四年級(jí)數(shù)論進(jìn)位制

1、進(jìn)位制知識(shí)框架、數(shù)的進(jìn)制1 .十進(jìn)制：我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制,特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一.在實(shí)際生活中,除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外,還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制.比方二進(jìn)制,八進(jìn)制,十六進(jìn)制等.2 .二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中,所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制,即“逢二進(jìn)一.因此,二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1.二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、,二進(jìn)制數(shù)也可以寫(xiě)做展開(kāi)式的形式,例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1X25+0X24+0X23+1X22+1X21+0X20.二進(jìn)制的運(yùn)算法那么：“滿二進(jìn)一、“借一當(dāng)二,乘法口訣是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一.注意：對(duì)于任意自然數(shù)n,我們有n0=

2、1o3 .k進(jìn)制：一般地,對(duì)于k進(jìn)位制,每個(gè)數(shù)是由0,1,2,i,(k1)共k個(gè)數(shù)碼組成,且“逢k進(jìn)一.k(k1)進(jìn)位制計(jì)數(shù)單位是k°,k1,k2,如二進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是20,21,22,八進(jìn)位制的計(jì)數(shù)單位是8°,81,82,.4 .k進(jìn)位制數(shù)可以寫(xiě)成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式(anan111131a0)kanknan1kn1|aka.十進(jìn)制表示形式：Nan10nan110n1ao100；二進(jìn)制表示形式：Nan2nan12n1I"a020;為了區(qū)別各進(jìn)位制中的數(shù),在給出數(shù)的右下方寫(xiě)上k,表示是k進(jìn)位制的數(shù)如：(352%,(1010)2,(3145W,分別表示八進(jìn)位

3、制,二進(jìn)位制,十二進(jìn)位制中的數(shù).5 .k進(jìn)制的四那么混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣先乘除,后加減；同級(jí)運(yùn)算,先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的.、進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：一般地,十進(jìn)制整數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法是：除以k取余數(shù),一直除到被除數(shù)小于k為止,余數(shù)由下到上按從左到右順序排列即為k進(jìn)制數(shù).反過(guò)來(lái),k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法是：首先將k進(jìn)制數(shù)按k的次哥形式展開(kāi),然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果.如右圖所示：制進(jìn)二八進(jìn)制卜六進(jìn)制一tt例題精講【例1】把9865轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制、五進(jìn)制、八進(jìn)制,看看誰(shuí)是最細(xì)心的.【考點(diǎn)】十進(jìn)制化成多進(jìn)制【難度】3星【題型】解答【解析】一定要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)(1)商到0為止,(2)自下而上的順序?qū)?/p>

4、出來(lái)29H652|493212I246602123302lC16-12308_02再«59865需1519730WJ53<；5405H5Z39t0530a0103(9865)10(10011010001001)2(9865)10(303430)58198658|1233L8|15418I1928O-302(9865)10(23211)8【答案】(9865)10(10011010001001)2,(9865)1.(303430)5,(9865)10(23211)8【穩(wěn)固】567()8()5()2；【考點(diǎn)】十進(jìn)制化成多進(jìn)制【難度】3星【題型】解答【解析】此題是進(jìn)制的直接轉(zhuǎn)化：567

5、(1067)8(4232)5(1000110111)2;【答案】567(1067)8(4232)5(1000110111)2【例2】將二進(jìn)制數(shù)(11010.11)2化為十進(jìn)制數(shù)為多少？【考點(diǎn)】多進(jìn)制轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法,(11010.(11) =1X24+1X23+0X22+1X21+0X20+1X2-1+1X2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75【答案】26.75【穩(wěn)固】同學(xué)們請(qǐng)將(11010101)2,(4203)5,(7236)8化為十進(jìn)制數(shù),看誰(shuí)算的又快又準(zhǔn).【考點(diǎn)】多進(jìn)制轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制【難度】3星【題型】解答【

6、7L木斤1/ddAdAdOdA7o7do6no5do4no3ao2no1a00L用牛優(yōu),(11010101)2I2I202I202I202I2128641641213_3_2_1_0_(4203)5453252051350500503553_3_2_1_0_(7236)878328238168035841282463742【答案】213,553,3742【例3】二進(jìn)制數(shù)10101011110011010101101轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制數(shù)是多少?【考點(diǎn)】多進(jìn)制轉(zhuǎn)化成多進(jìn)制【難度】4星【題型】解答【解析】根據(jù)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出二八對(duì)照表：八進(jìn)制數(shù)01234567二進(jìn)制數(shù)0000010100

7、11100101110111從后往前取三合一進(jìn)行求解,可以得知1010101111001101010110122536325525363255R8【穩(wěn)固】將二進(jìn)制數(shù)11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù).【考點(diǎn)】多進(jìn)制轉(zhuǎn)化成多進(jìn)制【難度】4星【題型】解答【解析】在轉(zhuǎn)換為高于9進(jìn)制的數(shù)時(shí),遇到大于9的數(shù)用字母代替,如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表136根據(jù)取四合一法,二進(jìn)制11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制為E9.B.【答案】E9.B【例4】例4(101)2(1011)2(11011)2;(11000111)2(10101)2(11)2()2；(63121)8(1247)

8、8(16034)8(26531)8(1744)8；【考點(diǎn)】多進(jìn)制混合計(jì)算【難度】4星【題型】填空【解析】對(duì)于這種進(jìn)位制計(jì)算,一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制,再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制：(101)2(1011)2(11011)2(5)10(11)10(27)10(28)10(11100)10；可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來(lái)計(jì)算：(11000111)2(10101)2(11)2(199)10(21)10(3)10(192)10(1100000.2；如果對(duì)進(jìn)制的知識(shí)較熟悉,可直接在二進(jìn)制下對(duì)(10101)2(11)2進(jìn)行除法計(jì)算,只是每次借位都是2,可得(11000111)2(10101)2(11)2(11000

9、1112(111)2(11000000)2；十進(jìn)制中,兩個(gè)數(shù)的和是整十整百整千的話,我們稱為互補(bǔ)數(shù),湊出互補(bǔ)數(shù)的這種方法叫湊整法,在n進(jìn)制中也有湊整法,要湊的就是整n.原式(63121)8(1247)8(26531)8(16034)8(1744)8(63121)8(30000)8(20000)8(13121)8；【答案】(1)、(11100)10,(2)、(11000000)2,(3)、(13121)8在八進(jìn)制中,1234456322在九進(jìn)制中,1443831237120117705766.【考點(diǎn)】多進(jìn)制混合計(jì)算【難度】4星【題型】填空【解析】原式1234(456322)12341000234

10、;原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438.【答案】(1)、234,(2)、4438【例5】例5假設(shè)(1030)n140,那么n.【考點(diǎn)】多進(jìn)制的判斷【難度】5星【題型】填空【解析】假設(shè)(1030)n140,那么n33n140,經(jīng)試驗(yàn)可得n5.5【穩(wěn)固】在幾進(jìn)制中有413100?【考點(diǎn)】多進(jìn)制的判斷【難度】5星【題型】解答【解析】利用尾數(shù)分析來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：由于(4)10(3)10(12)10,由于式中為100,尾數(shù)為0,也就是說(shuō)已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位.所以說(shuō)進(jìn)位制n為12的約數(shù),也就是12,6,4,3,2中的一個(gè).但是式子中出現(xiàn)了4,所

11、以n要比4大,不可能是4,3,2進(jìn)制.另外,由于(4)10(13)10(52)10,由于52100,也就是說(shuō)不到10就已經(jīng)進(jìn)位,才能是100,于是知道n10,那么n不能是12.所以,n只能是6.6【例6】例6有個(gè)吝嗇的老財(cái)主,總是不想付錢(qián)給長(zhǎng)工.這一次,拖了一個(gè)月的工錢(qián),還是不想付.可是不付又說(shuō)不過(guò)去,便故作大方地拿出一條金鏈,共有7環(huán).對(duì)長(zhǎng)工說(shuō)：我不是要拖欠工資,只是想連這一個(gè)月加上再做半年的工資,都以這根金鏈來(lái)付.他望向吃驚的長(zhǎng)工,心中很是得意,茶人說(shuō)話,從不食言,可以請(qǐng)大老爺作證.大老爺可是說(shuō)一不二的人,誰(shuí)請(qǐng)他作證,他當(dāng)作一種榮耀,總是分文不取,并會(huì)以命相拼也要兌現(xiàn)的.這越發(fā)讓長(zhǎng)工不敢相

12、信,要知道,這在以往,這樣的金鏈中的一環(huán)三個(gè)月的工錢(qián)也不止.老財(cái)主越發(fā)得意,終于拿出殺手銅：不過(guò),我請(qǐng)大老爺作證的時(shí)候,提到一項(xiàng)附加條件,就是這樣的金鏈實(shí)在不能都把它斷開(kāi),請(qǐng)你只能翻開(kāi)一環(huán),以后按月來(lái)取才行！當(dāng)長(zhǎng)工明白了老財(cái)主的要求后,不僅不為難,反倒爽快地容許了,而且,從第一個(gè)月到第七個(gè)月,順利地拿到了這條金鏈,你知道怎么斷開(kāi)這條金鏈嗎？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】斷開(kāi)第三環(huán),從而得到1,2,4環(huán)的三段,第一個(gè)月拿走一環(huán),第二個(gè)月以一換二,第三個(gè)月取一環(huán),第四個(gè)月以三換四,第五個(gè)月再取一環(huán),第六個(gè)月以一換二,第七個(gè)月再取一環(huán).【答案】1,2,4【穩(wěn)固】現(xiàn)有1克,

13、2克,4克,8克,16克的祛碼各1枚,在天平上能稱多少種不同重量的物體？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】由于祛碼的克數(shù)恰好是1,2,4,8,16,而二進(jìn)位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示：1,2,22=4,23=8,24=16,在祛碼盤(pán)上放1克祛碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第一位從右數(shù)是1,放2克祛碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第二位是1,；放16克祛碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第五位是1,不放祛碼就認(rèn)為相應(yīng)位數(shù)是零,這樣所表示的數(shù)中最小的是1,最大的是111112=24+23+22+21+20=3110,這就是說(shuō)1至31的每個(gè)整數(shù)克均能稱出.所以共可以稱出31種不同重量的物體.【答案】31【例7】例

14、7如果只考慮100克以內(nèi)的重量,至少需要多少包？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】至少需要1,2,4,8,16,32,647包【答案】至少需要1,2,4,8,16,32,647包【穩(wěn)固】如果只許在天平的一邊放祛碼,要稱量100g以內(nèi)的各種整數(shù)克數(shù),至少需要多少個(gè)祛碼?【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】至少需要：1,2,4,8,16,32,64這七種重量的祛碼即可.【答案】至少需要：1,2,4,8,16,32,64這七種重量的祛碼即可【例8】例8有10箱鋼珠,每個(gè)鋼珠重10克,每箱600個(gè).如果這10箱鋼珠中有1箱次品,次品鋼珠【難度】3星【題型】

15、解答每個(gè)重9克,那么,要找出這箱次品最少要稱幾次【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【解析】略【答案】解決這個(gè)問(wèn)題有一個(gè)巧妙的方法.將10箱鋼珠分別編為110號(hào),然后從1號(hào)箱中取1個(gè)鋼珠,從2號(hào)箱中取2個(gè)鋼珠；這樣共取了12345678910=55個(gè)鋼珠,重量是:5510=550克,如果輕了n1毛w1威,那么第幾號(hào)箱就是次品.在這個(gè)方法中,第10號(hào)箱也可不取,這樣共取出45個(gè)鋼珠,如果重450克,那么10號(hào)箱是次品；否那么,輕幾克幾號(hào)箱就是次品.總結(jié)：不同的進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即：每個(gè)十進(jìn)制數(shù)都能表示成一個(gè)相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù),反之,也是.【穩(wěn)固】小馬虎將一些零件裝箱,每個(gè)零件10g,裝了10箱,結(jié)果

16、發(fā)現(xiàn),混進(jìn)了幾箱次品進(jìn)去,每個(gè)次品零件9克,但從外觀上看不出來(lái),聰明的你能只稱量一次就能把所有的次品零件都找出來(lái)么？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】解決這個(gè)問(wèn)題有一個(gè)巧妙的方法.將10箱鋼珠分別編為110號(hào),然后從1號(hào)箱中取1個(gè)鋼珠,從2號(hào)箱中取2個(gè)鋼珠,從3號(hào)箱中取4個(gè)鋼珠,從4號(hào)箱中取8個(gè)鋼珠從10號(hào)箱中取512個(gè)鋼珠,共取出1+2+4+8+-+512=1023個(gè)鋼珠,將這些鋼珠放到天平上稱,本來(lái)應(yīng)重10230克,如果輕了n(1嘀W1陰,就看n是由1,2,4,8,16,512中的那些數(shù)字組成,那么數(shù)字對(duì)應(yīng)的那些號(hào)箱就是次品.在這個(gè)方法中,第10號(hào)箱也可不

17、取,這樣共取出511個(gè)鋼珠,如果重500克,那么1,2,4號(hào)箱是次品.【例9】例9正整數(shù)N的八進(jìn)制表示為N(12345654321)8,那么在十進(jìn)制下,N除以7的余數(shù)與N除以9的余數(shù)之和是多少？【考點(diǎn)】巧求余數(shù)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2021年,清華附中,入學(xué)測(cè)試題【解析】與十進(jìn)制相類似,有：(12345654321)8(111111)82.根據(jù)8進(jìn)制白棄7法,(111111)8被7除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和,為6,而6236除以7的余數(shù)為1,所以(111111)8的平方被7除余1,即(12345654321)8除以7的余數(shù)為1;另外,9(11)8,顯然(111111)8能被(1

18、1)8整除,所以其平方也能被(11)8整除,即(12345654321)8除以9的余數(shù)為0.因此兩個(gè)余數(shù)之和為101.1【穩(wěn)固】在8進(jìn)制中,一個(gè)多位數(shù)的數(shù)字和為十進(jìn)制中的68,求除以7的余數(shù)為多少？【考點(diǎn)】巧求余數(shù)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2001年,人大附中,分班測(cè)試【解析】類似于十進(jìn)制中的絳九法,8進(jìn)制中也有棄7法,也就是說(shuō)8進(jìn)制中一個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和除以7的余數(shù).此題中,這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和在十進(jìn)制中為68,而68除以7的余數(shù)為5,所以這個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)也為5.【答案】5【例10】在美洲的一個(gè)小鎮(zhèn)中,對(duì)于200以下的數(shù)字讀法都是采取20進(jìn)制的.如果十進(jìn)制

19、中的147在20進(jìn)制中的讀音是seythhaseythugens",而十進(jìn)制中的49在20進(jìn)制中的讀音是nawhadewugens,那么20進(jìn)制中讀音是dewhanawugens的數(shù)指的是十進(jìn)制中的數(shù)【考點(diǎn)】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2021年,學(xué)而思杯,6年級(jí),1試,第12題【解析】(147%0(77)20,(49)10(29)20,所以ha代表十位,ugens代表個(gè)位,dew代表9,naw代表2.(92)20=(182,0,所以答案是182.【答案】182【穩(wěn)固】一個(gè)自然數(shù),在3進(jìn)制中的數(shù)字和是2007,它在9進(jìn)制中的數(shù)字和最小是,最大是【考點(diǎn)】進(jìn)制與位值的綜合運(yùn)用【難度】

20、5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2007年,第五屆,走美杯,初賽,六年級(jí),第9題【解析】最大為2007X3=6021,最小為2007.【答案】最小2007,最大6021課堂檢測(cè)【隨練1】某數(shù)在三進(jìn)制中為12120210210110121121,那么將其改寫(xiě)為九進(jìn)制,其從左向右數(shù)第1位數(shù)字是幾？【考點(diǎn)】多進(jìn)制轉(zhuǎn)化成多進(jìn)制【難度】4星【題型】解答【解析】由于32=9,所以由三進(jìn)制化為9進(jìn)制需要取二合一.從后兩個(gè)兩個(gè)的取,取至最前邊為12,用位值原理將其化為1X31+2X30=5所以化為9進(jìn)制數(shù)后第一位為5.【答案】5【隨練2】算幾進(jìn)制數(shù)的乘法？【考點(diǎn)】多進(jìn)制的判斷【難度】5星【

21、題型】解答【解析】注意到尾數(shù),在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個(gè)位數(shù)字為4520,但是現(xiàn)在為4,說(shuō)明進(jìn)走20416,所以進(jìn)位制為16的約數(shù),可能為16、8、4或2.由于原式中有數(shù)字5,所以不可能為4、2進(jìn)位,而在十進(jìn)制中有1534253835043214,所以在原式中不到10就有進(jìn)位,即進(jìn)位制小于10,于是原式為8進(jìn)制.【答案】8【隨練3】茶葉店老板要求員工提升效勞質(zhì)量,開(kāi)展零等待活動(dòng),當(dāng)顧客要買(mǎi)茶葉的時(shí)候,看誰(shuí)最快滿足顧客的需要那么為優(yōu)秀.結(jié)果有一個(gè)員工總是第一名,而且顧客到他那兒不需要等待.原來(lái)他把茶葉先稱出假設(shè)干包來(lái),放在柜臺(tái)上,顧客告訴他重量,他就拿出相應(yīng)重量的茶葉.別的伙計(jì)看在眼里,立即學(xué)

22、習(xí),可是柜臺(tái)上卻放不下許多包.奇怪的是,最正確員工的柜臺(tái)上的茶葉包裹卻不1,2,4,8,16,32,64,128,是很多.于是有員工去取經(jīng),發(fā)現(xiàn)最正確員工準(zhǔn)備的茶葉數(shù)量是:256.你能解釋一下其中的道理么？這些重量可以應(yīng)付的顧客需要的最高重量是多少？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】由于1(1)2,2(10)2,4(100)28(1000)2,16(10000)2,32(100000)2口口觀察一下你會(huì)發(fā)現(xiàn)最正確員工：所取的數(shù)字與二進(jìn)制中的(1)2,(10)2,(100)2,(1000)2,(10000)2,(100000)2Mil對(duì)應(yīng),而我們所要的3,5,6

23、,7,9,等等數(shù)字都可以用這些二進(jìn)制相加得來(lái),老師可以在黑板上給學(xué)生列豎式演示此道理,說(shuō)明取1,2,4,8,16,32,64,128,256的道理.【隨練4】古代英國(guó)的一位商人有一個(gè)15磅的祛碼,由于跌落在地碎成4塊,后來(lái),稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù),而且可以用這4塊來(lái)稱從1至15磅之間的任意整數(shù)磅的重物(祛碼只能放在天平的一邊).那么這4塊祛碼碎片各重,【考點(diǎn)】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2021年,第7屆,走美杯,3年級(jí),初賽,第15題【解析】由于二進(jìn)制數(shù)可以表達(dá)所有的自然數(shù),而且表達(dá)形式是唯一的,例如：9=1+8,31=1+2+4+8+16所以只要準(zhǔn)備質(zhì)量為1,2,4,8的二進(jìn)制數(shù)

24、祛碼即可.【答案】1,2,4,8家庭作業(yè)【作業(yè)1】計(jì)算(3021)4(605)7()10；【解析】此題涉及到3個(gè)不同的進(jìn)位制,應(yīng)統(tǒng)一到一個(gè)進(jìn)制下.統(tǒng)一到十進(jìn)制比擬適宜:32(3021)4(605)7(34241)10(675)10(500)1.【答案】(500)10【作業(yè)2】在幾進(jìn)制中有12512516324?【考點(diǎn)】多進(jìn)制的判斷【難度】5星【題型】解答【解析】注意(125)10(125)10(15625)10,由于1562516324,所以一定是不到10就已經(jīng)進(jìn)位,才能得到16324,所以n10.再注意尾數(shù)分析,(5)10(5)10(25)10,而16324的末位為4,于是25421進(jìn)到上一位.所以說(shuō)進(jìn)位制n為21的約數(shù),又小于10,也就是可能為7或3.由于出現(xiàn)了6,所以n只能是7.【答案】7【作業(yè)3】向電腦輸入漢字,每個(gè)頁(yè)面最多可輸入1677個(gè)五號(hào)字.現(xiàn)在頁(yè)面中有1個(gè)五號(hào)字,將它復(fù)制后粘貼到該頁(yè)面,就得到2個(gè)字；再將這2個(gè)字復(fù)制后粘貼到該頁(yè)面,就得到4個(gè)字.每次復(fù)制和粘貼為1次操作,要使整個(gè)頁(yè)面都排滿五號(hào)字,至少需要操作次.【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】20