9本科階段自動化為電氣信息學(xué)院版課件共10章zdkz

1、第四章第四章 根根 軌軌 跡跡 法法經(jīng)典控制理論的兩大代表性方法之一經(jīng)典控制理論的兩大代表性方法之一W. R. Evans 1948年提出年提出根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，分析改變系統(tǒng)參數(shù)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，分析改變系統(tǒng)參數(shù)對閉環(huán)極點的影響對閉環(huán)極點的影響D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G 2(s)H(s)-D2(s)E(s)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容根軌跡基本概念根軌跡基本概念繪制根軌跡的基本依據(jù)及規(guī)則繪制根軌跡的基本依據(jù)及規(guī)則參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡串聯(lián)校正的綜合（自學(xué)）串聯(lián)校正的綜合（自學(xué)）4-1. 4-1. 根軌跡基本概念根軌跡基本概念開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)從開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)從0變到變到時，閉

2、環(huán)系時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在統(tǒng)特征方程式的根在s平面上的變化軌跡。平面上的變化軌跡。根軌跡的定義：根軌跡的定義：D1(s)Y(s)R(s)G1(s)G 2(s)H(s)-D2(s)E(s)321)1s()3s)(bs(5)s(H)s(G)s(G )2s)(1s( sK)s(H)s(G)s(Gg21 如如常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡)1s5 . 0( sK R(s)Y(s)-K2s2sK2)s(R)s(Y)s(2 閉環(huán)傳函為閉環(huán)傳函為例例： 0K2s2s2 特征方程為：特征方程為：K21,K21 -1s-1s21特征根為：特征根為：，（開環(huán)極點），（開環(huán)極點）時時，則有，則有從從

3、設(shè)設(shè)2,0s,0KK2 ,1 0 2121ssss，為實數(shù)，且為實數(shù)，且，時時K,5 . 0K 的的虛虛部部且且為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)，時時1,221sssK,1sRe,5 . 0K-20j1s2s由根軌跡圖分析由根軌跡圖分析: :. .穩(wěn)定性穩(wěn)定性 因為根軌跡全部位于左半因為根軌跡全部位于左半平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的值都是平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。. .穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)傳函有一個位于坐開環(huán)傳函有一個位于坐標(biāo)原點的極點標(biāo)原點的極點I I型系統(tǒng)型系統(tǒng)階躍響應(yīng)的階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為0 0；閉環(huán)極點確定；閉環(huán)極點確定K K確定確定其他響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差確定。其他響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差確

4、定。暫態(tài)性能暫態(tài)性能 0K0.5022階時無法求解，如何繪制根軌跡圖？階時無法求解，如何繪制根軌跡圖？特征方程為：特征方程為： 1+G(s)H(s)=0即：即： G(s)H(s)= -1相角條件相角條件 1)s(H)s(G 4-2. 4-2. 繪制根軌跡的基本依據(jù)和條件繪制根軌跡的基本依據(jù)和條件G(s)H(s)-R(s)Y(s)， 210k),1k2(180)s(H)s(G 幅值條件幅值條件mn,)z(s)p(sK,1)p(s)z(sKG(s)H(s)m1iin1iign1iim1iig 或或,2 , 1 ,0k),1k2(180)ps()zs()s(H)s(Gn1iim1jj 零極點表達(dá)形式

5、下的幅值條件和相角條件：零極點表達(dá)形式下的幅值條件和相角條件：l相角條件及特征方程是繪制根軌跡的主要依據(jù)相角條件及特征方程是繪制根軌跡的主要依據(jù)l幅值條件主要用于特征根幅值條件主要用于特征根 s 確定時求確定時求 Kg ,2 , 1 ,0k),1k2(180)()ps()zs()s(H)s(Gss321131ii0100000 滿足滿足是根軌跡上的點，則是根軌跡上的點，則例如，若例如，若幅值條件和相角條件的幾何意義幅值條件和相角條件的幾何意義p2p p1 1s s0 0p p3 3Oz1 1 1 3 2 1a 2a 3a 1b1321m1ii0n1ii0gbaaa)z(s)p(sK 4-3.

6、繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則二二根軌跡的對稱性根軌跡的對稱性特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其特征根為實數(shù)或特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其特征根為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡對稱于實軸。共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡對稱于實軸。三三根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點起點對應(yīng)于時的特征根位置，起點對應(yīng)于時的特征根位置，終點則對應(yīng)于終點則對應(yīng)于 時的特征根位置。時的特征根位置。0Kg gK一一根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)=n，與開環(huán)極點數(shù)相同。，與開環(huán)極點數(shù)相同。gn1iim1iiK1)ps()zs( 特征方程可改寫為特征方程可改寫為當(dāng)，必有當(dāng)，必有 ，即，即起點是開環(huán)極點起點是開環(huán)

7、極點；當(dāng)當(dāng) ，必有，必有 ，即，即開環(huán)零點是終點開環(huán)零點是終點。0Kg gK ips izs 對于控制系統(tǒng)，一般對于控制系統(tǒng)，一般nm（有（有n-m個無窮遠(yuǎn)處零點），所個無窮遠(yuǎn)處零點），所以有以有m條根軌跡終止于條根軌跡終止于m個開環(huán)零點，剩下的個開環(huán)零點，剩下的n-m條根軌跡條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處將趨于無窮遠(yuǎn)處（終止于（終止于n-m個無窮遠(yuǎn)處零點）個無窮遠(yuǎn)處零點） 。如前面的二階系統(tǒng)，起點：如前面的二階系統(tǒng)，起點：0，-2，無零點，無零點，n=2，m=0，n-m=2，兩條根軌跡，兩條根軌跡Kg=0 Kg=0KgKg-1jKg=0.5-20四實軸上的根軌跡四實軸上的根軌跡在實軸上存在根軌跡的條

8、件是，其右邊開環(huán)零點在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。jj1z2p3p1p1s2z4p依據(jù)：依據(jù)：共軛復(fù)數(shù)極點到共軛復(fù)數(shù)極點到s s1 1的相角的相角之和為之和為0 0，相互抵消；，相互抵消；實軸上實軸上s s1 1點左側(cè)的開環(huán)零、點左側(cè)的開環(huán)零、極點提供的相角為極點提供的相角為0 0，而右，而右側(cè)的相角均為側(cè)的相角均為180180。例：例：)4s)(2s( s)3s)(1s(K)S(Ggk 有三個極點，根軌跡有三條分支有三個極點，根軌跡有三條分支 n=3,m=2 有有-條條 根軌根軌 跡跡， 條終止于開環(huán)零點。條終止于開環(huán)零點。-2

9、-2-4-4joo-3-3-1-1實軸上右邊開環(huán)零、極點數(shù)目之和為實軸上右邊開環(huán)零、極點數(shù)目之和為奇數(shù)的線段為根軌跡奇數(shù)的線段為根軌跡五根軌跡的漸近線五根軌跡的漸近線根軌跡中（根軌跡中（nm）條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的）條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為漸近線的傾角為,mn180)1k2(a ,2, 1 ,0k 當(dāng)時，求得的漸近線傾角最小，當(dāng)時，求得的漸近線傾角最小，0k 漸近線的交點總在實軸上，即漸近線的交點總在實軸上，即 必為實數(shù)必為實數(shù) 共軛復(fù)數(shù)零、極點的虛部相互抵消共軛復(fù)數(shù)零、極點的虛部相互抵消 計算時計算時只須代入開環(huán)零、極點的實部只須代入開環(huán)零、極點的實部. 漸近線與實軸的交點漸近線

10、與實軸的交點mnzpn1im1iiia a 例：例：,)2s)(1s( sK)S(H)S(Gg 求根軌跡。求根軌跡。解：解： 在平面中確定開環(huán)零、極點的位置；在平面中確定開環(huán)零、極點的位置；-1-2j 確定實軸上的根軌跡；確定實軸上的根軌跡； n=3,m=0,應(yīng)有三個分支，并且都趨向應(yīng)有三個分支，并且都趨向 無窮遠(yuǎn)處；無窮遠(yuǎn)處；確定漸近線的位置確定漸近線的位置 180,1k60,0k3180)1k2(mn180)1k2(103210mnpppaaa321a ；-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060六六. 分離點和會合點分離點和會合點兩條根軌跡分支在平面上某一點相遇，然后又兩條根軌跡分支

11、在平面上某一點相遇，然后又立即分開的點，稱根軌跡的立即分開的點，稱根軌跡的分離點（或會合點）分離點（或會合點）。0ds)s(GddsdK11g ，有有，則則對對于于設(shè)設(shè)0)s(GK1)s(GK)s(G1g1gk 求解：求解：特點：特征方程有重根。特點：特征方程有重根。0ds)s(dG1 或或 ）極值極值在根軌跡的分離點上取在根軌跡的分離點上?。╣K）（特征式滿足（特征式滿足0ds)s(d 注：只須用其中之一，且只是注：只須用其中之一，且只是必要條件必要條件續(xù)前例：求分離點上的坐標(biāo)。續(xù)前例：求分離點上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為即即0)2s)(1s( sK1)s(H)s(G1g )2

12、s)(1s(sKg 0)2s6s3(dsdK2g 上式的根上式的根577. 1,423. 0624366s2 ,1 分離點在至分離點在至 -之間，應(yīng)取之間，應(yīng)取 s1= -0.423用幅值條件確定分離點的增益：用幅值條件確定分離點的增益：385. 0577. 1577. 0423. 02s1s0sK111g 求？求？用用0ds)s(dG1 -1-2j-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060七七. 根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點在根軌跡與虛軸的交點處，特征方程出現(xiàn)虛根。在根軌跡與虛軸的交點處，特征方程出現(xiàn)虛根。計算：計算：（1）將）將 s=j 代入特征方程求解；代入特征方程求解；（2

13、）利用勞斯判據(jù)確定（見教材）。）利用勞斯判據(jù)確定（見教材）。續(xù)前例，將代入特征方程。續(xù)前例，將代入特征方程。 js 0K2j3j0K)2j)(1j(jg23g 6K2g ，相應(yīng)有，相應(yīng)有取取 實部實部虛部虛部0203K32g 2,0 6Kcr 即臨界穩(wěn)定的增益即臨界穩(wěn)定的增益-1-2j-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060利用利用 MATLAB 繪制根軌跡圖繪制根軌跡圖,)2s)(1s( sK)S(Ggk Command：a=tf(1,1 3 2 0)rlocus(a) 或 a=zpk( ,0,-1,-2,1)利用利用 MATLAB 根軌跡圖獲取信息根軌跡圖獲取信息Command：a=

14、tf(1,1 3 2 0)rlocus(a)sgrid 繪制等阻尼比線繪制等阻尼比線八八. 根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角出射角出射角：根軌跡離開開環(huán)極點的切線方向與正實：根軌跡離開開環(huán)極點的切線方向與正實軸方向的夾角軸方向的夾角入射角入射角：根軌跡到達(dá)開環(huán)零點的切線方向與正實：根軌跡到達(dá)開環(huán)零點的切線方向與正實軸方向的夾角軸方向的夾角j出射角出射角入射角入射角 )1k2(180)ps()zs()s(Gn1iim1iik nli ,1iilm1iilplll)pp()zp()1k2(180psp ）出發(fā)的出射角為（令出發(fā)的出射角為（令從開環(huán)極點從開環(huán)極點 n1iilmli ,1i

15、ilzlll)pz()zz()1k2(180zsz ）的入射角為（令的入射角為（令到達(dá)開環(huán)零點到達(dá)開環(huán)零點出射角和入射角的計算：出射角和入射角的計算：j出射角出射角入射角入射角,)5 . 2ss)(5 . 2s( s)5s4s)(5 . 1s(K)s(H)s(G22g 數(shù)數(shù)為為例例：設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函則開環(huán)零極點分布及則開環(huán)零極點分布及實軸上的根軌跡如圖實軸上的根軌跡如圖p2p1p3p4z1z2z3j1-1-2-15 . 1j5 . 0,5 . 2 pj 2,5 . 1z3 ,2 ,13 ,2 ,1 ；從從p2,3 如何出發(fā)并趨向如何出發(fā)并趨向 z2,3？ 79)37905 .1

16、08()59195 .56(180)()()1k2(1804313212pppzzzp 根軌跡從根軌跡從p p2 2出發(fā)的出射角出發(fā)的出射角: :p2p1p3p4z1z2z31-1-2-11p 1z 3z 2z 3p 4p 2p 793p 根根據(jù)據(jù)對對稱稱性性，3p 149)5 .63121199153(90117180)pz()zz)1k218041ii23,1ii2z2）（ 1493z 根根據(jù)據(jù)對對稱稱性性，根軌跡到達(dá)根軌跡到達(dá) z z2 2 的入射角的入射角: :3z p2p1p3p4z1z2z31-1-2-12z 2p 3p j根軌跡圖根軌跡圖九九. 特征方程的根之和特征方程的根之和=

17、開環(huán)極點之和開環(huán)極點之和 （n-m2）0)ss()zs(K)ps(n,2 , 1i,sn1iim1iign1iii 為閉環(huán)極點，則有為閉環(huán)極點，則有設(shè)設(shè) n1iin1ii1npss 項的系數(shù)即得項的系數(shù)即得比較比較計算時只須計算時只須代入實部代入實部l 上式說明當(dāng)某些根軌跡向左移動時，必有另一些根軌上式說明當(dāng)某些根軌跡向左移動時，必有另一些根軌跡向右移動；跡向右移動；l 還可用于求解一個未知實數(shù)極點（其他已知時）。還可用于求解一個未知實數(shù)極點（其他已知時）。閉環(huán)極點及傳遞函數(shù)的確定：閉環(huán)極點及傳遞函數(shù)的確定：,)2s)(1s( sK)s(H)s(Gg l 根據(jù)性能要求確定主導(dǎo)極點根據(jù)性能要求確

18、定主導(dǎo)極點l 由主導(dǎo)極點確定根軌跡增益由主導(dǎo)極點確定根軌跡增益l 由根軌跡增益和已確定的極點由根軌跡增益和已確定的極點計算其他閉環(huán)極點計算其他閉環(huán)極點要求一對主導(dǎo)極點的阻尼比要求一對主導(dǎo)極點的阻尼比=0.707續(xù)前例：續(xù)前例：-1-2j-0.4232j2jKg=6Kg=6-6060 1. 畫出畫出線并確定主導(dǎo)極點線并確定主導(dǎo)極點 45arccos 38. 0j38. 0s2 ,1 主導(dǎo)極點主導(dǎo)極點2主導(dǎo)極點處對應(yīng)的增益值用幅值條件求主導(dǎo)極點處對應(yīng)的增益值用幅值條件求65. 066. 173. 054. 0Kg 0.731.660.54,)2s)(1s( sK)s(H)s(Gg 3求另一個閉環(huán)極

19、點求另一個閉環(huán)極點得得由由 n1iin1iips 2,m-n24.2s21s38.02- 33 求，求，也可由也可由 31iig)ss(K)2s)(1s( s,)2s)(1s( sK)s(H)s(Gg )a(roots,65. 0231a65. 0s2s3sK)2s)(1s( s)s(KMATLAB23gg 命令語句為命令語句為）：）：命令求根（只需要知道命令求根（只需要知道或直接用或直接用 若為單位反饋系統(tǒng)（若為單位反饋系統(tǒng)（H=1H=1），），則閉環(huán)傳函為則閉環(huán)傳函為)24. 2s)(29. 0s76. 0s(65. 0)24. 2s)(38. 0j38. 0s)(38. 0j38. 0s

20、(65. 0K)2s)(1s( sKGH1G)S(R)s(Y2gg 4求閉環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)-R(s)Y(s)例：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，繪制以例：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，繪制以為參數(shù)（為參數(shù)（從從0變到變到）的根軌跡的根軌跡.)s(R)1s( s1 s )s(Y4-4. 參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡相當(dāng)于一種反饋校正相當(dāng)于一種反饋校正（1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與特征方程）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與特征方程s)1s( s1)s(Gk 特征方程為特征方程為0)s(G1k 01sss2 即即（2）以為參變量，特征方程可改寫為）以為參變量，特征方程可改寫為 01sss12 即即1sss)S(G2 繪制繪制 的根軌跡的根軌跡)s(G （等效開環(huán)傳函）（等效開環(huán)傳函）)s(R)1s( s1 s )s(Y注：等效開環(huán)傳函與原開環(huán)傳函所對應(yīng)的特征方程相同注：等效開環(huán)傳函與原開環(huán)傳函所對應(yīng)的特征方程相同（3）開環(huán)極點）開環(huán)極點 開環(huán)零點開環(huán)零點0z23j21p2,1 （4）實軸上的根軌跡）實軸上的根軌跡（5）會合點）會合點 求求 ，得，得 （6）出射角）出射角0,( 0dsd ）對對應(yīng)應(yīng)的的（取取1,11,1s2,1 150)90120(1802,1p 1sss)s(G2 若要求閉環(huán)極點若要求閉環(huán)極點 s1,2= -1，如何求閉環(huán)傳函？如何求閉環(huán)傳函？注意：閉環(huán)極點