立體幾何三大公理-的應用(2024160306)

1、、共線問題 例1.假設 ABC所在的平面和 AiBCi所在平面相交，并且直線AA、BB、CG相交于一點0,求證:(1)AB和AiBi、BC和 BG、AC和 AG分別在同一平面內;(如圖).如果AB和AB、BC和B C、AC和AC分別相交，那么交點在同一直線上例2. 點P、Q R分別在三棱錐 A-BCD的三條側棱上，且POP BC= X,QRA CD= Z,PRA BD= Y.求證：X、Y、Z三點共線.例3. ABC三邊所在直線分別與平面a交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線。二、共面問題例4.直線m n分別和平行直線 a、b、c都相交，交點為 A、B C D E、F,如圖, 求證：直線

2、 a、b、c、m n共面.例5.證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內 ：如圖，直線11, 12, |3，14兩兩相交，且不共點 求證：直線l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面內例6.：A、B、C和A、B、C2分別是兩條異面直線 l 1和l 2上的任意三點， M N R、T分別是 AA2、BiA2、B1B2、CC2的中點求證：M N、R、T四點共面.MBCNNB例7.在空間四邊形 ABCD中, MNP、Q分別是四邊上的點,AQ CP ,=k.QD PD(1)求證：M N P、Q共面. 當對角線 AC= a,BD = b，且MNPQ!正方形時，求AC BD所成的角及k的值(用a,b 表示

3、)三、共點問題 例8.三個平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點或兩兩平行1、(1)證明：T AAQ BB = O,AA、BB確定平面 BAQ/ A Ai、B、Bi 都在平面 ABO內, AB 平面 ABQ AiBi 平面 ABO.同理可證，BC和BiCi、AC和AiG分別在同一平面內.(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據(jù)公理2,證明這兩條直線分別在兩個相交平面內，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上2證明：如圖，設ABA AiB= P;ACn AC= R;面 ABCA 面 A Bi Ci = PR./ BC 面 ABC BiCi 面 AiBiC,且 BC n Bi

4、C= Q Q PR,即P、R、Q在同一直線上.3解析：/ A、B、C是不在同一直線上的三點過A、B、C有一個平面又 ABP,且AB點P既在內又在內，設I,那么p同理可證:Q |,R IP,Q,R三點共線.4解析：證明假設干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合證明 / a / b, 過a、b可以確定一個平面a .T A a,aa,. Aa ,同理 B a.又T A m B m, m a .同理可證n a ./ b/ c, 過b,c可以確定平面B,同理可證 m 3 .平面a、3都經過相交直線b、m,平面a和平面3重合，即

5、直線a、b、c、m n共面.5、解析：a,然后證其它直線也在a內證明：圖中，l iA l2= P, I i,l 2確定平面a .又 I i A I 3= A,l 2n I 3= C,- C,A a .故 I 3 a .同理I 4 a .- I i,l 2,l 3,l 4共面.圖中，I i,l 2,l 3,l 4的位置關系，同理可證I i,l 2,l 3,l 4共面.所以結論成立.6、證明 如圖，連結 MN NR貝U MIN/ li,NR/ 12,且MN R不在同一直線上(否那么， 根據(jù)三線平行公理，知li/ I 2與條件矛盾). MN、NR可確定平面3,連結 BG,取其中點 S.連 RSST,

6、貝U RS/ 12,又 RN/|2,.B，又ST/l1,MN l i,.MIN/ST,又 SB,. ST 3 .MQ / BD,且AMAM MBM、N、R、T四點共面.7解析：/ AM = AQ = kMB QDMQ = AM = _k_BD AB k 1 kMQ=BDk 1CNNBCPPDPN / BD,且CNCN NBNP = CN BD CB從而kNP=BDk 1MQ/NP, MQ NP共面，從而MN P、Q四點共面.BM =丄 BN =丄 MA = k , NC = kBM = BN = 1BM = _±_MA NC k，BM MA k 1MN / AC,又 NP/ BD.M

7、N與NP所成的角等于AC與BD所成的角.AC與BD所成的角為90°,又 AC=a, BD=b,MNACBM =BA k 1MN =又MQ =b,且 MQ= MNk 1說明：公理4是證明空間兩直線平行的根本出發(fā)點 ：平面 a Q平面 3 = a,平面 卩Q平面 y =b,平面 Y門平面 a = C. 求證：a、b、c相交于同一點，或 a II b II c.證明： a n 3 = a, 3 Q Y = b a、b 3a、b 相交或 a / b.(1) a、b相交時，不妨設 an b= P,即P a, P b而 a、b 3 , a a P 3 , P a，故P為a和3的公共點又T an 丫 =