函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個判別法_數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文1

1、畢業(yè)論文 題 目 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個判別法 學 院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 研究類型 基礎研究 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導教師的指導下獨立進行研究所取得的成果.學位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責任由本人承擔.論文作者簽名： 年 月 日 論文指導教師簽名：函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法的討論郝金貴(天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 ,甘肅,天水,741000)摘要：本文著重介紹函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾種判別法,首先通過問題引入

2、探討函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念,然后進一步研究了幾種判別方法,即對數(shù)判別法；積分判別法；有效充要判別法；加逼收斂判別法等,并對每種新方法給予嚴格證明.關鍵字：函數(shù)項級數(shù)；一致收斂性；積分判別法；有效充要判別法；加逼收斂判別法；比較判別法.The Discussion on Some Method for Uniform Convergence of Function Series HaoJinguiAbstract: the paper gives several discriminant method on uniform convergence of Function Series,firs

3、tly, discusses a series of function uniform convergence concepts by introducing a problem,and then further researches on several identifying method, such that logarithm discriminant method,integral discriminant method,effective sufficient discriminant method,and forced convergence test, etc,and new

4、methods of each given strict proof.Keywords: function Series;uniform convergence;integral discriminant method;effective sufficient discriminant method;and forced convergence test;more discriminant method目錄引言11.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義11.1函數(shù)項級數(shù)一致收斂概念引入12.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法22.1比式判別法22.2根式判別法22.3對數(shù)判別法32.4積分判別法32.4.1正項

5、級數(shù)判別法的回顧32.4.2函數(shù)項級數(shù)一致收斂的積分判別法42.5利用確界條件把函數(shù)項級數(shù)轉化為相應的數(shù)項級數(shù)進行判別52.6有效充要判別法82.7夾逼收斂判別法102.8比較判別法113.正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個新的判別法及證明12參考文獻16函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個判別法的討論引言 眾所周知,函數(shù)項級數(shù)作為數(shù)項級數(shù)的推廣,在研究內(nèi)容上同數(shù)項級數(shù)有許多及其相似的地方,對比數(shù)項級數(shù)的收斂性和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法,不難發(fā)現(xiàn)他們在判別方法上極其相似,特別是在判別法的名稱上,比如它們都有Cauchy判別法,Abel判別法,Dirichlete判別法等,這里就是根據(jù)數(shù)項級數(shù)判別法探討幾個函

6、數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法.1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義 我們先來看一下下面這樣一個例子： 例1 設u1(x) = x, un(x) = x nx n-1( n=2,3,),x0,1由上知,Sn(x)=k(x) = x n, S(x) = ,當x(0,1) 時,| Sn(x)S(x) | = x n . | Sn(x) S(x) | = x n <n In x.當時,變,也變,且當時,因此找不到公用的N*,使得有|Sn(x)- S(x)|<.不論n多么大,總有離1很近的x,使得Sn(x)離S(x)很遠.再來看這樣一個例子：例2 設u1=,x,所以|Sn(x) S(x)|=.取N=+1

7、,恒有| Sn(x)S(x)|.由上面的兩個例子可以看出,并非所有的函數(shù)項級數(shù)對于給定的,都能找到一個公用的N*,使得恒成立.由此,我們引出一致收斂的概念. 定義 設函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集E上收斂于S（x）.如果使得,恒有,則稱在E上一致收斂于S(x).2 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法 定理2.1 設un(x)為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列,記,存在正整數(shù)N及實數(shù)q、M,使得：q n(x)q<1,對任意的n>N,成立,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.定理1有極限形式： 定理2.2 設為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列,記,若 0q<1,且在D上一致有界,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂. 定理2.3 設

8、un(x)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列,若存在正整數(shù)N,使得,對成立,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂. 注：當定理3條件成立時,級數(shù)在D上還絕對收斂. 定理2.4 設為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列,若對成立,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂. 定理2.5 設為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列,若=p(x)存在,那么： 若對,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂； 若對, 則函數(shù)項級數(shù)在D上不一致收斂. 證明 由定理條件知,對,有,即,則當成立時,有,而p級數(shù)當p大于1時收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂；而當對成立時,有當p<1時發(fā)散,從而函數(shù)項級數(shù)在D上不一致收斂. 例3 設 為定義在D=0,1上的函數(shù)列,由于

9、： ,02, 由定理2知函數(shù)項級數(shù)在0,1上一致收斂. 例4 函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂(其中r為大于1的實常數(shù)).因為,由定理4知結論成立.正項級數(shù)判別法的回顧 定理2.6 設f為1,+)上的非負減函數(shù),那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散. 例5 討論級數(shù)的斂散性. 解 首先研究反常積分的斂散性,由=,當p>1時收斂,p在p>1時收斂,在p1時發(fā)散.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的積分判別法 （函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則） 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是：對任意給定的正數(shù),總存在某一正整數(shù)N,使得當n>N時對一切x和一切正整數(shù)p,都有. （含參變量反常積分一致收斂的柯西準

10、則）含參變量反常積分在a,b上一致收斂的充要條件是：對任意給定的正數(shù),總存在某一實數(shù)M>c,使得當>M時,對一切xa,b都有. 定理2.9 設f(x,y)為區(qū)域R=(x,y)|axb,上的非負函數(shù),如果f(x,y)在區(qū)間1,)上關于y為單調減函數(shù),那么函數(shù)項級數(shù)與含參變量反常積分在區(qū)間a,b上具有相同的一致收斂性.證明 由假設為區(qū)域R =上的非負函數(shù),并且關于y為上的減函數(shù),對區(qū)間a,b上任意固定的x以及任意n2的自然數(shù),我們有 若含參變量反常積分在a,b上一致收斂,則由定理3可得,對任意給定的正數(shù),總存在某一實數(shù)M>1,使得當n>M+1時,對一切xa,b和一切正整數(shù)p

11、,都有.由式,對一切xa,b有 .由定理2可知：函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間a,b上一致收斂.若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間a,b上一致連續(xù),由定理3可得：對任意給定的正數(shù),總尊在某一正數(shù)N,使得當n>N時,對一切x和一切正整數(shù)p,都有.而對任意的,令（這樣的正整數(shù)和p總是存在的）,由式,對一切有.由定理4可知：含參變量反常積分在a,b上一致收斂. 例6 設,證明含參變量積分在0,1上一致收斂. 證明 令,易見,對每個n,為0,1上的增函數(shù),故有 ,n=1,2.又當t1時,有不等式,所以 以收斂級數(shù)為優(yōu)級數(shù),推得在0,1上一致收斂.另外,對任意的有,并且對任意固定即是區(qū)間1,+)上的減函數(shù),因此由定理2知,含參

12、變量積分在0,1上一致收斂. 由此可見,以定理2為依據(jù),我們既可以利用函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別某些含參變量積分的性質,也可以利用積分的便利條件判斷某些函數(shù)級數(shù)的一致收斂性. 定理2.10 函數(shù)數(shù)列在數(shù)集D上一致收斂于對任意給定的,使得當n>N時,對一切和任意的,都有. 定理2.11 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂對任意的,使得當n>N時,對一切和任意的,都有. 由定理1和定理2容易看出,函數(shù)項級數(shù)一致收斂同他的部分和序列的一致收斂是等價的.雖然都是充要條件,但在實際應用上,要用這一原理判斷一致收斂仍是困難的,因為函數(shù)的片段也是較難求和.從以上的定理可推出更為簡單的M判別法如下： 定

13、理2.12 設有函數(shù)項級數(shù),且的每一項滿足,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂. 由上可知,M判別法也只是充分判別法,一般的函數(shù)項級數(shù)很難滿足此充分條件,即使在滿足的條件下,在尋求其相應的控制級數(shù)（或優(yōu)級數(shù)）時也具有相當?shù)碾y度. 定理2.13 設級數(shù)為函數(shù)項級數(shù),若,使n>N時有,其中,且在I上有界,則在I上絕對收斂. 證明 不妨設n=1時就有,則可推的 n=2,3 M = 而收斂根據(jù)M判別法在I上一致收斂. 推論 設級數(shù) 為函數(shù)項級數(shù),且（n=1,2.）于I上有界,則在I上絕對一致收斂. 證明 由且,當n>N有,即當n>N有其中而收斂.根據(jù)M判別法,于I絕對一致收斂. 定理2.14

14、 設級數(shù)為函數(shù)項級數(shù),使n>N時有,且,則在I上絕對一致收斂. 證明 據(jù)條件,n>N時有由r<1,收斂,據(jù)M判別法,于I絕對一致收斂. 推論 設為函數(shù)項級數(shù),則級數(shù)于I絕對一致收斂. 證明 由可見有即當n>N有收斂.據(jù)M判別法,于I絕對一致收斂. 定理2.15 設,都定義在I上,若,n=1,2,.且于I一致收斂,且有,則于I絕對一致收斂. 證明 由在I上一致收斂,且0,n=1,2.n=1,2.據(jù)Cauchy一致收斂準則：則,當n> 有而由n>N時,則當時,便有此時在I上滿足Cauchy條件,故于I一致收斂. 定理2.16 設函數(shù)數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致有界,且

15、關于x的單調遞增或單調遞減,則在（a,b）內(nèi)一致收斂數(shù)項級數(shù)和都收斂. 證明 先證必要性因為在（a,b）內(nèi)一致收斂,即對任意給定,存在,使得n>N時,對一切,有.故.又由于關于x的單調增加或單調減少,不妨設關于x單調增加,且函數(shù)列在（a,b）內(nèi)有界,則每一個在（a,b）內(nèi)有界,必有上確界,令,則由上有= ,即=,因此,有,說明收斂.同理,可以得到級數(shù)收斂. 再證充分性. 令,則顯然有.由已知條件知在（a,b）內(nèi)一致收斂,而級數(shù)收斂,當然在（a,b）內(nèi)一致收斂,所以可推得=+在（a,b）內(nèi)一致收斂.由以上定理可推得兩個推論： 推論1 若函數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致有界,非負且同時單調遞增或單調

16、遞減,則在（a,b）內(nèi)一致收斂數(shù)項級數(shù)收斂. 推論2 若函數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致有界,且導數(shù)不變號,則在（a,b）內(nèi)一致收斂數(shù)項級數(shù)和都收斂. 由定理1和推論1、2可知,把判斷函數(shù)項級數(shù)的一致收斂與否轉化為判斷數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散.對滿足條件的級數(shù),此方法既能判斷函數(shù)項級數(shù)在某個區(qū)間的一致收斂,還能很快判斷其在另外區(qū)間的不一致收斂,下面舉兩個例子說明. 例7 判別函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)間（0,1）上不一致收斂,而在區(qū)間0,q(0<q<1)上一致收斂. 證明 由于,顯然,函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)收斂,當時.要使（不妨設）只要,即函數(shù)項級數(shù)在0,q上一致收斂. 此外,對充分大的正整數(shù)n,

17、在區(qū)間（0,1）內(nèi)總有某個,使得.所以函數(shù)項級數(shù)在（0,1）內(nèi)不一致收斂. 證明 由題可知滿足以上推論1,又因為,所以在0<q<1時都收斂,故函數(shù)項級數(shù)在0,q上一致收斂. 例8 討論函數(shù)級數(shù)的一致收斂性. 證明 因為發(fā)散,所以函數(shù)項級數(shù)在(0,+)上不一致收斂；而對充分小,=收斂,故函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂. 已知、在I上一致收斂,且,當n>N有在I上一致收斂. 證明 不妨設n=1開始,便有由、在I上一致收斂,根據(jù)Cauchy準則：,當n>有,即而n=1,2.就必有級數(shù) 此即在I上滿足Cauchy一致收斂條件. 推論 一致函數(shù)項級數(shù)、都收斂,若,當n>N時有,則函

18、數(shù)項級數(shù),即為常數(shù)項級數(shù),則可判收斂. 定理2.18 設函數(shù)列在a,b單調,且及都絕對收斂,則級數(shù)在a,b一致收斂. 證明時只要注意有minmax并用定理1的推論既得. 兩個函數(shù)項級數(shù)和,若,當（其中C為正常數(shù)）且函數(shù)級數(shù)在區(qū)間I絕對一致收斂,則函數(shù)級數(shù)在區(qū)間I絕對一致收斂,則函數(shù)級數(shù)在區(qū)間I絕對一致收斂. 證明 一致級數(shù)在區(qū)間I絕對一致收斂,即對（其中C為正常數(shù)）,有.又由條件知,取N=max,當有.由級數(shù)收斂柯西準則知,函數(shù)級數(shù)在區(qū)間I一致收斂,從而級數(shù)在區(qū)間I一致收斂.此定理有如下推論： 推論1 （比較極限法） 若有兩個函數(shù)項級數(shù)和（）,且有=k 且,若級數(shù)在區(qū)間I絕對一致收斂,則函數(shù)級

19、數(shù)在區(qū)間I也絕對一致收斂. 證明 由=k 且 即有,使且C=k+>0.即.又級數(shù)在區(qū)間I絕對一致收斂,由比較判別法的定理1知級數(shù)在區(qū)間I也絕對一致收斂. 例9 證明函數(shù)級數(shù)與在區(qū)間I一致收斂,則級數(shù)在區(qū)間I一致收斂,又有,故0-且級數(shù)在區(qū)間I絕對一致收斂,由比較判別法定理2知級數(shù)在區(qū)間I一致收斂,從而級數(shù)=在區(qū)間I上也一致收斂.3 正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個新的判別法及證明 定理3.1 設函數(shù)項級數(shù),都是定義在數(shù)集D上正項函數(shù)項級數(shù),.設（1）當>0,時,與在數(shù)集D上同時一致收斂或同時不一致收斂.（2）當=0,時,若在D上一致收斂,則在D上也一致收斂.（3）當>0,時,若在

20、D上不一致收斂,則在D上也不一致收斂. 證明 由,則取當n>N時,對一切有 定理3.2 設是定義在數(shù)集D上的正項函數(shù)項級數(shù),在D上有界（n=1,2,.）,若,設,則（1）r<1時,在D上一致收斂；（2）r>1時,在D上不一致收斂. 證明 （1）,取當n時,對一切有+<+<1<(r+)<(r+)<<(r+).由在D上有界,即存在M>0,對一切有M,由收斂,得收斂,由優(yōu)先級判別法知在D上一致收斂. （2）r>1時,使即 因此不收斂,所以在D上不收斂. 注：=1時,在D上是否一致收斂無法判斷. 定理3.3 設是定義在數(shù)集D上的正項函數(shù)項級數(shù),若設r=,則 （1）r<1時,在D上一致收斂； （2）r>1時,在D上不一致收斂. 證明 （1）r<1時,由取有|若+. 由r+<1,由優(yōu)先級判別法中知在D上一致收斂. （2）r>1時,由,即在D上不一致連續(xù). 定理3.4 設是定義在數(shù)集D上的正項級數(shù),在D上有界（n=1,2.）,若則當r>1時,在D上一致收斂. 證明 由r>1,取對一切x有.取1<s&