線性變換在多變量函數(shù)積分學(xué)中的應(yīng)用

1、線性變換在多變量函數(shù)積分學(xué)中的應(yīng)用在多變量函數(shù)積分學(xué)中，合理進(jìn)行變量代換，能起到化繁為簡的作用，常用的變量代換，有 球坐標(biāo)，極坐標(biāo)代換，或類似此類的代換。而事實(shí)上，線性代數(shù)為我們看問題提供了一個(gè)非常 好的視角。線性變換用于多重積分，曲面，曲線積分中，往往更為靈活，并不是如球坐標(biāo)等 代換較易看出。下作討論。在O-XYZ坐標(biāo)系中，將一組基X , Y , Z乘一個(gè)矩陣 M3X3，轉(zhuǎn)化為另一組基U ,V, W,這時(shí)Jacob行列式為=detM= |1|detM特別地，當(dāng)M為正交矩陣,即進(jìn)行正交變換，Jacob行列式為1，在進(jìn)行線性變換時(shí)，要合理選擇M。1.合理選擇M，化復(fù)雜區(qū)域?yàn)楹唵螀^(qū)域。如計(jì)算由平行

2、六面體a!x b| yh| a2x b2 y c2 h2a3x b3y - C3Z二h3圍成的體積，線性變換后，此空間不規(guī)那么區(qū)域可化為標(biāo)準(zhǔn)長方體只需另 a/ Qy qz =u , a2x by c2z = v，a3x b3y c3z = w，易確定-hi < u< hi，-h2< v< h2, -h3< w< h3,于是hih2h3v= I I I vdxdydz= du .dv 電rx，y，z-：u，v，w1a1b1Ga2b2C2a3b3C318h1h2h3-dw=。-a10c.a 1a 2b?ga 2b?C2a3b3c3a3b3C3這樣看問題，防止了為

3、確定積分限而進(jìn)行的復(fù)雜計(jì)算，而且x，y，z地位等價(jià)，化為累次積分，往往計(jì)算量很大。2.合理選擇M，將復(fù)雜的空間曲線轉(zhuǎn)化為某個(gè)平面上的規(guī)那么曲線。在曲線積分中，假設(shè)易找出rt，那么計(jì)算簡便，但假設(shè)曲線由很一般的曲面交線給出，如果曲線在“傾斜的平面上，線性變換可化到O-XYZ平面上，便于研究。如計(jì)算 x2dl , l球面x2 y2z2 =a2與l分析此問題，由于x，y，z對稱,可考慮 |X2dl 二-|(x2y2z2)dl =丄 a2dl，本33文不再討論，事實(shí)上，觀察知,l是x，y，z=0平面上的圓，半徑為 a，圓心在原點(diǎn)，考慮變換到O -UVW 坐標(biāo)系中，使此圓落在ouv平面內(nèi)，圓方程為u2

4、v2 = 1, w = 0。/ '、 xx'a b 久 0 '1=p即5A正交，使得A!A =<y丿<b c丿I。故P正交，使,且在0-xyz系中，三個(gè)基向量i, j,k，在o_uvw系中，三個(gè)基向量為 ,e2,e3，令e3j k，那么q _圓所在平面。再找e1,e2，利用正交性，可令i j _2ke2 二- i - j于是 e1被完全確定為 e2 e3。至此42=0 v = x + y-2zu=00, 6 ,U .2 'V w x2 M )dl =嚴(yán)=2.6.3V 2)dl，再令 u 二 a cost, v 二 a si nv, .6易得結(jié)果。3.最后，舉一例作為正交變換應(yīng)用的說明ax 2bxy cz dxdy,其中 a 0,b2 -ac ： 0QO OO求 e： x2分析：這與ex dx似乎有關(guān)系，如何轉(zhuǎn)化?22因?yàn)?ax 2bxy cy (x y)(xy,定正。1oCi原式=-/ _e-八 1 2ax2 2bxy cy2 二 x2 qydetP，=1，；2'2OQ 'd(,1x'). .y d( 2y')-從以上的討論看出：必須注意觀察條件，才能合理進(jìn)行線性變換，當(dāng)積