量子力學題庫

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目錄第二章 波函數(shù)和薛定諤方程一、簡答題1.何謂微觀粒子的波粒二象性？2.粒子的德布羅意波長是否可以比其本身限度長或短？二者之間是否有必然聯(lián)系？3.粒子按軌道運動這個概念的實質(zhì)是什么？試直接從德布羅意假設(shè)出發(fā)，論證對微觀粒子不存在軌道的概念。4.波動性與粒子性是如何統(tǒng)一于統(tǒng)一客體之中的？物質(zhì)在運動過程中是如何表現(xiàn)波粒二象性的？5.“電子是粒子，又是波”，“電子不是粒子，又不是波”，“電子是粒子，不是波”，“電子是波，不是粒子”，以上哪一種說法是正確的？6.試述牛頓力學與量子力學中的自由粒子運動狀態(tài)。7.在量子力學中，能不能同時用粒子坐標和動量的確定值來描述粒子的量子狀

2、態(tài)？8.判別一個物理體系是經(jīng)典體系還是量子體系的基本標準是什么？9.是比較粒子和波這兩個概念在經(jīng)典物理和量子力學中的含義。10.微觀粒子體系的狀態(tài)完全由波函數(shù)描述，波函數(shù)應滿足什么樣的標準條件？ 波函數(shù)的物理意義是什么？11.敘述波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（物理意義），并寫出薛定諤方程的一般數(shù)學形式。12.什么是波函數(shù)的統(tǒng)計解釋？量子力學的波函數(shù)與聲波和光波的主要區(qū)別是什么？13.寫出波函數(shù)的物理意義和標準條件，并說明如何理解波函數(shù)可以完全表述微觀粒子的狀態(tài)及波函數(shù)的標準條件。14.簡述玻恩關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，按這種解釋，描寫粒子的波是什么波？15.根據(jù)量子力學中波函數(shù)的幾率解釋，說明量子力學中的波函

3、數(shù)與描述聲波、光波等其它波動過程的波函數(shù)的區(qū)別。16.簡要說明波函數(shù)和它所描寫的粒子之間的關(guān)系。17. 波函數(shù)的物理意義-微觀粒子的狀態(tài)完全由其波函數(shù)描述，這里“完全”的含義是什么？18.波函數(shù)歸一化的含義是什么？什么樣的波函數(shù)可以歸一化？歸一化隨時間變化嗎？ 19. Bron對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋什么？和分別表示什么含義？20.將描寫體系量子狀態(tài)的波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫體系的量子狀態(tài)是否改變？21若是歸一化的波函數(shù)，問： ， ， 為任意實數(shù)是否描述同一態(tài)？分別寫出它們的位置幾率密度公式。22.歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子為實常數(shù)）？23.波函數(shù)與、（均為常數(shù)）是否描寫同一狀態(tài)。24.

4、寫出波函數(shù)的物理意義和標準條件，并說明如何理解波函數(shù)可以完全表述微觀粒子的狀態(tài)及波函數(shù)的標準條件。25.設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？26.對一個粒子而言，歸一化的波函數(shù)的模方表示什么？設(shè) 為歸一化的動量表象下的波函數(shù)，則的物理意義是什么？27.寫出定態(tài)波函數(shù)的形式。28.設(shè) ，求A = ？29.“雙狹縫干涉實驗中，電子必定通過兩縫之一而打到屏上，因此落到屏上的總電子數(shù)必定等于分別通過兩縫的電子數(shù)之和”這種說法對嗎？30.下列波函數(shù)在什么情況下才是描述同一狀態(tài)？ ， （這里，）31. 闡述量子力學中態(tài)的疊加原理，并以兩態(tài)為例說明用粒子通過狹縫后在空間出現(xiàn)的干涉效應。32.

5、設(shè)描寫粒子狀態(tài)的函數(shù)可以寫成，其中和為復數(shù)，和為粒子的分別屬于能量和的構(gòu)成完備系的能量本征態(tài)。試說明式子的含義，并指出在狀態(tài)中測量體系的能量的可能值及其幾率。33.（1）如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加：（，是復數(shù)）是這個體系的一個可能狀態(tài)嗎？（2）如果和是能量的本征態(tài)，它們的線性迭加：還是能量本征態(tài)嗎？為什么？34.敘述波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（物理意義），并寫出薛定諤方程的一般數(shù)學形式。36.一粒子有波函數(shù)由描寫，則=？。37.粒子在勢場U(r)中運動，試寫出粒子的哈密頓算符。38.一維線性諧振子處在態(tài)中，其相應的能量為？39.一維線性諧振子處在態(tài)中，其相應的能量為?40. 試述薛定諤對

6、量子力學的貢獻。41.薛定諤方程是如何建立的？是推導出來的嗎？42.試寫出表示微觀粒子的運動規(guī)律的運動方程。43.寫出球坐標中拉普拉斯算符的表示。44.如何應用波動方程得出幾率守恒波函數(shù)的歸一化不隨時間改變？45.寫出量子力學中概率密度、粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律。46.用波函數(shù)來表示幾率密度、幾率流密度，以及兩者之間滿足的連續(xù)性方程的數(shù)學形式。47.什么是定域的幾率守恒？48.幾率流密度的物理意義是什么？49.對什么波函數(shù)描述的態(tài)，幾率流密度與電流密度均為零？50. 對什么波函數(shù)描述的態(tài)，幾率流密度與電流密度均不隨時間改變？51.平面波的幾率密度及幾率流密度有什么特征？52. 何謂量子力學中

7、的定態(tài)問題？定態(tài)問題哈密頓算符滿足什么條件？并請從薛定諤方程推導出定態(tài)薛定諤方程。53.什么是定態(tài)？一個量子體系處于定態(tài)的條件是什么？它有什么特點？54.對于定態(tài)，是否幾率流密度必為零？55.試判斷下列函數(shù)中的哪些所描述的狀態(tài)是定態(tài)？56.請說明束縛態(tài)和自由態(tài)及其相應能級的特點。57.通常情況下，無限遠處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為什么態(tài)？一般情況下，這種態(tài)所屬的能級有什么特點？58.分別說明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)、正宇稱態(tài)和負宇稱態(tài)？59.什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)？它是否可看成是平面波的疊加？60.什么是束縛態(tài)？它有何特征？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？舉例說明。60.簡述量子力

8、學基本原理一、二。62.簡述勢壘貫穿效應，并舉例說明其在實際中的應用。63.掃描隧道顯微鏡的工作原理是隧道效應，簡述什么是隧道效應。64.簡要解釋一維線性諧振子的零點能。 65.解釋量子力學中的簡并和簡并度。66.寫出一維線性諧振子第二激發(fā)態(tài)的波函數(shù)和能級，并指出節(jié)點數(shù)及宇稱。67.設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱運動（），寫出其第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)、能級及節(jié)點數(shù)。68.一質(zhì)量為的粒子在一維無限深勢阱中運動，寫出其狀態(tài)波函數(shù)和能級表達式。69.給出三維無限深勢阱的能級分布及能級簡并度。70.質(zhì)量為的粒子處在二維簡諧振子勢場中，分析該粒子能量的本征態(tài)的簡并度。71.給出給出三維諧振子的能級分布及能

9、級簡并度。72.三維各向同性諧振子，其波函數(shù)可以寫為，且 l=N-2n，則在一確定的能量 (N+)下，簡并度為？ 73.對于一維方勢壘的穿透問題，關(guān)于粒子的運動，粒子是否以一定的幾率穿過勢壘？二、證明題1證明在定態(tài)中，概率密度及概率流密度與時間無關(guān)。2.證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關(guān)。3.證明是定態(tài)波函數(shù)。4.證明 是標準波函數(shù)。5.考慮單粒子的Schrdinger方程 （1）其中，與為實函數(shù)。證明粒子的幾率（粒子數(shù)）不守恒。6.考慮單粒子的Schrdinger方程 其中，與為實函數(shù)。證明粒子在空間體積內(nèi)的幾率隨時間的變化為7.設(shè)和是Schrdinger方程的兩個解，證明。8.粒子在勢能為 的

10、勢場中運動，證明對于能量的狀態(tài)，能量有關(guān)系式?jīng)Q定，其中。9.在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。10.試證明，是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對應的能量。11.試證：對于一維運動，設(shè)有兩個波函數(shù)及是對應于同一級量E的解，則常數(shù)。12.試證明：一維運動的束縛態(tài)都是不簡并的。13.證明非簡并態(tài)能級波函數(shù)可以表示為實函數(shù)。14. 利用Hermite多項式的遞推關(guān)系，證明諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系15.利用Hermite多項式的求導公式。證明16.試證明對于任意勢壘，粒子的反射系數(shù)滿足。三、計算題1.請從薛定諤方程推導出定態(tài)薛定諤方程。2.一般的薛定諤方程推倒

11、出粒子數(shù)守恒定律，并給出概率密度和概率密度的形式。3.由薛定諤方程解出定態(tài)波函數(shù)4.由下列定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度： 從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點) 傳播的球面波。5.質(zhì)量為的粒子，在一維無限深勢阱中 中運動。求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。6.質(zhì)量為的粒子，在一維勢場 中運動，求粒子的能級和對應的波函數(shù)。7.一粒子在一維勢場中運動，其中，求束縛態(tài)能級所能滿足的方程。8.一粒子在一維有限深勢阱中運動，。求確定束縛態(tài)能級方程。9.求在一維勢場中運動的粒子的能級。10.設(shè)一粒子在一維勢場中運動。求其定態(tài)能級和波函數(shù)。11.一質(zhì)量為的粒子在如下的勢場中運動：，1)求：哈密頓算

12、符的本征值與本征函數(shù)；2）寫出粒子的幾率分布函數(shù)；3）第一激發(fā)態(tài)粒子在距左壁區(qū)域內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率是多少？4）基態(tài)粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大？12.在勢阱中運動的粒子，處于第激發(fā)態(tài)，試求：（1） 距勢阱內(nèi)左壁寬度處的幾率密度。（2） 在該處，量子數(shù)取何值時幾率密度最大，最大值為多少。13.質(zhì)量為的粒子在如下一維勢阱中運動 若已知該粒子在此勢阱中有一個能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度。14.粒子在半壁無限深勢阱中運動，求粒子束縛態(tài)能量（0E0)，求證粒子的束縛態(tài)能量由式?jīng)Q定。26.一粒子在一維方勢阱中運動，如圖所示。把U(x)=-U0當作對無限深勢阱中運動粒子的微擾，計算在一級近似下粒子的基態(tài)能量。2

13、7. 粒子在半壁無限深勢阱中運動，求粒子束縛態(tài)能量（0EU0）所滿足的方程。28.設(shè)粒子處在對稱的雙方勢阱中（1）在情況下求粒子能級，并證明能級是雙重簡并。（2）證明取有限值情 況下，簡并將消失。29.設(shè)粒子在下述周期場V(x)中運動(見附圖)求它的能帶。(分,兩種情況)證明當時,若保持常數(shù),上述周期場變成Dirac梳:30.質(zhì)量為的粒子沿x方向以能量E向x=0處勢階運動。勢，問在x=0處被反射的粒子幾率有多大？32. 如圖所示，一質(zhì)量為的粒子沿正方向以能量向處的勢階運動。當時，該勢為0；當時，該勢為。問在處粒子被反射的幾率多大？33.考慮一維階梯勢，若能量的粒子從左邊入射，試求該階梯勢的反射系數(shù)和投射系數(shù)。34.粒子以動能從左方入射，遇勢