微分幾何課后習(xí)題答案第四版梅向明黃敬之編

1、§1曲面的概念r1 .求正螺面r=ucosv,usinv,bv的坐標(biāo)曲線.r解u-曲線為r=ucosv0,usinv0,bv0=0,0,bv()+ucosv0,sinV0,0,為曲線的直母線；v-曲線為r=u0cosv,u0sinv,bv為圓柱螺線.2 .證明雙曲拋物面r=a(u+v),b(u-v),2uv的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。r證u-曲線為r=a(u+v0),b(u-v0),2uv0=av0,bv0,0+ua,b,2v0表小過點(diǎn)av0,bv0,0以a,b,2V0為方向向量的直線；rv-曲線為r=a(u0+v),b(u0-v),2u°v=au°,bu0,0+v

2、a,-b,2u0表示過點(diǎn)(au0,bu。,0)以a,-b,2u。為方向向量的直線r3 .求球面r=acossin,acossin,asin上任思點(diǎn)的切平面和法線方程。解r=asincosasinsin,acos,r=acossin,acoscos,0任意點(diǎn)的切平面方程為acoscosyacossinzasinasincosasinsinacosacossinacoscos即xcoscos+ycossin+zsin-a=0;法線方程為xacoscosyacossinzasincoscoscossinsin224.求橢圓柱面41在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線，a2b2此曲面只有一個(gè)切平

3、面。22解橢圓柱面、*1的參數(shù)方程為x=cos,y=asin,z=ta2b2asin,bcos,0,幾0,0,1）。所以切平面方程為:0,即xbcos+yasinab=0xacosybsinasinbcos00此方程與t無關(guān)，對于的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面，而的每一數(shù)值對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面35.證明曲面ru,v,a-的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常uv數(shù)。3證ru1。多),rvuv30,1,1）。切平面方程為:uvuvofz3o3a3a2一四面體的體積為:與二坐標(biāo)軸的父點(diǎn)分別為（3u,0,0）,（0,3v,0）,（0,0獸-）。于是,u

4、vV631u131V篇聲是常數(shù)。§2曲面的第一基本形式1,求雙曲拋物面r=a(u+v),b(u-v),2uv的第一基本形式.解rua,b,2v),rva,b,2u),Eru2a2b24v2,222222Frurvab4uv,Grvab4u,I=(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2。2 .求正螺面r=ucosv,usinv,bv)的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。解rucosv,sinv,0),rvusinv,ucosv,b),Eru21,Frurv0,Grv2u2b2,I=du2(u2b2)dv2,丁F=0,.坐標(biāo)曲線互相垂直。3 .在第

5、一基本形式為I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程為u=v的曲線的弧長。解由條件ds2du2sinh2udv2,沿曲線u=v有du=dv,將其代入ds2得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv，在曲線u=v上，從v1至|v2的弧長v2為|coshvdv|sinhv2sinhv1|。vi4 .設(shè)曲面的第一基本形式為I=du2(u2a2)dv2,求它上面兩條曲線u+v=0,uw=0的交角。分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量E1,Fv0,

6、Gu2a2,曲線u+v=0與u-v=0的交點(diǎn)為u=0,v=0,交點(diǎn)處的第一類基本量為E1,Fv0,Ga2。曲線u+v=0的方向?yàn)閐u=-dv,u-v=0的方向?yàn)?u=6v,設(shè)兩曲線的夾角為，則有2EduuGdvu1acos=,；。Edu2Gdv2,Eu2Gv21a5 .求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x0,y=y0的交角.r解曲面的向重表小為r=x,y,axy,坐標(biāo)曲線x=x0的向重表小為rrr=x0,y,ax°y,其切向重1=0,1,ax。;坐標(biāo)曲線y=y0的向重表小為r=x,y,axy0,其切向量屋=1,0,ayO,設(shè)兩曲線x=乂°與y=y°的夾角為，則有cos

7、2_rxryax0yo1rx11ry11a2x2.1a2y26 .求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解對于u-曲線dv=0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)?u:6V，則有Edu6u+F(du6v+dv6u)+Gdv6v=0,將dv=0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為E6u+F6v=0.同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為F6u+G6v=0.7 .在曲面上一點(diǎn)，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=O,確定兩個(gè)切方向(du:dv)和(6u:5v),證明這兩個(gè)方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0.證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv0,則所給二次方程可寫成為P(

8、四)2+dvduduuduuRduu2Q2Q-+R=0設(shè)其一根面，一，則=5,/+_=宿又根據(jù)一萬向垂直的條件知E+F(+)+G=0dvvdvv將代入則得ER-2FQ+GP=0.8 .證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.證用分別用八、d表示沿u曲線，v曲線及其二等分角線的微分符(FduGdv)2G號，即沿u曲線6u0,6v=0,沿v曲線u=0,v0,沿二等分角軌線方向?yàn)閐u:dv，根據(jù)題設(shè)條件，又交角公式得(EduvFdvu)2(FduvGdvv)2(EduFdv)222_22，川Eu2ds2Gv2ds2E展開并化簡得E(EGF2)du2=G(EGF2)dv2,而EG

9、-F2>0,消去EG-F2得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.設(shè)曲面的第一基本形式為du2(u2a2)dv2,求曲面上三條曲線u=1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。線圍城的三角形的面積是01a1S=.u2a2dudv.u2a2dudvau0ua1a22=2,uadudv=2(10u0a23.一=一(u2a2)2u,u23a22.2=a-ln(1v12)。r10.求球面r=acossin解r=asincos,asinE=r2=a2,F=rr=0,G=r2)u2a2dua2222aaaln(uua)|0,acossin,asin的面積。sin,a

10、cos,r=acossin,acoscos,0=a2cos2.球面的面積為：254225222S=2d.acosd2a2cosd2asin|24a.2022rr2.11.證明螺面r=ucosv,usinv,u+v口旋轉(zhuǎn)曲面r=tcos,tsin,Qt1(t>1,0<<2)之間可建立等距映射=arctgu+v,t=.u21.分析根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射=arctgu+v,t=Ju21，可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式.證明螺面的第一基本形式為I=2du2+2dud

11、v+(u2+1)dv2,旋轉(zhuǎn)曲面的第一基t2本形式為1=(1)dt2t2d，在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換=arctgu+v,tt1=<u21,則其第一基本形式為：2/2/U1U2/212(12)-2du(u1)(rdudv)uu11uUI91=(21)du2du2dudv(u1)dv=2du+2dudv+(u+1)dv=I.u1u所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu+v,tr'u-1,M=0,N=-coshu-=1.1.sinh21所以II=-du2+dv2o2.計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的2x35x；4x1X22x；第一基本形式，第二基本形式.解曲面的向量表示為,也,1222x

12、2,葭(1,0,5x12x2(0,0)1,0,0,q0,1,2x12x2(0,0)0,1,0,%1(0,0,5,?。?0,0,2,120,0,2,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,I=dx12dx2,II=5dx24dxidx22dx2.r3.證明對于正螺面r=ucosv,usinv,bv,-oo<u,v<3DOft處有EN-2FM+GL=01.§3曲面的第二基本形式1 .計(jì)算懸鏈面r=coshucosv,coshusinv,u第一基本形式，第二基本形式.解ru=sinhucosv,sinhusinv,1rv=-coshusinv,coshucosv,0ru

13、u=coshucosv,coshusinv,0uv=-sinhusinv,sinhucosv,0,2222rw=-coshucosv,-coshusinv,0E幾=coshu,Frurv=0,G%=coshu.所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.rurv1r、n=2-coshucosv,coshusinv,sinhusinv,coshuL=-2sinhEGF2cosh2u解rucosv,sinv,0,rvusinv,ucosv,b,ruu=0,0,0,25=-uucosv,cosv,0,rw=-ucosv,-usinv,0,E"1,Frurv0Grv2u2b2,L=0,M

14、=b,N=0所以有EN-2FM+GL=0.,u2b214 .求出拋物面z(ax2by2)在(0,0)點(diǎn)沿萬向(dx:dy)的法曲率.22adxbdydx2dy2解rx1。ax(0,0)(1,0,0,ry。/處.0,1,0,00,04,70,0,0)ryy0,Qb,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,方向dx:dy的法曲率kn與(S改線的曲率與法5 .已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0<d<1)求曲率.解設(shè)平面與(S)的交線為(C),則(C)的半彳全為V1d2,即(C)的曲率為1kj，又(C)B王法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于v1d，所以(C),1d2的法曲

15、率為knk.1d2=1.6 .利用法曲率公式kn”，證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基本I量成比例。證明因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)(u,v),沿任意方向du:dvN1N(-),即第一、第GR,IILdu22MdudvNdv21.1LMkn-2r或-一，所以一一IEdu2FdudvGdvRREF類基本量成比例。7 .求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線r證明對于正螺面r=ucosv,usinv,bv),rucosv,sinv,0,rvusinv,ucosv,b,ruu=0,0,0,rvv=

16、-ucosv,-usinv,0)1=一（丁'G=0,N=（2r=J=0所以U族曲線和V族曲線都是漸近線。而U族EGF2EGF2曲線是直線，v族曲線是螺旋線。8 .求曲面zxy2的漸近線.解曲面的向量表示為rx,y,xy2,rx1,0,y2,ry0,1,2xy,:0,0,0）,rxy0,0,2y,ryy0,0,2x）,Erx214y4,Frxry2xy2,Gy214x2y2.L0,M2y,N2x.14x2y2y4.14x2y2y4漸近線的微分方程為Ldx22MdxdyNdy2,即4ydxdy2xdy20,一族為dy=0,即y孰為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即lnx2yC2,或x2y

17、c,c為常數(shù).9 .證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證在每一條曲線(C)的主法線曲面上，沿(C用切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面，與曲線(C)的密切平面重合，所以每一條曲線(C而它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線：1rF(s),它的主法線曲面為S:rr(s,t)1r(s)tr(s),rs(s)t&(s)rt(rr)(1t)rtr,rt，rsrttr(1t)rrr在曲線上，t=0,rsrt，曲面的單位法向量n,st，即n:,EGF2所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10 .證明在曲面z=f(x)+g(y)±曲線族乂=常數(shù)，丫=常數(shù)構(gòu)成共

18、腕網(wǎng).證曲面的向量表示為二x,y,f(x)+g(y),x幫數(shù),丫=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。,、一1rrrrx1,0,f),ry0,1,g.%0,0,f,rxy0,0,0,加0,0,g),因?yàn)镸rrxyxry,EGF20,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共腕網(wǎng)，即曲線族x=數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共腕網(wǎng)。r11 .確止螺旋面r=ucosv,usinv,bv上的曲率線.角單rucosv,sinv,0,rv2C+L_2/lruv=-sinv,cosv,0EL1,Frurv0,G%2u2b2，L=0,M=|三ubusinv,ucosv,b,“=0,0,0,rw=-ucosv,-usinv,0N=0,曲率線的微分方程為：dv210

19、dudv0bu2b2du2u2b200，即dv1u2b2du,積分得兩族曲率線方程：vln(u.u2b2)G和vln(Nu2b2u)c2.12 .求雙曲面z=axy上的曲率線.22y,Fax,G22a2x2,L0,Ma.1a2x2,N=0.22aydy2221axdxdy222axyaA2222,1axaydx22ax=0得(1a2y2)dx2(1a2x2)dy2,積分得兩族曲率線為ln(ax1a2x2)ln(ay.1a2y2)c.13 .求曲面r|(uv),b(uv),uv上的曲率線的方程.2,222,22,220,abvabuvabu用牛E,F,G,L444abM=-2,N=0代入曲率線的

20、微分方程得所求曲率線的方程是,EGF2(a2b2u2)dv2(a2b2v2)du2,積分得：ln(u.a2b2u2)ln(va2b2v2)c.14 .給出曲面上一曲率線L,設(shè)L上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角，求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線，所以沿L有dnndr,又沿L有？n=常數(shù),求微商得n一n0,而門門與正交，所以n0,即-n=0,則有=0,或n=0.若=0,則L是平面曲線；若n=0,L又是曲面的漸近線，則沿L,n=0,這時(shí)dn=0,n為常向量，而當(dāng)L是漸近線時(shí)，=n,所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若n,則因ndrIIr,所以n口，所以dnII&,由伏

21、雷rrr內(nèi)公式知dnII()而L是曲率線，所以沿L有dnIIr,所以有=0從而曲線為平面曲線；若不垂直于n,則有？n=常數(shù)，求微商得&8-&0,因?yàn)長是曲率線，所以沿L有dnIIdr,所以r&0,所以n0,即-n=0,若=0,則rrrrr問題得證；否則n=0,則因n0,有nII,dnIId|(-)|,矛盾。15 .如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。16 .求正螺面的主曲率。r斛設(shè)正螺面的向重表小為r=ucosv,usinv,bv.解ucosv,sinv

22、,0,rvusinv,ucosv,b,“=0,0,0,222,2rw=-ucosv,-usinv,0i%v=-sinv,cosv,0Eru1,F1%rv0,G%ub,L=0,M=b,N=0代入主曲率公式22ub2(EG-F2)N-(LG-2FM+ENn+LN-M2=0得；=2a22。(u2a2)2所以主曲率為12a2,22a2。uaua17 .確定拋物面z=a(x2y2)在(0,0)點(diǎn)的主曲率.rrccrr斛曲面方程即ryy0,0,2a,rx,y,a(xy),葭1,0,2axry0,1,2ay,rrrrxx0,0,2a,®0,0,0,%0,0,2a。在(0,0)點(diǎn),E=1,F=0,G

23、=1,L=2a,M=0,N=2a所以N-4an+4a2=0,兩主曲率分別為1=2a,2=2a.18 .證明在曲面上的給定點(diǎn)處，沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為1、2,任給一方向及與其正交的方向十%,則這兩方向的法曲率分別為n()1cos22sin2,n(2)1cos2(2)2sin2(2)1sin22cos2,即n()n(/2)12為常數(shù)。19 .證明若曲面兩族漸近線交于定角，則主曲率之比為常數(shù).證由n1cos22sin2得tg21，即漸進(jìn)方向?yàn)閍rctgJ，2=-arctgJ.又-2+1=2i為常數(shù)，所以為i為常數(shù)，即為222常數(shù).20 .求證正螺面的平均

24、曲率為零證由第3題或第16題可知.21 .求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=0的平均曲率和高斯曲率證在點(diǎn)x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,HG2FM-2-NE-0,2(EGF)k=LNEGF22=-a22 .證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn)證法一:由H=12=0有1=2=0或產(chǎn)-20.22sin2=0，即對于任意的若尸2=0，則沿任意方向，n()1COS222IILdu2MdudvNdvdu:dv,kn22-0，所以有L=M=N=0對應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).IEdu22FdudvGdv2若產(chǎn)-20,則K=12<0，即LN-M2<0,對應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).證法二：取曲率網(wǎng)為

25、坐標(biāo)網(wǎng)，則F=M=0因?yàn)闃O小曲面有H=0,所以LG+EN=0因E>0,G>0所以LN<0。若LNM2=0,則L=M=N=0，曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若LNM2<0,則曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。23 .證明如果曲面的平均曲率為零，則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).證法一：如果曲面的平均曲率為零，由上題曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).若為平點(diǎn)，則任意方向?yàn)闈u近方向，任一曲線為漸近曲線，必存在正交的漸近曲線網(wǎng).若為雙曲點(diǎn)，則曲面上存在漸近曲線網(wǎng).由19題，漸近方向滿足tg2=1,即產(chǎn)/4,2=-/4,兩漸近線的夾角為%,即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng).證法二：QH0LG2FMNE0漸近線方程為Ldu22Mdudv

26、Ndv20du、2duduuNduu2M所以L(一)2M一N0,所以,所以dvdvdvvLdvvLEduuF(duvdvu)GdvvdvvfEdu-F(du-)Gdvvdvv=dvveNF(整)G0,所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。1證法三：M0QH-(12)0,所以圖斯曲率QK12。，所以LNM20,所以曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)或雙曲點(diǎn)。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L=N=0，若M=0,曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若M0,則QH0LG2FMNE0,所以MF=0,所以F=0,所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。24 .在xoz平面上去圓周y=0,(xb)2z2a2(ba),并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面，參數(shù)方程為r=(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin,求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。解E=a2,F=0,G=bacos)2,L=a,M=0,N=cos(b+acos),LN-M2=acos(b+acos),由于b>a>0,b+acos>0,所以LN-M2的符號與cos的符號一致，當(dāng)0&</和-<<2時(shí)，LN-M2>0，曲面上的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)，22即圓環(huán)面外側(cè)的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)；當(dāng)-4<<3-,曲面上的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)