例題:求數(shù)歹U an =的刖n項(xiàng)和Snn(n 1)一1習(xí)題1 :求數(shù)列an =的刖n項(xiàng)和Snn(n 2)習(xí)題2:求數(shù)列1. 2 ' . 2. 3 ' ' . n % n 1 '的前n項(xiàng)和.(3)、分組法求和:有些數(shù)列是和可以分成幾部分分開求,在進(jìn)行加減;例題:求an =3n +2n +1的前n和Sn ?習(xí)題1 :已知an是一個(gè)遞增的等差數(shù)列且 a2 ®4 =45,a +a

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