從數(shù)學思想方法的培養(yǎng)角度審視小學數(shù)學競賽的訓練與輔導

1、從從數(shù)學思想方法的培養(yǎng)數(shù)學思想方法的培養(yǎng)角度角度審視小學數(shù)學競賽的訓練與輔導審視小學數(shù)學競賽的訓練與輔導一、小學數(shù)學教師為什么要進行這個主題的培訓？從學有余的學生角度思考1、培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。2、能提高學生學習成績。3、現(xiàn)行教育教學考核機制使“學有余的學生” 成了“弱視群體”。從教師角度思考1、教師的素質要求教師必須具有一定的專業(yè)知識水準。2、現(xiàn)行學校教育教學現(xiàn)狀中暴露出來的問題：對于一些學生提出的數(shù)學問題，教師無法解答。數(shù)學教學過程中重結果，輕過程，造成高分低能生。 3、小學數(shù)學教師考調之數(shù)學專業(yè)知識成績中暴露出來的問題。二、小學數(shù)學教師應該學習些什么專業(yè)知識內容？1、要統(tǒng)涉整個小學數(shù)

2、學教材體系與知識內容。（能完全熟悉人教版的教材體系，適當涉及北師大、滬教版、蘇教版等教材內容與體系）2、要初涉初、高中數(shù)學教材體系與知識內容。3、要認真鉆研一些專業(yè)的數(shù)學思想與方法。4、要針對本班學有余的學生實際制訂合理的培養(yǎng)計劃。三、如何從用數(shù)學思想方法與策略解決數(shù)學競賽題中得到培養(yǎng)？ 數(shù)學基礎知識與數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的兩條主線，數(shù)學基礎知識是一條明線，寫在書上；而數(shù)學思想與方法卻是一條暗線，一般體現(xiàn)在知識的形成過程中。 對于數(shù)學思想方法教學的重要性，日本數(shù)學家和教育家米山國藏曾經說道：絕大多數(shù)的學生在學校里所學到的數(shù)學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用，因而作為知識的數(shù)學，通常在

3、出校門不到一兩年就忘掉了，然而不管他們從事什么業(yè)務工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要的作用。可見數(shù)學思想與方法的培養(yǎng)的重要性。而數(shù)學思想與方法的培養(yǎng)除了結合現(xiàn)行小學數(shù)學教材的教學加以慢慢滲透之外，更直接、更快速的有效方法就是通過典型的小學數(shù)學競賽題的輔導與訓練來加以培養(yǎng)。常用的數(shù)學思想方法： 數(shù)形結合的思想、函數(shù)的思想、方程的思想、代換的思想、統(tǒng)籌的思想、推理的思想、轉化的思想、歸納的思想、分類討論的思想、符號化的思想、賦值的思想、公理化的思想、整體化的思想、對應的思想、極限的思想、逐步調整的思想、構造的思想、枚舉的思想、化歸的思想、類比的思想等

4、等。、數(shù)形結合思想 所謂數(shù)形結合的思想是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形，由形思數(shù)，把數(shù)與形結合起來分析問題的思想方法。一般常用畫線段圖、示意圖、以及實物演示等方式體現(xiàn)題中的數(shù)量關系，從而使我們更加形象、直觀地理解題意或問題以及數(shù)量之間的聯(lián)系。它的運用往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形完美結合的境地。華羅庚先生曾精辟的論述如下：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫離?！庇绕涫侵苯亲鴺讼蹬c幾何的結合，是數(shù)形結合的完美體現(xiàn)。由形到數(shù)的轉化，往往較明顯，而由數(shù)到形的轉化卻需要轉化的意識。因此，數(shù)形結合的思想的使用往往偏重于由數(shù)到形的轉化。 一般來說，在理解題意的過程

5、中，如果能夠將數(shù)量關系轉化成線段圖、示意圖或實物實物演示，均可以考慮用數(shù)形結合的思想。 1、數(shù)形結合思想在教材中的具體應用、數(shù)形結合思想在教材中的具體應用。數(shù)的表示和運算數(shù)的表示和運算： 如數(shù)和運算的實物化、圖形化和操作化，便于人們直觀理解數(shù)和計算。如擺小棒、畫圖形等。解決問題中的形解決問題中的形： 如畫線段圖表示數(shù)量關系。數(shù)學廣角中解決問題的一些直觀策略。利用坐標系中的圖像直觀理解正比例關系等。統(tǒng)計中的圖形統(tǒng)計中的圖形： 如各種統(tǒng)計圖表。空間與圖形中的數(shù)空間與圖形中的數(shù)： 如圖形的周長、面積和體積公式。圖形中邊之間的關系。圖形變換中的數(shù)，如坐標與變換。 2、數(shù)形結合思想在數(shù)學競賽題中的、數(shù)形

6、結合思想在數(shù)學競賽題中的具體應用。具體應用。 在數(shù)學競賽題中數(shù)形結合思想應用最多首在數(shù)學競賽題中數(shù)形結合思想應用最多首推行程問題，特別是一些當相遇問題、追及推行程問題，特別是一些當相遇問題、追及問題、時間路程速度關系膠著的問題等交織問題、時間路程速度關系膠著的問題等交織在一起的綜合問題，由于問題難度大，情景在一起的綜合問題，由于問題難度大，情景繁雜，往往需要畫圖來幫助搞清各數(shù)量之間繁雜，往往需要畫圖來幫助搞清各數(shù)量之間的關系，把綜合問題分解成幾個單一問題，的關系，把綜合問題分解成幾個單一問題，逐次求解?，F(xiàn)舉逐次求解。現(xiàn)舉幾個案例加以闡述：先講幾個由幾個案例加以闡述：先講幾個由數(shù)到形的案例。數(shù)到

7、形的案例。案例案例1 兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發(fā)12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時他們距十字路口多少米？ 分析與解：分析與解：典型數(shù)學思想：典型數(shù)學思想：數(shù)形結合思想、化歸思想數(shù)形結合思想、化歸思想 案例案例1：兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發(fā)12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時他們距十字路口多少米？分析與解：分析與解：每分鐘兩人一共行 180012=150（米

8、）每分鐘兩人行走的路程差是 180075=24（米）再由和差問題，可求出乙每分鐘行（150-24）2=63（米）出發(fā)后75分鐘距十字路口6375=4725（米） 案例案例2 小明放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？ 分析與解：分析與解：典型數(shù)學思想：典型數(shù)學思想：數(shù)形結合思想、假設代換思想數(shù)形結合思想、假設代換思想 案例案例2：小明放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。每隔9分鐘就有一輛公

9、共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？分析與解：分析與解：假設小明在路上向前行走了63分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于7，9=63。這時在前63分鐘他迎面遇到637=9（輛）車，后63分鐘有639=7（輛）車追上他，那么在兩個63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車。 則發(fā)車的時間間隔為 案例案例3 甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時分別從水池的兩端出發(fā)，來回共游了11分鐘，如果不計轉向的時間，那么在這段時間里，他們共相遇了多少次？ 分析與解：

10、分析與解：典型數(shù)學思想：典型數(shù)學思想：數(shù)形結合思想、轉化思想、函數(shù)形結合思想、轉化思想、函數(shù)思想數(shù)思想 案例案例3 3甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時分別從水池的兩端出發(fā)，來回共游了11分鐘，如果不計轉向的時間，那么在這段時間里，他們共相遇了多少次？分析與解：分析與解：甲一個單程需301=30（秒），乙一個單程需300.6=50（秒）。則甲游5個單程，乙游3個單程，各自到了不同的兩端又重新開始，這個過程的時間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次（見下圖），實線與虛線的交點表示相遇點。 以2.5分鐘為一個周期，11分鐘包

11、含4個周期零1分鐘，而在一個周期中的第1分鐘內，從圖中可看出兩人相遇2次，故一共相遇了54+2=22（次）。 模擬練習11.柳卡問題每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛。輪船在途中均要航行七天七夜。且均沿同一航線航行。試問今天中午從哈佛開出的一艘輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開來的同一公司的輪船?（這是十九世紀在一次世界科學會議期間,法國數(shù)學家柳卡向在場的數(shù)學家們提出的一個問題,它難倒了在場的所有數(shù)學家,連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位叫斯圖姆的數(shù)學家通過圖解法,才使問題最終得到解決,你能想出來是怎樣解決的嗎？）2. 甲、乙二人上午8時同時從

12、東村騎車到西村去，甲每小時比乙快6千米，中午12點甲到達西村后立即返回東村，在距西村15千米處遇到乙。問：東、西兩村相距多遠？ 模擬練習13.甲、乙二人分別從A，B兩地同時出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。已知乙每分鐘行50米，求A，B兩地的距離。4.某人沿公路前進，迎面來了一輛汽車，他問司機：“后面有騎自行車的人嗎？”司機回答：“10分鐘前我超過一個騎自行車的人?！边@人繼續(xù)走了10分鐘，遇到了這個騎自行車的人。如果自行車的速度是人步行速度的3倍，那么，汽車速度是人步行速度的多少倍？5.某人沿著電車道旁的便道以4.5千米/時的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面

13、開過，每12分鐘有一輛電車從后面追過。如果電車按相等的時間間隔發(fā)車，并以同一速度不停地往返運行，那么電車的速度是多少？電車發(fā)車的時間間隔是多少？模擬練習16.鐵路旁有一條小路，一列長110米的火車以30千米/時的速度向南駛去，8點時追上向南行走的一名工人，15秒后離他而去，8點6分迎面遇到一個向北行走的農民，12秒后離開這個農民。問：工人與農民何時相遇？7.小紅從家到火車站趕乘火車，每小時行4千米，火車開時她還離車站1千米；每小時行5千米，她就早到車站12分鐘。小紅家離火車站多少千米？ 分析與解：分析與解：典型數(shù)學思想：典型數(shù)學思想：數(shù)形結合思想、轉化思想、歸納思數(shù)形結合思想、轉化思想、歸納思

14、想、建模思想、函數(shù)思想想、建模思想、函數(shù)思想 數(shù)形結合思想在數(shù)學競賽題中的應用范圍很廣，除了前面講的行程問題，還應用于工程問題、分數(shù)問題、比例問題、重疊問題、牛吃草問題等競賽題中。甚至在等比是2的特殊數(shù)列求和中也有很好的體現(xiàn)。 分析與解：分析與解： 模擬練習2 現(xiàn)在你找到規(guī)律了嗎？ 和和=首項首項2末項。末項。 不過此類題目要與用裂項法求若干個分數(shù)的和區(qū)別開來。如： 用數(shù)形結合的思想解決牛吃草的問題 一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？ 31065（天）。 如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了，因為草每天都在生長，而且草的數(shù)量也在不斷變化。這類工作總

15、量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題牛吃草問題。此類問題最典型的思維推理是：數(shù)形結合思想、假設此類問題最典型的思維推理是：數(shù)形結合思想、假設的思想、轉化思想、歸納思想、建模思想的思想、轉化思想、歸納思想、建模思想案例案例5 牧場上有一片牧草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托律L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，

16、即每天新長出的草是不變的。對于初中學生采用兩元方程組求解可能也是一件麻煩事。那么小學生能理解嗎？會解決嗎？我想只要會解決行程中的相遇與追及問題的小朋友，通過數(shù)形結合的思想思考解決這類問題應該不難。下面我利用數(shù)形結合的思想分析如下：（此類題目的關鍵就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。 ）案例案例5牧場上有一片牧草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：分析與解：假設1頭牛1天吃的草為1份?？僧嫵霾輬D如下： 則10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，

17、后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長出的草，后者是原有的草加10天新長出的草。 20015050（份），201010（天）， 說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草 （l05） 20100（份）或（155）10100（份）。 現(xiàn)在已經知道原有草100份，每天新長出草5份。當有25頭牛時，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100205（天）。則這片草地可供25頭牛吃5天。分析與解：分析與解：案例案例6 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定

18、的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？分析與解：分析與解：與案例5不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用案例5的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。案例案例6 6由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？分析與解：分析與解：假設1頭牛1天吃的草為1份。畫出草圖后可知：20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就

19、是說，寒冷相當于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草：（2010）5150（份）。 由 1501015知，牧場原有草可供15頭牛吃 10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。 由于原草量不變，相當于總路程不變，通過畫圖分析觀察，可化歸為牛和天氣相當于兩輛不同時速的車從兩邊相向行駛，最后相遇的相遇問題。案例案例7 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？分析與解：分析與解

20、：與案例6比較，“總的草量”變成了“扶梯的梯級總數(shù)”，“草”變成了“梯級”，“?！弊兂闪恕八俣取保部梢钥闯膳３圆輪栴}。通過畫圖（圖略）可以化歸為追及問題。 案例案例7 7自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？分析與解：分析與解：上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了205 100（級），女孩6分鐘走了15690（級），女孩比男孩少走了1009010（級），多用了651（分），說明電梯1分鐘

21、走10級。由男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有 （2010）5150（級）。則自動扶梯每分鐘走（205156）（65）10（級）自動扶梯共有（2010）5150（級）。 通過畫圖分析觀察可以化歸為追及問題。 模擬練習31 .一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？ 2.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃 24天?，F(xiàn)有一群牛，吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原來有多少頭？3.經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億

22、人生活300年。假設地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？ 4.有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20時可以把水抽干；用15部同樣的抽水機，10時可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？ 模擬練習35.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊伍恰好消失；如果同時開放4個檢票口，那么25分鐘隊伍恰好消失。如果同時開放8個檢票口，那么隊伍多少分鐘恰好消失？6.兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每

23、個白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸牛滑行的速度卻是相同的。結果一只蝸牛恰好用5個晝夜到達井底，另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？7.兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級梯級，女孩可走24級梯級，結果男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3分鐘到達另一端。問：該扶梯共多少級？ 由形到數(shù)的數(shù)形結合思想的運用由形到數(shù)的數(shù)形結合思想的運用 由形到數(shù)的數(shù)形結合思想的運用經常要用到歸納的思想。通過找由形變成數(shù)的規(guī)律或形與形之間的變化規(guī)律來求解。 案例案例8：（縣數(shù)學之星評比第一部分題4）觀察下列圖形和所給的數(shù)據(jù)，當梯形個數(shù)為100時，這時圖

24、形的周長為( ) 。案例案例8（縣數(shù)學之星評比第一部分題9）有這樣的一組數(shù)：1、1、2、3、5、8、13，以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的長度構造一組正方形，再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個正方形拼成如下長方形并記為、若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號為的長方形周長是( )。模擬練習41.如圖，由邊長為1cm的正六邊形排成一長條形鏈子。其中每個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰。若鏈子上有366個白色六邊形，則此鏈子有（ ）個黑色六邊形。模擬練習42.如圖，是由相同長度小棒搭成的三角形圖形，圖1的三角形邊長是由一根小棒構成，圖2的三角形邊長是由二根小棒構成，圖3的三角形邊長是由三根小棒構成，問

25、當三角形的邊長由15根小棒構成時的圖形共需小棒（ ）根。模擬練習43.將長為將長為30厘米，寬為厘米，寬為10厘米的長方形白紙，按如右下圖的厘米的長方形白紙，按如右下圖的方法粘貼起來，粘貼部分的寬為方法粘貼起來，粘貼部分的寬為3厘米，求厘米，求20張白紙粘貼張白紙粘貼后的總面積是多少？后的總面積是多少？4.左上圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積。模擬練習45.有有30個邊長為個邊長為1米的正方體，在地面上擺成左下圖的形式，米的正方體，在地面上擺成左下圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色。求被涂成紅色的表面積。然后把露出的表面涂成紅色。求被涂成紅色的表面積。6.用四條直線最多能

26、將一個圓分成幾塊？用用四條直線最多能將一個圓分成幾塊？用100條直線呢？條直線呢？ 案例案例9 用數(shù)形結合思想解決簡單的推理問題用數(shù)形結合思想解決簡單的推理問題 甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲已經賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1 盤。問：小強已經賽了幾盤？分別與誰賽過？分析與解：分析與解：這道題若按照常規(guī)思路似乎不太好解決，我們畫個圖試試。用五個點分別表示參加比賽的五個人，如果某兩人已經賽過，就用線段把代表這兩個人的點連結起來。案例案例9甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲已經賽了4盤，乙賽了3盤，

27、丙賽了2盤，丁賽了1 盤。問：小強已經賽了幾盤？分別與誰賽過？分析與解：分析與解： 因為甲已經賽了4盤，除了甲以外還有4個點，所以甲與其他4個點都有線段相連（如圖）。因為丁只賽了1盤，所以丁只與甲有線段相連。因為乙賽了3盤，除了丁以外，乙與其他三個點都有線段相連（見右下圖）。因為丙賽了2盤，圖中丙已有兩條線段相連，所以丙只與甲、乙賽過。由圖清楚地看出，小強賽過2盤，分別與甲、乙比賽。模擬練習51.1，2，3，4，5，6號六名運動員進行乒乓球單打循環(huán)賽。到現(xiàn)在為止，1，2，3，4，5號運動員已參加比賽的場數(shù)正好等于他們的編號數(shù)。問：6號運動員已經賽了幾場？2.有A、B、C、D、E、F6個人參加會

28、議，見面時每兩個人都要握一次手?，F(xiàn)知道A握了5次，B握了4次，C握了3次，D握了2次，E握了1次，請問F握了幾次？3.有A、B、C、D、E五支球隊，每兩隊之間都要賽一場。至今為止，A、D賽了4場，B、C賽了3場。請問：E賽了幾場？、方程和函數(shù)思想 方程和函數(shù)是初等數(shù)學代數(shù)領域的主方程和函數(shù)是初等數(shù)學代數(shù)領域的主要內容，也是應用數(shù)學解決實際問題的重要內容，也是應用數(shù)學解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關系，而且它們之間有著密切的各種數(shù)量關系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，我將二者放在一起進行討論。聯(lián)系，因此，我將二者放在一起進行討

29、論。 1、方程與函數(shù)思想在教材中的具體、方程與函數(shù)思想在教材中的具體應用。應用。方程思想：方程思想：含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程，含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件：一個是含有未知數(shù)，另一個是只需要同時滿足兩個條件：一個是含有未知數(shù)，另一個是必須是等式。經常有老師有這樣的疑問：判斷必須是等式。經常有老師有這樣的疑問：判斷=0 =0 和和=1=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，都是方程。方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以

30、分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學代數(shù)領域中最基本三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學代數(shù)領域中最基本的內容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的內容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學符號（常用的數(shù)學符號（常用、y y等字母）表示，根據(jù)相關數(shù)量之等字母）表示，根據(jù)相關數(shù)量之間的相等關系構建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知間的相等關系構建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。的對立統(tǒng)一。函數(shù)思想：函數(shù)思想： 集合、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系集合、是兩個

31、非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系，如果對于集合中的任意一個數(shù)如果對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)y y和它對應，那么就稱和它對應，那么就稱y y是是的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作y y() )。其中。其中叫做自變叫做自變量，量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，y y叫做函數(shù)或因變量，與叫做函數(shù)或因變量，與相對應的相對應的y y的值叫做函數(shù)值，的值叫做函數(shù)值，y y的取值范圍叫做值域。這是從初等數(shù)的取值范圍叫做值域。這是從初等數(shù)學的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應的函數(shù)值也是唯一的。學的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應的函

32、數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應關系，一個變量的取值發(fā)生這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應關系，一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也相應發(fā)生變化，中學里學習的正比例函了變化，另一個變量的取值也相應發(fā)生變化，中學里學習的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)。實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾都是這類函數(shù)。實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學個變量的變化而相應地變化，這樣的函數(shù)是多元函

33、數(shù)。雖然在中小學里不學習多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑里不學習多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r r和圓柱的高的關系：和圓柱的高的關系：rrh h。半徑和高有一對取值，體積就會相。半徑和高有一對取值，體積就會相應地有一個取值。應地有一個取值。 函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關系，因變量隨著函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應法自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應法則，從而構建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的觀點。則，從而構建函數(shù)模型。函數(shù)思想

34、體現(xiàn)了運動變化的觀點。 2、方程和函數(shù)的關系。、方程和函數(shù)的關系。（1）方程和函數(shù)的區(qū)別。）方程和函數(shù)的區(qū)別。 從小學數(shù)學到中學數(shù)學，數(shù)與代數(shù)領域經歷了從算術到方程再到從小學數(shù)學到中學數(shù)學，數(shù)與代數(shù)領域經歷了從算術到方程再到函數(shù)的過程。函數(shù)的過程。 算術研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關系。算術研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關系。 方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關系。 函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關系。 方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關系的，但是它們有本質的區(qū)別。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關系的，但是它們有

35、本質的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和自變量一定是變量。和自變量一定是變量。 人們運用方程思想，一般關注的是通過設未知數(shù)如何找出數(shù)量人們運用方程思想，一般關注的是通過設未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關系構建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學問題和實際之間的相等關系構建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學問題和實際問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關注變量之間的對應關系，通過問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關注變量之間的對應關系，通過構建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質來解決數(shù)學問題和實際問題。方構建函數(shù)模型并研究

36、函數(shù)的一些性質來解決數(shù)學問題和實際問題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動態(tài)的。方程已經程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動態(tài)的。方程已經有有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產生不過才多年的歷史，而函數(shù)概念的產生不過才300年。年。 （2）方程和函數(shù)的聯(lián)系。）方程和函數(shù)的聯(lián)系。 它們也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程abyc0和一次函數(shù)ykb之間。如果方程的解在實數(shù)范圍內，函數(shù)的定義域和值域都是實數(shù)。那么方程abyc0經過變換可轉化為yx,在直角坐標系里畫出來的圖象都是一條直線。因此，可以說一個二元一次方程對應一個一次函數(shù)。如果使一次函數(shù)ykb中的函數(shù)值等于0，那么一次

37、函數(shù)轉化為kb0，這就是一元一次方程。 可以說求一元一次方程的解，實際上就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求一次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標的值 。 一般地，就初等數(shù)學而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個函數(shù)就可轉化為含有一個未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標的值。3、方程與函數(shù)思想在數(shù)學競賽題中的具、方程與函數(shù)思想在數(shù)學競賽題中的具體應用。體應用。 所謂方程的思想是指在求解數(shù)學問題時，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系中找到相等關系，用數(shù)學符號化的語言將相等關系轉化為方程（組）或不定方程，然后解方程（組）或不定方程從而使問題獲解。方程思想

38、就是從分析問題的數(shù)量關系入手，適當設定未知數(shù)，把所研究的問題中已知量和未知量這間的數(shù)量關系轉化為方程，從而使問題得到解決。當一個問題可能與某個方程建立關聯(lián)時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。把未知數(shù)當已知數(shù)，讓所設未知數(shù)的字母和已知數(shù)一樣參加運算，這種思想方法是數(shù)學中常用的重要方法之一，是代數(shù)解法的重要標志，與算數(shù)方法相比，更體現(xiàn)順向思維與邏輯推理的特質。 一般來說，當理解題意的過程中有明顯的符號化的等量關系的時候均可以考慮將某個未知量予以賦值或代換賦值從來與已知量之間建立一種等式后用方程的思想方法求解。特別是有些數(shù)量關系比較復雜的應用題，用算術方法求解比較困難。此時，如果能

39、恰當?shù)丶僭O一個未知量為x（或其它字母）當然這也是一種賦值思想的體現(xiàn)，并能用兩種方式表示同一個量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個含有未知數(shù)x的等式，即方程。 利用列方程求解應用題，能使數(shù)量關系清晰明了、但小學生對繁雜的方程解法的掌握應是關鍵。所以這類思想的培養(yǎng)之初，還得進行必要的解方程能力的訓練。案例案例1商店有膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙7.5元，布鞋每雙5.9元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問：膠鞋有多少雙？分析與解：分析與解：此題幾個數(shù)量之間的關系不容易看出來，用方程法卻能清楚地把它們的關系表達出來。設膠鞋有x雙，則布鞋有（46-x）雙。膠鞋銷售收入為7.5x元，布

40、鞋銷售收入為5.9（46-x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：解：設有膠鞋x雙，則有布鞋（46-x）雙。 7.5x-5.9（46-x）=10， 7.5x-271.4+5.9x=10， 13.4x=281.4， x=21。 答：膠鞋有21雙。 直接設元法直接設元法 間接設元法間接設元法 案例案例2 一群學生進行籃球投籃測驗，每人投10次，按每人進球數(shù)統(tǒng)計的部分情況如下表： 還知道至少投進3個球的人平均投進6個球，投進不到8個球的人平均投進3個球。問：共有多少人參加測驗？分析與解：分析與解： 設有x人參加測驗。由上表看出，至少投進3個球的有（x-7-5-4）人，投進不到8個球的有（x

41、-3-4-1）人。投中的總球數(shù)，既等于進球數(shù)不到3個的人的進球數(shù)加上至少投進3個球的人的進球數(shù)，07+15+24+6（x-7-5-4）= 5+8+6（x-16）= 6x-83，也等于進球數(shù)不到8個的人的進球數(shù)加上至少投進8個球的人的進球數(shù)，3（x-3-4-1）+83+94+101= 3（x-8）+24+36+10= 3x+46。 由此可得方程 6x-83=3x+46， 3x=129， x=43。 模擬練習11.某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計劃修建住宅多少座？2.教室

42、里有若干學生，走了10個女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個女生？3.甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費攜帶行李的重量，需另付行李費，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一個人帶150千克的行李，除免費部分外，應另付行李費8元。求每人可免費攜帶的行李重量。 模擬練習14.大、小兩個水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。已知大池容積是小池的1.5倍，問：兩池中共有多少噸水？5.一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個男孩

43、看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個女孩看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、女孩各有多少人？6.教室里有若干學生，走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的1.5倍，又走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問：教室里原有多少個學生？7.一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公羊與母羊的只數(shù)比是97；過了一會跑走的公羊又回到了羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是75。這群羊原來有多少只？ 案例案例3學校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？分析與解：分析與

44、解：設需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=66。這個方程有兩個未知數(shù)，我們沒有學過它的解法，但由4y和66都是偶數(shù)，推知7x也是偶數(shù)，從而x是偶數(shù)。 當x=2時，由72+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一個解。 因為當x增大4，y減小7時，7x增大28，4y減小28，所以對于方程的一個解x=2，y=13，當x增大4，y減小7時，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一個解。 所以安排2個大房間、13個小房間或6個大房間、6個小房間都可以。 在方程7x+4y=66中，對于x的任何值，都可以得到y(tǒng)= ，也就是說，方程7x+4y=66有無數(shù)個解。由于這類方程的解

45、的不確定性，所以稱這類方程為不定方程。 根據(jù)實際問題列出的不定方程，往往需要求整數(shù)解或自然數(shù)解，這時的解有時有無限個，有時有有限個，有時可能是唯一的，有時甚至無解。例如：x-y=1有無限個解，因為只要x比y大1就是解；3x+2y=5只有x=1，y=1一個解；3x+2y=1沒有解。 由上看出，只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數(shù)值得到。限于小學生學到的知識的有限性，尋找第一個解的方法更多的要依賴“拼湊”。 4766x模擬練習21求不定方程5x+3y=68的所有整數(shù)解。2用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？3五年級一班的五年級一班的43名

46、同學去劃船，大船可坐名同學去劃船，大船可坐7人，小船可坐人，小船可坐5人，需租大、小船各多少人，需租大、小船各多少條？條？用方程的思想解決位值原則問題。用方程的思想解決位值原則問題。案例案例4：有一個兩位數(shù)，把數(shù)字有一個兩位數(shù)，把數(shù)字1 1寫在它的最寫在它的最高位前面可以得到一個三位數(shù)，寫在它高位前面可以得到一個三位數(shù)，寫在它的最低位后面也可以得到一個三位數(shù)，的最低位后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)相差這兩個三位數(shù)相差666666。求原來的兩位數(shù)。求原來的兩位數(shù)。分析與解：分析與解：由位值原則知道，把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)前面，等于加了100；把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)后面，等于這個兩位數(shù)乘以

47、10后再加1。 設這個兩位數(shù)為x。由題意得到（10 x+1）-（100+x）=666， 10 x+1-100-x=666， 10 x-x=666-1+100， 9x=765， 所以原來的兩位數(shù)是 x=85。案例案例5 將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。數(shù)。分析與解：分析與解：設原來的三位數(shù)的三個數(shù)字分別是a，b，c。若 由上式知，所求三位數(shù)是99的倍數(shù)，可能值為198，297，396，495，594，693，792，891。經驗證，只有495符合題意，即原來的三位數(shù)是495。案例案例6無限循環(huán)小數(shù)無限