多邊形內(nèi)角和及外角和講義

1、多邊形內(nèi)角和及外角和講義第一講 三角形內(nèi)角和及外角和一、謎語導(dǎo)入：形狀似座山，穩(wěn)定性能堅(jiān)。三竿首尾連，學(xué)問不簡單。大家都知道，我們幾何都是由線段組成的各種圖形，最簡單的也就是三條線段圍成的閉合圖形，但是我們謎面上卻說“學(xué)問不簡單”！好，那么它到底多神秘？我們先從三角形內(nèi)外角和講起。2、 基礎(chǔ)知識(shí)回顧： 第一部分：三角形內(nèi)角和180°。(只知道兩角的三角形碎紙可以求出另一角么？)證法1，把三個(gè)角剪下來拼湊成一個(gè)平角180°，這是我們小學(xué)法。證法2，利用平行線法，這是初中生應(yīng)該掌握的。 三角形ABC中，過點(diǎn)A做EF平行于BC 方法很多種，就靠我們自己去發(fā)現(xiàn)，去掉EA這段，延長B

2、A至E，同樣可利用平行線法證出內(nèi)角和180°。后面方法很多，同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn)，去探討。法3：利用平行線把三角形做成一個(gè)平行四邊形，即兩個(gè)ABC的內(nèi)角和（四邊形內(nèi)角和360°），故三角形ABC內(nèi)角和180°。這也是證明四邊形內(nèi)角和的主要方法。（同學(xué)們可以借鑒此法推斷其它多邊形內(nèi)角和。）由三角形內(nèi)角和180°，可知兩個(gè)特殊的三角形：直角三角形，直角外的兩角互補(bǔ)。正三角形的三個(gè)角都為60°。 第二部分：三角形的外角和。 三角形一條邊與另一條邊的延長線組成的角叫外角性質(zhì)1一個(gè)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和性質(zhì)2外角與相鄰內(nèi)角互補(bǔ)性質(zhì)3三角形的外角大于不相鄰的

3、任一內(nèi)角性質(zhì)4三角形的外角和為360°由逆反思維提出三角形的外角和怎么證明呢？ 由定義三角形ABC中A的外角=B+CB的外角=A+C =>外角和=2(A+B+C)=360°C的外角=A+B 多邊形外角和都是360°，請(qǐng)同學(xué)們思考我們?nèi)绾蔚贸鰜淼模?、 實(shí)戰(zhàn)秒殺計(jì)詳解：例1、三角形ABC中，A:B:C=2：3：4 ，那么A、B、C對(duì)應(yīng)的外角度數(shù)比如何？內(nèi)角和法：設(shè)每份X，得出2X+3X+4X=180°，得X=20° =>A=40°B=60°C=80° =>對(duì)應(yīng)外角140°，120°

4、;，100°故比為7:6:5。外角和法：設(shè)每份X，由三角形外角和360°得出有： 180°2X+180°3X+180°4X=360°，得X=20° => 對(duì)應(yīng)外角140°，120°，100°故比為7:6:5。 提高法：設(shè)每份X，三角形 A、B、C 對(duì)應(yīng)為2X、3X、4X ，那么他們對(duì)應(yīng)的外角應(yīng)為（3X+4X）、（2X+4X）、（2X+3X），我們不用解直接得到比為7:6:5。例2、如圖，求五個(gè)角的度數(shù)和。 解：標(biāo)出6，7 6=1+3，7=2+5 故 4+6+7=180° 即 1+

5、2+3+4+5=180°同理，我們也能分出其他三角形解出。這種類型的題主要鍛煉我們的識(shí)圖、分圖能力。例3、如圖示，1=80°，2=70°，求CEA，BDA的度數(shù)。 我們觀察出，題中三角形可以還原成一個(gè)完整的三角形，如下圖。ADE=ADE1=80°AED=AED2=70°BDA=180°80°×2=20°CEA= 180°70°×2=40°提高點(diǎn)：關(guān)于這類型的題我們都可以推本溯源找到其母體所在，再分析問題就簡單多了。模型一：已知ADE、AED，猜想CEA和BDA與A的

6、關(guān)系。 同理，把三角形母體示意出來，如圖 BDA=180°21 CEA=180°22 A=180°(120)=>BDA+CEA=2A 模型二：如圖，已知ADE、AED，猜想CEA和BDA與A的關(guān)系。 把三角形母體圖示意如右 CED=180°AEDCEA=AEDCED=2AED180°BDA= 180°2ADE A= 180°（ADE+AED） => BDACEA=2A模型三：如圖，已知ADE、AED，猜想CEA和BDA與A的關(guān)系。 把三角形母體圖示意如右BDE=180°ADEBDA=ADEBDE=2AD

7、E180° CED=180°AEDCEA=CEDAED=180°2AED A=180°AEDADE 聯(lián)立，可得 CEABDA=2A4、 實(shí)題演練（2013，中考原題）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，將BMN沿MN翻折，得FMN，若MFAD，F(xiàn)NDC，則B多少（95°） 第二講 多邊形內(nèi)角和及外角和 三角形是最簡單的幾何圖形，我們已經(jīng)學(xué)了其內(nèi)外角和，那么多邊形的內(nèi)外角和又有什么特點(diǎn)呢？1、 老師上一講留了兩個(gè)懸念給大家，不知道同學(xué)們課后有沒有思考呢？ 五邊形的內(nèi)角和怎么去算？ 怎樣證明多邊形外角和都是360°？二、知

8、識(shí)回顧： 1、四邊形內(nèi)角和 任意一個(gè)四邊形只要連接一條對(duì)角線都可以分成兩個(gè)三角形，故四邊形內(nèi)角和為2×180° 也可如右圖，在四邊形中間取一點(diǎn)再連接各頂點(diǎn)，可以構(gòu)成四個(gè)三角形，那么四邊形內(nèi)角和表示為：4×180°（1+2+3+4）=4×180°360°2、五邊形內(nèi)角和任意一個(gè)五邊形都能分成如右圖所示的三個(gè)三角形，故五邊形內(nèi)角和為3×180° 也可如右圖所示，在五邊形中間取一點(diǎn)再連接各頂點(diǎn)，可以構(gòu)成5個(gè)三角形，那么五邊形內(nèi)角和表示為：5×180°（1+2+3+4+5）=5×18

9、0°360°3、 多邊形內(nèi)角和 把多邊形可拆分為若干個(gè)三角形，在多邊形中間取一點(diǎn)再連接各頂點(diǎn)可以得出內(nèi)角和為:n×180°360°=（n2）×180°正多邊形各內(nèi)角度數(shù)為：4、多邊形外角和 如右圖示，外角和由一角的外角和此角互補(bǔ)可得： 外角和=180°1+180°2+180°3+180°4=4×180°360°=360° 同理，多邊形外角和n×180°（n2）×180°=360°3、 秒殺技能詳解

10、 口頭回答：1、當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和也增大？ 2、當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的外角和也增大？ 3、從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出（n-2）條對(duì)角線，那么可以得到（n-2）個(gè)三角形？例1、如果一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都相等，且小于45°，那么這個(gè)多邊形邊數(shù)最少為幾條？解：假令每個(gè)外角恰好等于45°，則360°÷45°=8 每個(gè)外角都小于45°，即n>360°÷45°=8（多邊形外角和不變，角度就越小，邊數(shù)愈多）故，邊最少為9條例2、凸邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角，則邊數(shù)的最大值為多少？解：由題意，其外角僅有兩個(gè)為銳角，其余的（n-2）則90°。 2*+(n-2)*=360&