專題三三角變換與的綜合問題學生版

1、專題三 三角變換與向量的綜合問題高考數(shù)學命題注重知識的整體性和綜合性，重視在知識的交匯處，對三角形問題的重點在于三角變換、向量、函數(shù)等的綜合，它們之間互相、互相交叉，不僅三角變換，同時深化了向量的運算，體現(xiàn)了向量的工具作用，試題綜 合性較高，所以要求 學生有綜合處理問題的能力，縱觀最近幾年高題難度不大，但是如果某一知識點掌握述解題思路，以達到拋磚引玉的目的.，必會影響到整個解題過程 ，本文從以下幾個方面闡1. 向量與三角形問題的結(jié)合1.1 向量與三角形談“心”內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓圓心）：三角形三條內(nèi)角平分線的交點；外心（三角形外接圓的圓心）：三角形各邊中垂線的交點；垂心：三角形各邊上高的交點；重

2、心：三角形各邊中線的交點，其向量形式為ìABAP = l(AC ), l > 0+ïï是 DÞ P 是 DABC 的內(nèi)心；PABC 內(nèi)的一點，若íïBP = t( BABC )，t > 0+ïïî若 D、E 兩點分別是 DABC 的邊 BC、CA 上 的中點,且ìïDP × PB = DP × PCÞ P 是 DABC 的外心；íïîEP × PC = EP × PA若 GA + GB + GC

3、 = 0 ,則 G 是 DABC 的重心；若 P 是面 DABC 內(nèi)的一點，且 PA× PB = P，則 P 是 DABC 的垂心.例 1. 若 O 點是 ABC 的外心, H 點是 DABC 的垂心,且 OH = m(OA + OB + OC) ,求實數(shù) m 的值.1BCBAACAB1.2三角形形狀三角形的邊可以看做向量的模長，三角形的內(nèi)角可以看做向量的夾角，所以可利用向量的數(shù)量積和夾角公式或者其他線性運算，結(jié)合平面幾何知識來三角形的形狀1.3 向量運算與三角形問題的綜合運用解答這類題，首先向量的基本概念和運算必須熟練，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的應用條件，其次要注意把題目中的

4、向量用三角中邊和角表示，體現(xiàn)向量的工具作用.例 3. 在 ABC 中， 內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b，已知 m = (2cos A, 3 sin A) ， n= (cos A,-= -1 ，mn·（1）求 ÐA 的大小；（2）若 a = 2 3 ， c = 2 ，求 ABC 的面積2. 三角函數(shù)與三角形問題的結(jié)合三角函數(shù)的是三角形，所以經(jīng)常會到三角形，這類型題是在三角形這個載體上的三角變換，第一 ：既然是三角形問題，就會用到三角形內(nèi)角和定理和正、余弦定理以及相關三角形理論，及時邊角轉(zhuǎn)換，可以幫助發(fā)現(xiàn)問題解決思路；第二：它也是一種三角變換，只不過角的范圍縮小

5、了，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的.23. 三角變換、向量、三角形問題的綜合高考會將幾方面結(jié)合起來命題，三角形主要正弦定理、余弦定理以及有關的 三角形性質(zhì)；向量主要 主要例5.向量的運算、向量的模、向量的夾角、向量的垂直以及向量的共線，體現(xiàn)向量的工具作用，三角變 換求值、化簡、變形.在 DABC 中，a ，b ，c 分別是角 A ，B ，C 的對邊，向 量 m = (b, 2a - c) ，n = (cos B, cos C) ，且 m / n （）求角 B 的大?。籶（）設 f= cos(wx - B ) + sin wx(w > 0) ，且 f (x 的最小正周期為 p ，求

6、 f (x 在區(qū)間 0, 上的22最大值和最小值4. 實際應用中的三角形問題在實際生活中往往會遇到關于距離、角度、高度的測量問題，可以借助平面圖形，將上述量放在一個三角形中，借助解三角形知識達到解決問題的目的.例 6.如圖，兩座物 AB，CD 的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是 9m 和物 AB 的頂部 A 看物 CD 的張角 ÐCAD15m，從(1) 求 BC 的長度；(2) 段 BC 上取一 點 P(點 P 與點 B，C 不重合)，從點 P 看這兩座物的張角分別為 ÐAPB = a ，ÐDPC = b ，問點 P 在何處時， tan(

7、a + b ) 最小？3課后強化訓練（一）選擇題（12*5=60 分）1.【省廣州市海珠區(qū) 2014 屆高三上學期綜合測試二】在 DABC 中，已知 a 、b 、c 分別為 ÐA 、ÐB 、ÐC 所對的邊，S 為 DABC 的面積，若向量 p = (4, a2 + b2 - c2 ) ，q = (1, S ) 滿足 p/q ，則 ÐC =（）A 450B. 300C. 600D. 1200】 DABC 的三個內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為 a,b，2. 【遼寧省沈陽二中 2014 屆高三上學期期末a sin B cos C + c sin B co

8、s A = 1 b, 且a > b,則2（）B pC 2pD 5pA. p63363. 【遼寧省鐵嶺市第一高級中學 20132014 學年高三上學期期末】在 DABC 中，角 A,B,C 所對的邊a, b，已知 a = 2 3, c = 2 2,1+ tan A = 2c , 則 C=()tan BbC. 45° 或 135°A. 30°B.45°D. 60°4. 【福建莆田一中 2014 段考】 DABC 的三 個內(nèi)角 A, B, C 對應的邊分別 a, b ，且a cos C, b cos成等差數(shù)列，則角 B 等于（）A . 300B

9、.600C. 900D.12007. 【江西宜春市二高 2014 屆高三第五次數(shù)學月考】設 A, B, C 是 DABC 的三個內(nèi)角， 且滿足：sin2 B + sin2 C = sin2 A +3 sin B sin C ，則sin(B等于（）A. 12332232B.C.D.48.（山東省濟南外國語學校 201 4 屆高三上學期期 末）在 DABC 中，已知 sin C = 2sin( B，那么 DABC 一定是()A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等邊三角形】在 ABC 中,角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b 9. 【河北衡水中學 2014 屆高三上學期期末,且滿足a

10、sin B = b cos A ,則2 sin的最大值是()B.3C.7D. 2 7A 1acos B】ABC 中，已知 a、b、c 分別是角A、B、C 的對邊，且=10.【成都七中 2014 屆高三上學期期末，bcos AA、B、C 成等差數(shù)列，則角 C=（）p3p6ppppABC或D或6232（二）填空題（4*5=20 分）13. 【黑 龍江省雙鴨山一中 2014 屆高三上學期期末】在 DABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為a、b、c ，且 a cos B - b cos A = 1 c ，當 tan( A - B) 取最大值時，角C 的值為.214. 【鹽城市 2014 屆高三年級

11、第一學期期末】在 DABC 中，若(CA + CB) × AB = 2 | AB |2 ，則 tan A5tan B=.15.【省中山市一中 2014 屆高三第二次統(tǒng)測】.在 DABC 中， AB=2 3 ， AC=2 ， C=BC =，則 .sin B省中山實驗高中 2014 屆高三 1 1 月階段】在 DABC 中，A = 120 , AB = 5, BC = 7, 則16. 【sin C的值為 5（三）解答題（4*12=48 分）18.【省瀘州市 201 4 屆高三上學期教學質(zhì)量摸底】(本小題滿分 12 分) 在ABC 中，角A 、 B、C的對邊分別為 a 、 b 、 c ，設

12、 S 為ABC 的面積，滿足 4S =3(a2()求角C 的大小；()若1 + tan A = 2c ，且 AB BC = -8 ，求 c 的值tan Bb619. 【河南中 原名校 20132 014 學年上學期期末聯(lián)考】（本小題滿分 12 分）ppbsin 2C在ABC 中，A、B、C 為三個內(nèi)角，a、b、c 為相應的三條邊，C，且2a - bsin A - sin 2C3（2）若 BA BC 2，求 BA · BC 的取值范圍7補充知識：正弦定理和余弦定理 bc 1 正弦定理：2R，其中 R 是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcasin Asin Bsin C

13、abc sin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A ，sin B ，sin C2R2R2R等形式，解決不同的三角形問題2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形：b2c2a2a2c2b2a2b2c2cos A，cos B，cos C.2bc2ac2ab1absin C21bcsin A21acsin Babc1(abc)·r(r 是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算 R、3 SABC2 4R 2r.4 在ABC 中，已知 a、b 和 A 時，解的情況如下：難點正本 疑點1在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC 中，A>Ba>bsin A&