概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案_總主編_鄒庭榮_主編_程述漢_舒興明_第二章

1、第二章習(xí)題解答1.設(shè)B(x)與F2(x)分別是隨機(jī)變量X與Y的分布函數(shù)，為使aFi(x)bFz(x)是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則a,b的值可取為(A).A.aC.a3,bq51B.aD.a=,b=-222.一批產(chǎn)品20個(gè)，其中有5個(gè)次品，從這批產(chǎn)品中隨意抽取4個(gè)，求這4個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)X的分布律.解：因?yàn)殡S機(jī)變量X=這4個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)X的所有可能的取值為：0,1,2,3,4.一c4c0且px=5=CmC20910.2817;323PXcc5=1C204550.4696;969PX=222C15c5c4C2070定0.2167323PX-313C15c5c4C2010ft0.0310323PX

2、=404C15c54c2010.0010969因此所求X的分布律為:00.281710.469620.216730.031040.00103.如果X服從0-1分布，又知X取1的概率為它取0的概率的兩倍，寫(xiě)出X的分布律和分布函數(shù).解：設(shè)Px=1=p,則Px=0=1p.2由已知，p=2(1p),所以p=一3X的分布律為：X1/32/3當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=PXWx=0;1當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=PX=0=_;3當(dāng)x至1時(shí)，F(xiàn)(x)=PXx=PX=0+PX=1=1.0x:二0X的分布函數(shù)為：F(x)=1/30Mx1.I1 x_14. 一批零件中有7個(gè)合格品，3個(gè)不合格品，安裝配件時(shí)，從這批零件中

3、任取一個(gè)，若取出不合格品不再放回，而再取一個(gè)零件，直到取得合格品為止，求在取出合格品以前，已取出不合格品數(shù)的概率分布.解：設(shè)X=在取出合格品以前，已取出不合格品數(shù)).則X的所有可能的取值為0,1,2,3.一一7Px=0=；10377Px=1=109303277Px=2=，一，一=；109812032171Px=3=一一一二.10987120所以X的概率分布為：X|0123P7/107/307/1201/1205.從一副撲克牌(52張)中發(fā)出5張，求其中黑桃張數(shù)的概率分布.解：設(shè)X=其中黑桃張數(shù)).則X的所有可能的取值為0,1,2,3,4,5.Px=005C13C392109上0.2215:C5

4、C529520Px=1_1_4C13C3927417:0.4114一C5266640Px=2C2C3C13C3927417一C：999600.2743PxQIC3C2C13C3916302nnoAK_3一C521999200.0815Px=441C13C39429一C5C5239984-0.010750Px=5：.0.0005C13C3933-5C5266640所以X的概率分布為：X012345-P0.2210.41140.27430.08150.010750.00056. 自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p,當(dāng)在生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即重新進(jìn)行調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)X的概率

5、函數(shù).解：由已知，X:G(p)以P(X=i)=p(1-p),i=0,1，27. 一汽車沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠是相互獨(dú)立的，且紅、綠兩種信號(hào)顯示時(shí)間相同.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù).求X的概率分布.解：X的所有可能的取值為0,1,2,3.口1且PX=0=；2111PX=1=-M二一；2241111PX=2=二一;2228PX22所以X的概率分布為X|0123P1/21/41/81/88. 一家大型工廠聘用了100名新員工進(jìn)行上崗培訓(xùn)，據(jù)以前的培訓(xùn)情況,估計(jì)大約有4%的培訓(xùn)者不能完成培訓(xùn)任務(wù).求：(1) 恰有6個(gè)人不能完成培訓(xùn)的概率；(

6、2) 不多于4個(gè)的概率.解：設(shè)X=不能完成培訓(xùn)的人數(shù)JX:B(100,0.04),(1) PX=6=C1600.0460.9694=0.1052;4kk100_k(2) PX4-%C1000.040.96=0.629.k=09 .一批產(chǎn)品的接收者稱為使用方，使用方風(fēng)險(xiǎn)是指以高于使用方能容許的次品率P接受一批產(chǎn)品的概率.假設(shè)你是使用方，允許次品率不超過(guò)p=0.05,你方的驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)為從這批產(chǎn)品中任取100個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，若次品不超過(guò)3個(gè)則接受該批產(chǎn)品.試求使用方風(fēng)險(xiǎn)是多少？(假設(shè)這批產(chǎn)品實(shí)際次品率為0.06).解：設(shè)X=100個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)),則X:B(100,0.06),所求概率為PX3C：00(

7、0.06)k(0.94)100-=0.1430.k.：310 .甲、乙兩人各有賭本30元和20元，以投擲一枚均勻硬幣進(jìn)行賭博.約定若出現(xiàn)正面，則甲贏10元，乙輸10元；如果出現(xiàn)反面，則甲輸10元，乙贏10元.分別求投擲一次后甲、乙兩人賭本的概率分布及相應(yīng)的概率分布函數(shù).解：設(shè)*甲=投擲一次后甲的賭本,*乙=投擲一次后乙的賭本).則X甲的取值為20,40,且1PX甲=20=PX甲=40=,21PX乙=10=PX乙=30=,2所以X甲與X乙的分布律分別為:2040X乙10301/21/2p1/21/2x：:20x：:10f0,/、1FxJx)=_,廣0,Fx/x=I1,21,11.設(shè)離散20x:二

8、4,0型隨機(jī)變108_PX9=0.0511-0.0214=0.0297;(2) PX_8=0.02136.13.一口袋中有5個(gè)乒乓球，編號(hào)分別為1、2、3、4、5,從中任取3個(gè)，以示3個(gè)球中最小號(hào)碼，寫(xiě)出X的概率分布.解：X的所有可能的取值為1,2,3.C263PX=1=-3-=；C5105C：3Px=2=一；C510C221Px=3=-二.C510所以X的概率分布為：X|123P6/103/101/1014.已知每天去圖書(shū)館的人數(shù)服從參數(shù)為以九下0)的泊松分布.若去圖書(shū)館的讀者中每個(gè)人借書(shū)的概率為p(0p1),且讀者是否借書(shū)是相互獨(dú)立的.求每大借書(shū)的人數(shù)X的概率分布.解：設(shè)丫=每天去圖書(shū)館的

9、人數(shù),則丫：p(?j,iPY=i=-e,i=0,1,2,i!當(dāng)Y=i時(shí)，X:B(i,p),-tokki_kPX=k=PYFCip(1-p)i土二，i二，ikki-k-一i!ki_k八一eCip(1-p)八一ep(1-p)i+i!=i!k!(i-k)!i.kk：；i-ki!ki-kpi-k八一ep(1-p)=e、(1-p).i!k!(i-k)!k!i(i-k)!kk二二.i_kkkk1p-ip(1T)(p)-1p二e(1-p)二ee=ek!i+(i-k)!k!k!即X的概率分布為PX=k=k!15.解:k,p-e-,k=0,1,2,.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)13axb1PX=：-=317

10、ab3(axb)dx=0183PX-=1(axb)dx=34a2b十一，3由三1816.b+=34a2b1/日.1小a-1.5,服從柯西分布的隨機(jī)變量己的分布函數(shù)是F(x)=A+Barctanx,求常數(shù)A,B;PX1以及概率密度f(wàn)(x).-二)n=lim(ABarctanx)=A-一BF(二)=lim(ABarctanx)=ABx,2=0覆行二1A2B_!BIn所以F(x)=十一arctanx；2二PXf(x)17.求：(1)解:1=P1x1=F(1)-F(-1)=0.5;11=F(x)=一-2二1x設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量常數(shù)A的值；(2)X的分布函數(shù)為0,2F(x)=Ax2,I,1,x:二00Mx

11、：1X的概率密度函數(shù)f(x)；(3)px2.(1)由F(x)的連續(xù)性得F(1-0)=F(1+0)=F(1)=1即limAx2=1所以A=1,F(x)=x1一0,2x,x:01,0x1;x-12x,0cx1(2)f(x)=F(x)=J,其他；(3) PX2=F(2)=1.18.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為f(x)=hH當(dāng)x1其它試求：(1)系數(shù)A；(2)廣1P/一X22；(3)X的分布函數(shù)F(x).解：(1)因?yàn)?=產(chǎn)f(x)dxJjoQ1Adx=Aarcsin.d2.1fx1一、.1-所以人=一,f(x)=(冗Ji_x冗0x1其它1-(2)P-：:X：:2=1f(x)dx=1222二(3)當(dāng)x

12、1時(shí),f(x)=PXx=0,當(dāng)0Wx1.1解：(1)由已知，X:E(一),Y:B(5,p)5i10io1_其中p=PX10=1PX10=1一f(x)dx=1_-e5dxe-o5所以丫的分布為_(kāi)kk5k_k2k25kPY=k=C5P(1-p)-=C5(e)(1-e-)-，(k=0,1,2,3,4,5);(2) P1y_1)=1PY=0=1C：(eN)(1-e)5=0.5167.21.設(shè)隨機(jī)變量XN(5,4),求口使:(1)PXa=0.01.解：由XN(5,4)得X-5N(0,1)2(DPixX-5二一51工5:二二J=P:二=：，()=0.9032225查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：=1.3,所以a=7.

13、6;2(2)由PX一5|Aa=0.01得，pX-5a=0.99所以PX-5a=P-ax-5aXC；.X-5=P-:二：二一二：，(一)一：J(一)=24()-1=0.99222222一-CiCi.即(一)=0.995,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得一=2.58,所以Ct=5.162222.設(shè)XN(10,22),求P。X13,pX-10|2.22X-10解：由XN(10,22)得N(0,1)2P(10X13=P10PXT01.5卜=6(1.5)-(0)=0.9932-0.5=0.4932；2PX-10M2=P-2X-102X-10二P_1：-：-1=中.殳(_1)=2苗(1)一1=20.8413_1_0.6

14、826.223 .某地8月份的降水量服從R=185mm,a=28mm的正態(tài)分布，求該地區(qū)8月份降水量超過(guò)250mm的概率.解：設(shè)隨機(jī)變量X=該地8月份的降水量,皿2X-185貝1X:N(185,28),從而：N(0,1)28所求概率為X-185250-185PX_250=P=1_：，(2.32)=10.9898=0.0102282824 .測(cè)量某一目標(biāo)的距離時(shí)，產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X(cm)服從正態(tài)分布N(0,400),求在3次測(cè)量中至少有1次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30cm的概率.X解：由X:N(0,400)得一:N(0,1)20設(shè)丫=在3次測(cè)量中誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30cm的次數(shù),則丫：B(3,p)其中

15、p=PX|30=P-30X30=P1.5X1_0_0_3=1-PY=0=1-C30.86640.13320.997625 .已知測(cè)量誤差XN(7.5,102),X的單位是mm,問(wèn)必須進(jìn)行多少次測(cè)量，才能使至少有一次測(cè)量的絕對(duì)誤差不超過(guò)10mm的概率大于0.9.解：設(shè)必須進(jìn)行n次測(cè)量才能使至少有一次測(cè)量的絕對(duì)誤差不超過(guò)10mm的概率大于0.9.由已知XN(7.5,102),X7.5N(0,1)10設(shè)丫=n次測(cè)量中，絕對(duì)誤差不超過(guò)10mm的次數(shù),則丫：B(n,p)aX-7.5,其中P=PX10.9,即PY=0.2當(dāng)y1時(shí),1Fy(y)=PY-y_=PQ=1；2FY(y)=PYy=Px之=1_PX1-y-211-p-1-y21-y1-Fx()-Fx21-y(一)2即FY(y)=1一r0,1-y()-Fx2),Py(y)=Fy(y)=2P0,1-y()21Px(0,),29.隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=2二(x1)0,求丫=InX的密度函數(shù).解：由于y=lnx是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為x=ey,：=minf(0-0),f(：；3)-：,-=maxf(0,0),f(,f)-,二利用公式得Y=lnX的密度函數(shù)為Py(y)=Px(ey)(eyI2ey2-y，(二e1-二二y；二).設(shè)隨機(jī)變量X表示直線在點(diǎn)的直線與x軸的交a在(0