概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案第四章

1、第四章2 .二某產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗4次。每次隨機地抽取10件產(chǎn)品進行檢驗，如果發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1,就去調(diào)整設備，以X表示一天中調(diào)整設備的次數(shù)，試求E(X)o(設諸產(chǎn)品是否是次品是相互獨立的。)解：設表示一次抽檢的10件產(chǎn)品的次品數(shù)為七八、廳.、查二項分布表P=P(倜整設備)=P(w>1)=1P(E<1)=JP(E=0)+P(E=1)1-0.7361=0.2639.44n/因此X表示一天調(diào)整設備的次數(shù)時XB(4,0.2639).P(X=0)=qjX0.26390X0.73614=0.2936._I13_P(X=1)=1X0.2639X0.7361=0.4210,

2、P(X=2)=22X0.2639X0.7361=0.2264.P(X=3)=；k.26393/7361=0.0541,P(X=4)=A.26390.73610=0.0049.從而E(X)=np=4X0.2639=1.05563 .三有3只球，4只盒子，盒子的編號為1,2,3,4,將球逐個獨立地，隨機地放入4只盒子中去。設X為在其中至少有一只球的盒子的最小號碼(例如X=3表示第1號，第2號盒子是空的，第3號盒子至少有一只球)，求E(X)。事件X=1=一只球裝入一號盒，兩只球裝入非一號盒+兩只球裝入一號盒,一只球裝入非一號盒+三只球均裝入一號盒(右邊三個事件兩兩互斥)P(X=1)=331-=444

3、4464.事件“x=2”="一只球裝入二號盒，兩只球裝入三號或四號盒”+“兩只球裝二號盒，一只球裝入三或四號盒”+“三只球裝入二號盒”同理:1P(X=3)=347645.五P(X=4)=437E(X)=16416419-2346464642516設在某一規(guī)定的時間間段里，其電氣設備用于最大負荷的時間X（以分計）是一個連續(xù)型隨機變量。其概率密度為1-x,0<x<1500(1500)-1f(x)=J-(x-3000),1500<x<1500(1500)0其他求E(X)解：E(X)='xf(x)dxLdO1500=x01二2(1500)=1500(分)6.六

4、設隨機變量X的分布為XPk求E(X),E(3X2+5)3000x-7dxx(1500)1500(3000一x)2-dx(1500)x3150012x3|3000一十廠1500x30(1500)1315002020.40.30.3解：E(X)=(2)>0.4+0>0.3+2>0.3=-0.2E(X2)=(-2)2X0.4+02>.3+22X0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.47.七設隨機變量X的概率密度為e,x>0f(x)=，0,x_0Z=Y/X11/21/301/31/21Pk0.20.100.40.10.10.1求（1）Y

5、=2X（2）Y=e-2x的數(shù)學期望。解：（1）E(y)-2xf(x)dx-2xe-dx-L2xefbooxx-2e-I-20一-2xE(Y)=e-f(x)dx:3_2x_x=e-e-ex12310.20.1000.100.310.10.10.18.八設（X,Y）的分布律為(1)求E(X),E(Y)。(2)設Z=Y/X，求E(Z)。(3)設Z=(X-Y)2,求E(Z)。12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41解：（1）由X,丫的分布律易得邊緣分布為E(X)=1>0.4+20.2+30.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)=(-1)

6、>0.3+00.4+1義0.3=0.E(Z)=(1)私2+(0.5)0.1+(-1/3)0+0X0.4+1/30.1+0.50.1+10.1=(1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=-1/15._2Z(X-Y)0(1-1)21(1-0)2或(2-1)24(2-0)2或(1-(-1)2或(3-1)29(3-0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2Pk0.10.20.30.40E（Z）=0X0.1+10.2+40.3+90.4+160=0.2+1.2+3.6=510.十一工廠生產(chǎn)的某種設備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為1Fxcf(x)=<4

7、e，x>0工廠規(guī)定出售的設備若在一年內(nèi)損壞，可予以調(diào)換。若工廠出售0,x<0一臺設備可贏利100元，調(diào)換一臺設備廠方需花費300元。試求廠方出售一臺設備凈贏利的數(shù)學期望。,1x1.一、一一一一.一.11x1解：一臺設備在一年內(nèi)損壞的概率為P(X<1)=_fe4dx=_e40=1_e44J01 1故P(X21)=1-P(X<1)=1_(1_e)=e.設丫表示出售一臺設備的凈贏利”(-300+100)=200,(X<1)Y=f(X)=.100,(X_1).故E(Y)=(-200)P(X：:1)100P(X_1)=_2003200e-41+100e-41二300e7-2

8、00：.33.6411.H一某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間(a,b)服從均勻分布。試求圓盤面積的數(shù)學期望。解：設X為圓盤的直徑，則其概率密度為0,其它.1用Y表小圓盤的面積，則Y=tcX42,從而12E(Y)=兀xf(x)dx=二二4it2.xdxit4(ba)33(b-a)=工(a2ab-b2).1212.十三設隨機變量X1,X2的概率密度分別為。ra_2.x_4.x2e,x>04e,x>0f1(X)=f2(X)="0x<00,x<02求(1)E(X1+X2),E(2X13X2);(2)又設X1,X2相互獨立，求E(X1X2)qQqQ解：(1)E(X1+X2)=

9、E(X1)十E(X2)=fx.2exdx+fx，4e“xdx-0-0=lxee-2x二.04|_xe-(2) E(2X12_3X2)=2E(X1)_3E(X2)=2_32二二2_4xx4e-dx24=1-3-xe-二二10(3) E(X1X2)=E(X1)E(X2)=13.十四將n只球（1n號）隨機地放進n只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，記（1n號）中去，一只盒子X為配對的個數(shù)，求E(X)解：引進隨機變量Xi二第i號盒裝第i號球第i號盒裝非i號球i=1,2,則球盒對號的總配對數(shù)為nX='Xii,X的分布列為Xi：10P:1nn1nn1E(Xi)一ni=1,2

10、,nE(X)二E,XJ八1E(Xi)=nn=1i=1,2,n14.十五共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖。設抽取鑰匙是相互獨立的，等可能性的。若每把鑰匙經(jīng)試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學期望。（1）寫出X的分布律，（2）不寫出X的分布律。解：（1）X123,nP1n11n1n211nnn1nn1n2,n1E(X)=1n11：2-n-nnn+12(2)設一把一把鑰匙的試開，直到把鑰匙用完。i第i次試開能開門一b第i次試開不能開門i=1,2,則試開到能開門所須試開次數(shù)為Xii0Pn1n211nn1ninn1n="Xii1n1E

11、(Xi)=ini=1,2,nnE(X)iXE(Xi)ni-115.(1)設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X),方差為D(X)>0,引入新的隨機變量(X*稱為標準化的隨機變量)X-E(X)、D(X)驗證E(X*)=0,D(X*)=1(2)已知隨機變量X的概率密度。f(x)=«0:二x：2其它，求X*的概率密度。X-E(X)斛：(1)E(X*)=E=D(X)E(X).D(X)-E(X)=0D(X*)=EX*E(X)*2=E(X*2)=-E(X)|_Jd(X)1EXE(X)D(X)DXD(X)=1(2)E(X)=Cx1|1-x|dx=fx1-(10-02x)dx-Ix1(1x)dx=1-

12、1E(X)=2X1一|11.x|dx2x1(1x)dx2x1，(1.x)dx22D(X)=E(X)-E(X)7-16XE(X)X*.DXX-1Fx*(y)=P(X*<y)=P(<y)=P(X6y1)='Zwx6.二01y061-|1-x|dx1一1當y+1E0,即yE一46時、6當0<-y+1<2,IP-Vo<y<而時6,1當2-y.6十1,即“6<y時gx*(y)11,1-|1(亍y+1)|<60-6:二y_6y為其他值16 .十六設X為隨機變量，C是常數(shù)，證明D(X)<E(XC)2,對于CWE(X),(由于D(X)=EX-E(X

13、)2,上式表明E(X-C)2當C=E(X)時取到最小值。)證明：:D(X)E(X-C)2=D(X2)E(X)2E(X2)2CE(X2)+C2=-E(X)22CE(X2)+C2=E(X)C2<0,當E(X)wC時D(X)<E(X-C)2.、一工產(chǎn)，x>0一一.17 .設隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為f(x)=e,了其中9>0是常0,x<0數(shù)，求E(X),D(X)。解：E(X)一-hex又E(X2)=e_2D(X)=E(Xcoxdx=-hexdeedx(X)=2(-e'e9)二-xe-2tte-dt21.設Xi,X2,Xn是相互獨立的隨機變量且有-12(

14、Xi-X).(1)-2一nX驗證E(S2)證明:(1)_1TE(X)=EniXi)(利用數(shù)學期望的性質(zhì)1一一、E(XD(X)(利用方差的性質(zhì)2(2)首先證v(X是S2-X)2-nX2-2-'X)=11ian2(Xi2Xi,x21(3)E(S)=En12XiX-2nX22ifnX(Xii=4i=1n杈+0-hee=2e2E3)0dx=0'(0ee)(X)D(Xi)=-2-XiX0一”2,i=1,2,n.2(T.(2)驗證-2nXnX2='、.i=1-X)2EX：一nX2)n_叵E(X.2)nE(X2)12-E(X)£(D(X.)+E2(X.)n(D(X)IL-1

15、21r22.(Tnn+ni_n(n-1n證:23.二十五驗證：X和丫不相關，但X和丫不是相互獨立的。_1PX=1Y=1=83PX=1=g3PY=1=-PX=1Y=1WPX=1PY=1X,Y不是獨立的又E(X)=-1X3+qx+1X-=0888E(Y)=1X+0+1X=01111COV(X,Y)=EX-E(X)YE(Y)=E(XY)-EXEY=(1)(1)+(-1)1X-+11)Xg-+1X1x=0X,Y是不相關的27.已知三個隨機變量X,Y,Z中,E(X)=E(Y)=1,E(Z)=1,D(X)=D(Y)=D(Z)=1,11PXY=0PXZ=三，PYZ=£。設W=X+Y+Z求E(W),

16、D(W)。解：E(W)=E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=1+11=1D(W)=D(X+Y+Z)=E(X+Y+Z)-E(X+Y+Z)22=EX-E(X)+Y-E(Y)+Z-E(Z)2=EX-E(X)2+Y-E(Y)2+Z-E(Z)2+2X-E(X)Y-E(Y)+2Y-E(Y)Z-E(Z)+2Z-E(Z)X-E(X)=D(X)+D(Y)+D(Z)+2COV(X,Y)+2COV(Y,Z)+2COV(Z,X)=D(X)+D(Y)+D(Z)+2，D(X)D(Y)pxy+2、；D(Y)D(Z)pxz+2JD(Z)D(X)pzx=1+1+1+2Xj1M1X0+2J1M1(二)2X2）具有概率

17、密度。-2.,11（-1）=326.二十八設隨機變量（X1,解:(X(Xf(x,y)E(Xi),E(XE(XCOV1,、=(x+y),8，E(X2),2dx2dxCOV(X1X2)=E(_21) =E(X1)2) =E(X1)0<x<2,(Xi,X2),1(x'y)dy8(x'y)dyX17一一）（X620(x0<y<2PX1X27-)67)(y61)(xy)dy=836_2E(X1)E(X2)COV(X1，X2)_DX1DX2dx2dx36111一(x81一(x811,y)dy-y)dy6一3663636(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2COV

18、(X1,X2)1111152(-一)二一36363692、28.二十九設XN（白ON（白(T2）,且X,Y相互獨立。試求Z1=oX+Y和Z2=oX-Y的相關系數(shù)（其中a,P是不為零的常數(shù)）解：由于X,Y相互獨立Cov(Zi,Z2)=E(Zi,Z2)-E(Zi)E(Z2)=E(oX+Y)(oX-Y)(a8+3Y)(aEX-3EY)=，EX23Y2a(EX)2+HEY)2=aDX-32DY=(a-32)DZi=aDX+-32DY=(a2+32)(t2,DZ2=/dX+32DY=(a+/,(利用數(shù)學期望的性質(zhì)2。3。)_22Cov(Zi，Z2)(a-3)故PZ1Z2=i1212JdZ1：DZ2(a+

19、3)29 .二十三卡車裝運水泥，設每袋水泥重量(以公斤計)服從N(50,2.52)問最多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于0.05.解：已知XN(50,2.52)不妨設最多可裝A袋水泥才使總>重量超過2000的概率不大于0.05.則由期望和方差的性質(zhì)得Y=AXN(50A,2.52A).故由題意得PY或000w0.08PY<2000)>0.95目n事2000-50A木士/曰2000-50A、“八廣后日A5c即力|之0.95查表得之1.65解得AJ539.2.5<'A)2.5JA30 .三十二已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300,均方差是

20、700,利用契比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在52009400之間的概率p.解：由題意知=7300,(r=700,則由契比雪夫不等式270018P5200<X<9400=P|X-7300|<2100_1一=1-=-0.8889210029931 .三十三對于兩個隨機變量V,W若E(V2)E(W2)存在,證明E(VW)2至(V2)E(W2)這一不等式稱為卞51西施瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式.證明：由|VW區(qū);(v2+w2)和關于矩的結(jié)論，知當E(V2),E(W2)存在時E(VW),E(V),E(W),D(V),D(W),都存在.當E(V2),E(W2)至少有一

21、個為零時,不妨設E(V2)=0,由D(V)=E(V2)-E(V)2壟(V2)=0知D(V)=0,此時E(V)2=E(V)=0即E(V)=0o再由方差的性質(zhì)知P(V=0)=1.又(VW=0)=)(V=0)故有p(VW=0)=1.于是E(VW)=0,不等式成立.當E(V2)>0,E(W2)>0時，對Vt>0有E(WtV)2=E(V2)t22E(VW)t+E(W2)>0.(*)(*)式是t的二次三項式且恒非負，所以有？=2E(VW)24E(V2)E(W2)0故Cauchy-Schwarz不等式成立。32 H一(1)設隨機變量X1,X2,X3,X4相互獨立，且有E(Xi)=i,

22、D(Xi)=5i,i=1,2,3,4。1設丫=2X1-X2+3X3-X4,求E(Y),D(丫)。2(2)設隨機變量X,Y相互獨立，且XN(720,302),丫N(640,252),求Z1=2X+Y,Z2=XY的分布，并求PX>Y,PX+Y>1400解：(1)利用數(shù)學期望的性質(zhì)2,3。有_1_E(Y)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-yE(X4)=7利用數(shù)學方差的性質(zhì)2,3。有D(Y)=22D(X1)+(-1)2D(X2)+32D(X3)+(；)2D(刈)=37.25(2)根據(jù)有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1N(,),Z2N(,)而EZ1=2EX+Y=2X720+640,D(Z1)=4D(X)+D(Y)=4225EZ2